Les considérations qui précèdent concernant les

trois cas relatifs aux valeurs de — , nous fournissent les

éléments nécessaires à la compréhension complète de la démonstration du théorème initial.

Soit la figure ci-dessous :

Fig. 30.

Considérons le cas dans lequel les moyennes des colonnes horizontales de la table de covariation ou de contingence tombent exactement sur une droite R R. Soit M2 la valeur

COVAItlATlON

moyenne de Y et R R coupant l'horizontale M2 x au point M. Il y a lieu de démontrer que la verticale M, y qui coupe M2 x en M doit couper 0 X en M, moyenne de l'axe des X. Soit l'inclinaison de R R sur Mj y exprimée par la tan-

gente de l'angle Mi M R ou le rapport — - , désigné par blf

et soient x et y les déviations à partir de M y et de M x.

Pour chaque colonne horizontale du type y, pour lequel le nombre d'observations est n, il vient 1 (x) — n &i y. Par conséquent, pour toute la table, puisque s (n y) = 0, il viendra : S (x) = b1} 2 (n y) = 0. Mi doit donc être la moyenne de x et M devient la moj'enne de toute la distribution.

Sachant que RR passe en Mx il reste à déterminer b±. Cette détermination comme le dit M. Udny Yule, peut s'établir dans les termes du produit moyen p de tous les couples de déviation associés x et y.

L'expression du produit moyen p, d'après la notation d'usage, s'écrit comme suit :

ce qui donne pour chaque colonne horizontale : S (xii) = y2(x)=nb1y* (') Pour toute la table, il viendra :

ï(xy) -.M (»*»•) = Nb.al

Il s'agit d'obtenir la valeur de b{ a-y. D'après la formule ci-dessus, nous avons :

(1) Nous avons vu que v (x) = n b{ y. En remplaçant v (œ) par sa valeur, nous avons : y n b, y — nb{ y*. Donc .1/ X (.-») = n y%.

En remplaçant par p le second membre de l'équation, nous aurons :

bl al = v

Enfin, en tirant la valeur de 61 dans la formule, il viendra :

1 ~ ff{ (61)

De même b>, c'est-à-dire le rapport — - (Cfr- fig. 30)

mesurant les écarts en C C serait déterminé comme suit :

Il est d'usage d'écrire ces deux équations en se servant d'une notation quelque peu différente. Voici cette expression :

ox o;/ (63)

324. Dès lors pour retrouver la valeur de bt> en considérant la formule précédente, il suffit de faire subir à celle-ci les transformations suivantes :

Nous avons vu que p = &x <j,) . Par conséquent, en remplaçant p par sa valeur dans l'équation (63), nous obtiendrons :

,. bt ol

En isolant blf la formule se transforme comme suit

COVARIATION

Simplifiant la fraction de la formule, il vient

d'où :

On trouverait de même la valeur de b2

cr,

bi = r

De ce qui précède, on peut déduire aisément que l'expression du coefficient de covariation est de la forme :

o,ov (67)

En effet, r est fonction de bx et de b2 en ce sens que quand ces deux variables sont absolument indépendantes et égales à 0, r = 0.

Or, nous avons pu remarquer en recherchant la formule de détermination de &j et de b2 que bi et b2 sont des valeurs implicitement comprises dans le second membre de l'équation :

Notons également que le signe de r est celui du produit moyen p et que par conséquent r est positif lorsqu'à de grandes valeurs de x correspondent de grandes valeurs de y et qu'il est négatif dans le cas opposé.

Enfin, la valeur numérique de r a pour limites ± 1. Si r = ± 1, il s'ensuit que toutes les variations accouplées

sont entre elles dans le rapport =

Ces diverses propriétés de r se vérifiant toutes par l'équation de la forme

, nous pouvons conclure que l'équation précitée est l'expression du degré des rapports de covariation entre deux variables et que r est le coefficient de covariation de deux variables données.

325. Pour le calcul numérique du coefficient r, trois cas sont à envisager :

A. — Les deux variables, disposées dans l'ordre chronologique, sont comparées entre elles de façon à saisir la relation qu'elles présentent sur toute l'étendue de temps considérée.

B. — Au lieu d'envisager uniquement cette relation, on étudie et on compare les variables de façon à mettre en évidence les variations portant sur une période de temps assez courte; il est évident que le rapport de deux faits l'un à l 'autre peut être différent quand il s 'applique à un nombre d'années restreint et quand il concerne des variations séculaires.

