V. — Equations de régression
336. Sous le nom d'équation de régression on désigne un procédé d'investigation complémentaire à la méthode des corrélations.
Tandis que le coefficient de corrélation exprime numériquement le degré d 'affinité qui peut exister entre la marche de deux phénomènes ou d'un plus grand nombre de faits
2 xy = 394 <*œ =1/ 257843 = ff„ 1/27.034 = n = 29
(Cfr. VI), les équations de régression permettent de déterminer les rapports- de dépendance des mouvements des divers phénomènes entre eux. Elles répondent à la question suivante pour le cas de deux variables : à quel changement de valeur du phénomène A correspond le changement de valeur m du phénomène B 1 S 'il s 'agit de trois variables, les équations de régression envisageront les changements de valeur de B et C par rapport à A, de A et C par rapport à B de A et B par 1 apport à C. Le coefficient de corrélation n'exprime donc que le degré d'affinité entre deux faits, tandis que les équations de régression font connaître quelque chose de plus, la répercussion que tout changement de valeur de A aura sur tout changement de valeur de B. Ainsi après les indications fournies par le coefficient de corrélation en ce qui concerne les rapports qui unissent deux phénomènes, les équations de régression viennent présenter un autre aspect de la même relation.
337. Il est désirable d'établir sommairement la genèse des équations de régression. Pour suivre cet exposé le lecteur voudra bien se reporter à la figure 28, qui représente par une ligne R R les moyennes des lignes horizontales dans une table de contingence et par une ligne CC les moyennes des colonnes verticales.
Soit M2 la valeur moyenne de Y et soit RR coupant l'horizontale M2x en M. Dans cette hypothèse, la verticale passant par le point M, coupera o X en Mi (1). Or Mt étant la moyenne de X, il s'en suit que la verticale passant par le point Mi passe aussi par la moyenne de o X.
En effet, considérons l'inclinaison de RR par rapport à la verticale. La tangente (2) de l'angle MXMR ou le rap-
(1) Cette théorie est basée sur le théorème suivant : D'un point pris hors d'une droite, on peut mener une perpendiculaire à cette droite, et on n'en peut mener qu'une.
(2) La tangente est la perpendiculaire élevée à l'extrémité du rayon qui passe par l'origine, jusqu'à la rencontre du rayon prolongé qui passe par l'extrémité de l'arc.
COVARIATION
port de KL à LM est bi. Admettons que les déviations observées à partir de MY et MX soient notées- par x et par y. Il en résulte que pour chaque colonne horizontale du type y dans lequel le nombre des observations est n, nous aurons :
2 [x) = nb1 y
et par conséquent, puisque 2 (n y) = 0 il viendra pour toute la table 2 (x) = b^{ny) = 0.M, est donc la moyenne de X et M devient la moyenne de toute la distribution.
'A l'aide du raisonnement qui précède, il est notamment établi que RR passe en M. Il reste maintenant à déterminer b2. Cette détermination peut s'exprimer par les termes du produit moyen de tous les accouplements de lettres des déviations associés x et y.
D'où la formule :
Pour chacune des colonnes horizontales, il viendra : 2 (x y) = y 2 (x) = nbi y2 et pour toute la table :
2 (x y) = b, S (n y*) = N bx a\
or
De même si CC est la Ugne sur laquelle tombent les moyennes des colonnes verticales et si b2 est, l'inclinaison par rapport à l'horizontale, r s/s M, il viendra :
Il est d'usage d'inscrire les équations (74) et (75) sous la forme suivante :
En adoptant cette dernière notation, on en tire :
h = r H* bt = r^- (77)
Dès lors, en écrivant les équations (49) en fonction de RR et de CC, nous aurons :
Ces dernières équations peuvent évidemment être exprimées dans les termes des variables X et Y plutôt que dans les termes des déviations x et y.
Quant aux équations (77) les quantités qu'elles expriment sont appelées les coefficients de régression ou, plus simplement les régressions, b± est la régression de x sur y ou l'écart en x qui correspond, en fonction de la moyenne, à un changement de une unité en Y. De même b2 est la régression de y sur x, ou l'écart y qui correspond, en fonction de la moyenne, à un changement de une unité en x.
338. D'après les formules précédentes, nous pouvons calculer les équations de régression applicables aux données de l'exemple 6. (Cfr. n° 327.) Le coefficient entre les données concernant la production et celles relatives aux échanges est positif et très élevé : + 0-979-
Nous savons que
En remplaçant cette expression littérale par sa valeur numérique nous avons :
^ = + 0 979feo^ = + 1•(58i
Nous avons vu que
COVARIATION
D'où, en recourant aux données de l'exemple 6, nous tirons les valeurs numériques :
Comme l'a fait remarquer M. Udny Yule dans sa remarquable exposition de la corrélation entre le taux des salaires agricoles et la proportion de la population secourue dans trente-huit districts anglais (1) on peut, pour le calcul, remplacer la valeur des x et des y, c'est-à-dire les déviations à la moyenne, par les valeurs moyennes absolues des variables.
Recherchons d'après ce procédé, la valeur de l'équation bx. Nous posons, d'après les calculs de l'exemple 6 cité plus haut :
L'équation br devient :
Simplifions et transformons l'équation. On a :
En effectuant la parenthèse, il vient :
Cette équation est l'équation bt cherchée. De même, nous pouvons substituer à y la valeur Y et rechercher dans ces conditions la valeur de l'équation b2.
(1) Cfr. Udny Yule, loc. cit., p. 179.
Nous effectuons les calculs suivants :
Y — 131 = 0.SH9 (X — 148) y est ici remplacé par sa valeur Y 131. x est remplacé par sa valeur X 148.
Nous simplifions et transformons :
Ce qui constitue l'équation b> cherchée.
Finalement nous obtenons les équations de régression :
Dans l'interprétation de ce résultat, il ne faut pas perdre de vue que les modifications se rapportent à un chiffre index 100 calculé sur l'année 1884.
