IV. — Coefficient de covariation

(Coefficient de corrélation (r de Pearson).

319. Pour nous accoutumer à l'idée de la covariation, représentons-nous mentalement deux courbes chronologiques, de telle nature qu'à toute variation de l'une corresponde, au même moment, une variation égale de l'autre. Ces variations peuvent être égales comme grandeurs absolues ou l 'être seulement comme grandeurs proportionnelles. Maintenant que le lecteur est familier avec l'idée de moyenne, il saisira immédiatement que les écarts ou déviations autour de la moyenne de chacune de ces courbes sont égaux entre eux; représentons-nous la moyenne par une droite tracée à travers la courbe; d'après l'hypothèse qui précède, nous comprenons fort bien que tout écart au-dessus ou au-dessous de la courbe A correspond exactement à un écart égal au-dessus- ou au-dessous de la courbe B. Désignons par x1} x2, x3... xn les écarts successifs de A et par y1} y2, y 3... yn les écarts de B ; les sommes algébriques des xn et des yn seront égales entre elles et leur produit formera la quantité 2 (%n yn) . D'autre part, le produit des standard déviations (o) des écarts, multiplié par le nombre de termes sera égal au produit - (x„ yn) de sorte que le coefficient de covariation s'exprimera par l'unité :

Le coefficient de covariation oscille entre les deux limites

(1) On en trouvera la démonstration mathématique dans Bresciani : « Sui metodi per la misura délie correlazioni (Giornale clcgli economisti, vol. XXXV, 1909, t. I, p. 492. note) et dans Bowi.ey, Eléments of statistics.

COVAR1ATION

0 et 1; il sera donc d'autant plus élevé qu'il se rapprochera de l'unité et d'autant plus faible qu'il s'en écartera davantage. Lorsque le coefficient est affecté du signe +> il y a corrélation directe entre les faits envisagés ; accompagné du signe — il signifie que la corrélation entre les faits est inverse.

320. Au lieu d'une courbe, envisageons maintenant les éléments à comparer sous la forme d'un tableau statistique. Disposons les variables en séries en les groupant comme dans une table à double entrée. Les tables de cette espèce contiennent un nombre de colonnes égal au nombre de classes admises pour un phénomène donné, en fonction d'un autre. Elles sont très fréquentes en statistique, les auteurs quLont traité de la covariation en donnent de nombreux exemples. On remarquera qu'il n'est pas nécessaire que le partage par classes soit identique, pourvu que les classes aient un intervalle égal, pour chacune des deux variables ; néanmoins, le partage par classes comprises entre les mêmes limites est la règle habituelle, comme dans l'exemple ci^âprès dont nous tirons les éléments de la « Statistique du mouvement de la population et de l'état civil en Belgique en 1890 » :

Ex. 4 Ages des époux au moment de la célébration du mariage.

Ages

Au h S DES Kl-.MMES

DES HoMMIS

Total

Totaux . . .

Dans l'exemple qui précède, nous avons dû négliger les mariages contractés à partir de 50 ans, parce que le matériel statistique dont nous disposions ne donne que le nombre de mariages de 10 en 10 ans, au delà de 50 ans, de telle sorte que les intervalles de classes n'auraient pas été homogènes; ceci est un nouvel exemple de l'erreur dans laquelle on tombe fréquemment en ne publiant pas les données statistiques sous une forme complète, l'effet de cette omission est de mettre obstacle à l'application des procédés mathématiques. Néanmoins le tableau même limité reste très intéressant et très démonstratif puisqu'il comprend près de 43,000 mariages sur un peu plus de 44,000.

Le tableau qui précède réunit les éléments nécessaires à l'étude des relations corrélatives entre l'âge des femmes et celui des maris, pour les mariages contractés en 1890, en Belgique, entre des personnes âgées de moins de 50 ans. Les classes d'âges des femmes se trouvent inscrites en tète des colonnes verticales, celles des hommes sont portées à la gauche de colonnes horizontales, que nous appellerons « lignes )) pour les distinguer des premières. Les nombres qui figurent dans le corps de la table et qui constituent chacun un des points de rencontre d'une colonne verticale avec une ligne horizontale indiquent pour un âge donné des femmes et pour un âge donné des maris, le nombre de couples qui ont contracté mariage cette année.