C. — Le coefficient r appliqué à des variables groupées par classe ne se peut calculer de la même manière que pour des séries chronologiques. Une méthode spéciale s'impose pour une telle recherche.

Nous examinerons successivement ces trois cas auxquels correspond respectivement une méthode particulière et nous donnerons chaque fois un ou plusieurs exemples appropriés. Les calculs à effectuer, quoique assez laborieux, n'offrent point de difficultés spéciales. Quant à la formule générale du coefficient r, elle ne subit pas de modification essentielle : dans le cas B, la moyenne générale est

COVAIUATION

remplacée par une moyenne plus courte et les écarts se notent de la donnée primitive à la donnée nouvelle ; dans le cas C, la recherche de l'intervalle de classe joue un rôle important et la recherche des écarts se fait à l'aide d'un tableau spécial. Ces particularités n'altèrent point la formule générale, que l'on écrit :

naxav (68)

dans laquelle r désigne le coefficient cherché, 1 (x y) la somme algébrique des produits des écarts à la moyenne, n le nombre d'intervalles ou de termes, ax la standard déviation de la première variable et , a,, la standard déviation de la seconde variable.

En représentant par P la moyenne de la somme des produits des écarts, la formule devient :

d'où il suit que le coefficient r est égal au quotient de la moyenne de la somme des produits des écarts par le produit des racines carrées de la moyenne des écarts des variables x et y et nous pouvons poser :

Le coefficient r est appliqué au calcul des variations de deux, de trois ou d'un plus grand nombre de variables. Nous envisagerons uniquement à cet endroit le cas de deux variables corrélatives, un paragraphe spécial sera réservé à l'examen et à l'application des méthodes lorsque trois variables sont considérées en même temps. Quant à l'étude des variables en plus grand nombre que trois, nous la passerons sous silence et nous renverrons le lecteur aux ouvrages des auteurs qui ont exposé ce point : nous avons

pris cette résolution à cause de la complication des méthodes quand il s'agit de plus de trois variables et parce que nous partageons l'avis de M. L. March qui pense que l'étude de la corrélation à deux variables est surtout celle qui doit retenir l'attention étant à peu près la seule qui ait été véritablement féconde (1).

326. Sous ce numéro nous étudierons l'application du coefficient r exclusivement à deux variables disposées selon l'ordre chronologique (cas A). (Cfr. n° 318.)

Un premier exemple nous est fourni par le tableau des lectures hebdomadaires de deux thermomètres souterrains tt et t2 faites à l'observatoire d'Edimbourg et rapportées par M. Thomas Heath, astronome adjoint à cette Institution.

Dans la première colonne du tableau nous portons les dates des observations faites; pour la facilité du lecteur nous nous sommes borné aux trois premiers mois de l'année (1899) ; les colonnes 2 et 3 sont réservées à l'inscription des indications des thermomètres relevées chaque semaine, à la date en regard. La moyenne arithmétique simple de ces données est inscrite au bas de la colonne. Les colonnes 4 et 5 contiennent les écarts, avec leur signe, de chaque observation à la moyenne; sous les numéros 6 et 7 on trouve les carrés de ces écarts; enfin, la colonne 8 donne le produit des écarts entre eux, avec leur signe. On fait la somme des x2 et des y2, on en prend la moyenne et on en extrait la racine carrée. Le numérateur de la fraction est le produit Sx y; on ne doit pas oublier qu'il s'agit d'une somme algébrique. Le dénominateur se compose du produit du nombre d'observations par ax et ay.

(1) March (L.), « Essai sur un mode d'exposer les principaux éléments de la théorie statistique ». (Journal de la Société de Statistique de Paris, 1910, p. 485.)

COVAKIATION

En se reportant au tableau suivant, le lecteur suivra avec la plus grande facilité la marche des calculs. Le résultat est positif et est égal à r = 0,984, c'est-à-dire qu'entre les indications fournies par les thermomètres t1 et t2 il y a une corrélation très étroite qui s'exprime par une donnée proche de l'unité.

Exemple 5.

Variations de deux thermomètres souterrains à Edimbourg.

(Matériel extrait des Trans. Roy. Soc. of Edinburgh, t. 40, 1900-1901, pp. 169-170, tab. I.)

Coefficient de Pearson (r)

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