L'expression J peut s'écrire

Le calcul de l'expression Évvx, somme égale à C — D est contenu dans les colonnes 8 et 9 du tableau précédent (exemple 3). Les produits positifs égalent -(- 11,490.74; les

S i*+ Ivj

, ou mieux

V2 (Si* + 21^)

COVARIATION

produits négatifs valent — 227.46. Leur somme algébrique est donc égale à + 11,263.28, valeur qui formera le numérateur de la fraction.

Le dénominateur de la fraction est formé de la moyenne des sommes des carrés des deux séries de variations : v — les variations de la première, v% celles de la seconde. Les données à porter au carré se trouvent inscrite» dans les colonnes 6 et 7 du tableau dont il vient d'être parlé. Nous avons S «2 = 58,242.22 et S v,2 = 5,133.97 dont la moyenne est: 31,688.09. En remplaçant les expressions littérales de la formule (57) par les données numériques ci-dessus indiquées, nous avons :

tvv, 11,263.28 ,n7n .

= + i/.îh r**M = + °-70 environ

»/, [£ v2 -fSv,2] " ' Vj 31,688.09

Le coefficient est égal à l'unité lorsque les modifications que subissent les deux séries dans leur évolution chronologique, sont de même sens et égales; il diminue progressivement dans le cas contraire. L'importance du coefficient J est, dans l'espèce, démontrée par le fait que l'indice de Feclmer, en outre de l'union existant entre les proportions de variations, atteignait 0.96, tandis que J marquait 0.70 seulement. C'est que les variations des bénéfices des charbonnages sont beaucoup plus larges que celles observées dans les salaires; bien que le salaire de l'ouvrier du fond soit sensible aux variations dans les bénéfices, et cela la même année, les modifications qu'il subit sont bien moindres que celles du profit à la tonne.

318. Si, au dénominateur, on remplace par la moyenne géométrique la moyenne arithmétique employée pour le calcul du coefficient J, on obtient un coefficient nouveau, que M. Mardi a appelé coefficient K et qui est de la forme :

dans laquelle le numérateur représente la somme des produits deux à deux de chacune des séries et le dénominateur là racine carrée du produit des sommes des carrés.

D'après M. March, le coefficient K semblerait devoir être préféré au coefficient J. Les raisons données par notre savant collègue sont à retenir. Pour passer au coefficient K, on change les unités de mesure des v et des vx. On prend comme unité de mesure des v, \/Yô* et comme unité démesure des Vi, Remplaçant dans l'expression de J, les v et

vt par ces nouvelles expressions, on a :

V Va S. y X y—

dans laquelle r == 1 quand v et vx sont dans un rapport constant, car si l'on a constamment v = hv1

VJc Vi* 2 V

Lorsque les sommes S v2 et s fx2 ne sont pas très différentes, les deux coefficients ne s'écartent pas beaucoup l'un de l'autre. Mais à mesure que les sommes S v2 et ï se différencient, <( leur moyenne géométrique s'écarte de plus en plus de leur moyenne arithmétique, dans les conditions où une parabole s'écarte de sa tangente (1) ». Le coefficient K tend, dans ce cas, vers une valeur fixe, moins petite que celle du coefficient J. En prenant une valeur très réduite, J exprime bien la fixité relative d'une série par rapport à l'autre, ce que l'on pourrait à première vue considérer comme un signe d'indépendance; mais cet aspect des choses n'est pas complet, car si même les variations d'une série sont très petites, par rapport aux oscillations de l'autre, s'il y a èntre ces changements un synchronisme

(1) March (L.), Cfr. op. cit., loc. cit., p. 268.

COVAHIATION

parfait, on ne pourra s'empêcher de conclure qu'un lien étroit de dépendance existe entre les deux phénomènes. L'exemple 3 convient parfaitement pour l'application du coefficient K, car nous avons vu que 1 v2 est très différent de S Vi2 et que J n'a qu'une valeur plus faible, tandis que I, qui exprime mieux le synchronisme des variations, a une valeur élevée.

Le numérateur de la fraction d'où se tire le coefficient K est formé de la somme algébrique des variations positives et négatives prises deux à deux. Les données numériques se trouvent inscrites aux colonnes 8 et 9 du tableau relatif à l'exemple 3. Quant au dénominateur, il est formé de la racine carrée du produit de S v2 et 2 v2 dont la valeur numérique est respectivement 58,242.22 X 5,133.97 ; pour simplifier les calculs, nous supprimons les deux décimales, en forçant le dernier chiffre du premier de ces nombres.