La colonne verticale 2, par exemple, nous apprend que parmi les femmes de 21 à moins de 25 ans, qui se sont mariées en 1890 et dont le nombre total s'élève à 15,585, 6,739 ont épousé des hommes d'un âge égal au leur (dans les limites de la classe 21-25) ; 170 ont épousé des hommes de 40 à moins de 45 ans, 54 se sont mariées à des hommes de 45 à moins de 50 ans. La première « ligne » horizontale nous montre que sur 42,841 mariés, 1,397 étaient âgés de moins de 21 ans ; le plus grand nombre ont épousé des filles de leur âge, mai» quelques-uns ont pris en mariage des

COVAHIATION

femmes beaucoup plus âgées qu'eux; 26, par exemple, ont épousé des femmes de 35 à 40 ans.

Les tables de corrélation fournissent ainsi des éléments très curieux utilisables au moyen d'une simple lecture, mais elles ne donnent pas la réponse précise qui est à rechercher par le moyen du coefficient de corrélation. D 'autre part, les tables de corrélation supposent qu'il s'agit de deux variables partagées en classes de fréquence. Lorsque la corrélation à rechercher vise des séries chronologiques composées d'une donnée unique par année, les tables de corrélation ne trouvent pas leur application ; on se borne dans ce cas à confronter les deux données relatives à la même année.

321- La théorie du calcul des covariations a été exposée avec une grande habileté par les statisticiens-mathématiciens anglais, notamment par MM. Karl Pearson et Udny Yule. Nous essayerons d'en résumer ci-après l'essentiel en donnant à notre exposé la forme la plus simple et la plus accessible aux lecteurs qui ne sont pas familiarisés avec l'emploi des formules mathématiques.

La théorie des covariations est basée sur la proposition suivante : lorsque deux variables sont absolument indépendantes, les distributions de fréquence dans les colonnes verticales et les lignes horizontales d'une table de contingences sont similaires et la distribution dans chaque colonne est semblable à celle de la colonne des totaux (1) ; si l'on attribue à chacune de ces distributions un axe spécial, X ou Y, les moyennes des séries doivent se trouver sur les lignes verticales et horizontales Mi M; M, M, comme dans la figure 26 (2) :

Dans le diagramme ci-après OX et OY sont les

(1) Pour la démonstration de cette propriété, cfr. Udny Yule, « An introduction to the theory of statistica », ch. V (Manifold classification).

(2) Nous adoptons comme base de la démonstration la figure employée par Udny Yule, loc. cit., ch. IX (corrélation), p. 168, et nous employons la notation de notre éminent collègue.

FlG. 26

échelles des deux variables ; M: est donc la moyenne de la valeur de X et M2 la moyenne de la valeur de Y; en d'au- M très termes, M1 est la moyenne de la va-

leur des abscisses et M2 celle des ordonnées. La figure 26 est le type théorique de représentation de deux variables dans l'éventualité d'une indépendance absolue de ces deux variables. Dans la pratique ce cas ne se rencontre pas, parce que l'absence de tout rapport de dépendance n'est jamais absolument complète. Quoi qu'il en soit, cette conception purement idéale d'une indépendance absolue des variables a son utilité en ce sens qu'elle sert de base de comparaison dans le calcul des relations corrélatives qui se manifestent entre les deux variables considérées.

En effet, hors le cas d'indépendance absolue, les distributions de fréquence ne sont plus similaires et les moyennes des séries ne tombent plus en M! M et M2 M, mais déterminent des courbes qui s'écartent plus ou moins de ces points. Or, ce sont les écarts constatés entre les positions théoriques et les positions réelles des variables qui sont à calculer en vue de la recherche du degré de covariation entre les phénomènes observés.

Partant de cette considération, si, conformément au dispositif de la figure 27 ci-contre, nous convenons de représenter dans les quadrants 2 et 4 les oscillations de Mx y et M2 x, nous pouvons admettre que ces points occupent une infinité de positions comprises entre les limites de ces quadrants.

Fig . 27

COVAHIATION

Au plus la somme des écarts sera grande et au plus Le degré de covariation entre les deux phénomènes sera élevé. Il deviendra parfait lorsque M', y ' se confondra avec M \ x\ Dans ce cas, la somme des écarts sera maximum et sa valeur vaudra 90° parce que les arcs des angles %' M y et y' M x seront alors complémentaires.

Il résulte de ce qui précède que lorsque la somme des écarts est égale à zéro, il y a indépendance absolue entre les deux variables et que lorsque cette somme est maximum, la corrélation est parfaite entre les deux phénomènes; toute position intermédiaire détermine un degré de corrélation plus ou moins affirmé.

322. Ceci établi, il reste à voir comment se calculent les écarts formés par les oscillations de M\ y' et M'2 0}' à partir de Mj y et de M2 x.

A cette fin, il y a notamment lieu de démontrer que quel que soit l'aspect sous lequel se présente la distribution de fréquence des deux variables, le point M déterminé par l'intersection de Ma y et de M. x est le lieu géométrique de la moyenne de la distribution totale des fréquences des deux variables à la fois.

Mais avant d'aborder cette démonstration il est utile et même nécessaire d'étudier la genèse et la nature des équations qui forment la base du raisonnement.

Considérons la figure 28 ci-dessus :

Fig. 28.

Lorsque R E forme avec l'axe vertical Ma y un angle de 45° nous avons :

Kl = /M,

d'où —, rapport que M. Udny Yule désigne par bx = 1.

Si nous représentons par x et par y les écarts à partir de Mi y et de M2 x, il suit de ce qui précède que x = y et que le nombre de déviations en x est égal au nombre des observations du type y multiplié par b1, ce qui donne :

2 (x) = nb,y (59)

égalité qui se vérifie pour toutes les- positions de R R, ainsi que le montre l'analyse des cas suivants :

Premier cas. — Si nous faisons tourner R R dans le sens A l, il arrivera un moment où R R se trouvera en R' R'

et bx aura alors pour valeur ^ ou 1/2. Les déviations en x

n'ont pas changé, mais les écarts ont été multipliés par 2. Il viendrait donc d'après la formule (59) :

nb^2y S (*) = — 2 —

et, en simplifiant, il vient comme dans la formule (59) :

S (x) = nbly

Généralisant la formule et désignant par p toute position quelconque de R R comprise entre les angles s et z (la position R" R" par exemple dans la figure 28), il vient :

ou en simplifiant :

1 (x) — n bi y v ce qui vérifie la formule indiquée plus haut.

COVAHIATION

Deuxième cas. — On obtiendrait le même résultat en considérant là valeur de l'écart x dans sa position initiale E F.

Dans ce cas, lorsque R R coupe bt en -1 l'écart x devient '- et

l'écart y tombe en y* (Cfr. fig. 28). La formule se présenter alors comme suit:

2 (x) n bi y

ï x = n bx î/'

ce qui vérifie la formule pour le deuxième cas.

Fig. 29.

Troisième cas. — Pour toutes les positions de R R dans les limites des angles s et z (Cfr. fig. 28), le rapport K

— ■ varie de 0 à 1.

Pour toutes les positions de R R dans les limites des an-

H'ies T et U (voir fig. 29) le rapport — varie de 1 à x.

Kl Kl

Lorsque — > 1 soit — = p &j, la formule générale devient : /M IM.

p S (x) = n p 6j y d 'où par simplification :

ï (x) = nbxy

En considérant l'écart y dans sa position d'origine E F et en supposant que R R coupe &! en 2 &x l'écart y devient et la formule se représente alors sous la forme

S (x) = 7llAl ou Z(x) = nbiy

Si, comme dans la figure 29, R' R' a une autre valeur que ^, soit p, on se trouve dans le cas de la formule générale.