VI. — Calcul des corrélations à trois variables

339. Les calculs précédents concernent le cas où deux variables seulement se trouvent réunies. On peut concevoir la possibilité d'une telle rencontre lorsqu'il s'agit de phénomènes très simples, placés directement sous l'influence l'un de l'autre; mais lorsqu'il est question de faits plus compliqués, l'hypothèse de l'existence de deux variables seulement cesse d'être vraisemblable. La complexité des phénomènes économiques, particulièrement, atteint un degré élevé. On aimerait cependant à démêler les causes agissantes et à leur attribuer leur importance réelle. Le peut-on toujours à l'aide des calculs- de la co variation? La réponse nous semble négative, tout d'abord parce que le nombre de causes reconnues est trop grand pour que, pratiquement, il soit possible de les soumettre au calcul; ensuite, parce qu'à mesure de l'augmentation du nombre des éléments de la formule, celle-ci perd de sa précision et

COVARIATION

que son interprétation devient très délicate. Les résultats d'un calcul ne peuvent jamais être en contradiction avec la logique; on ne peut affirmer qu'il en serait toujours ainsi avec le calcul des covariations étendues à un nombre n de variables. La prudence dans les conclusions, qui a déjà été recommandée à propos de la covariation à deux variables est donc de mise, plus que jamais, quand if s 'agit de trois variables et plus. Les statisticiens anglais qui ont créé la théorie de la corrélation à n variables le font expressément observer.

A moins de dépasser de beaucoup les limites que nous avons assignées au présent ouvrage dans le domaine des sciences mathématiques, nous ne pourrions aborder ici l'exposé de la théorie mathématique de la corrélation à n variables. Elle n'est cependant que la suite logique de la théorie de la corrélation à deux variables, mais elle est nécessairement beaucoup plus compliquée. Nous essaierons de donner une idée claire du travail arithmétique à effectuer pour la solution des équations, sans entrer dans l'exposé théorique de la méthode; le lecteur pourra de la sorte se faire une idée pratique de la question, mais pour la partie théorique et démonstrative, il devra nécessairement recourir aux traités de statistique mathématique et aux travaux spéciaux indiqués aux références : les ouvrages de MM. Pearson et Yule doivent être lus et relus par les travailleurs désireux d'approfondir ces matières.

340. L'exemple de covariation à trois variables que nous avons choisi comme illustration du travail arithmétique est tiré de la « Statistique des Industries extractives et métallurgiques » publiée par l'administration des mines en Belgique. Les chiffres de deux des données que nous allons utiliser ont déjà été donnés dans l'exemple 3 (Cfr. n° 316), où nous avons calculé le coefficient I de dépendance entre le bénéfice à la tonne et le salaire journalier moyen des ouvriers du fond entre 1885 et 1915. Aux deux données

dont il s'agit, nous en ajoutons une troisième : la valeur moyenne de la tonne de charbon. Il s'agit donc de déterminer quelle est la relation numérique existante entre ces trois éléments : le bénéfice à la tonne (X:), la vaieur moyenne à la tonne (X2), le salaire journalier moyen de l'ouvrier du fond (X3).

Dans sa forme la plus simple l'équation à l'aide de laquelle se calcule la corrélation à trois variables s'écrit comme suit :

Les indices dont les coefficients de corrélation sont affectés sont l'objet d'une notation spéciale. Les premiers indices comprennent chacun deux chiffres sur trois chiffres existants concernant chacune des trois variables. Le premier des deux chiffres se rapporte à la variable indépendante, à la fonction; le second chiffre désigne la variable en fonction de laquelle les variations de la variable dépendante sont observées. Ainsi les coefficients de corrélation ci-après se rapportent :

rn, au bénéfice à la tonne (X,) en fonction de la valeur à la tonne (X2) r13, au bénéfice à la tonne (X,) en fonction du salnircjou ma lier moyen (X3) r23, à la valeur à la tonne (X2) en fonction du salaire journaliermoyen (X3^

Les indices en question sont appelés indices primaires; on les appelle aussi indices de V ordre zéro.

La suite du calcul a pour objet de déterminer les coefficients de corrélation du premier ordre. Ceux-ci sont affectés chacun de deux indices primaires et d'un indice secondaire; les indices secondaires désignent les variables res: tantes. Nous avons ainsi :

r12 3 = corrélation de X1? en fonction de X2, reste X3 ri3 2 = corrélation de Xr en fonction de X3, reste X2 rn î = corrélation de X2, en fonction de X3, reste Xj

COVAItlATION

341. Nous procéderons dans l'ordre des calculs et nous placerons sous les yeux du lecteur la suite des opérations.

En premier lieu, nous reproduisons les données numériques originales.

Bénéfice à la tonne, valeur à la tonne et salaire journalier moyen de l'ouvrier du fond dans les charbonnages de Belgique, de 1885 à 1911.

Années

Bénéfice à la tonne (X|)

Valeur à la tonne (X2)

Salaire journalier moyen (X3)

À NlMI7tTQ

Francs

342. Il faut commencer par chercher les constantes de chacune des séries de variables. Par M nous désignons la moyenne de la série, par o la standard-déviation, par r le coefficient de corrélation, chacune de ces lettres étant affectée de l'indice de la série de variables.

Nous calculons les M d'après la formule (3) :

et nous obtenons

Mt = 1.153 M2 = 12.078 M3 == 4.087

Outre les moyennes, nous avons à calculer la standarddéviation de chacune des séries. Rappelons la formule (14a).

Nous reproduisons, page 545, pour guider le lecteur, les calculs servant à déterminer la standard-déviation de la série relative au bénéfice à la tonne (ax).

Nous calculons de même les standard-déviation de X2 et X3 et nous obtenons les constantes :

at = 2.768 <r3 = 0.741

Il faut ensuite calculer les coefficients de corrélation existant entre :

1° X, etX2; 2° XjetX3; 3° X2 et X3.

Ces calculs, parfois assez laborieux, nous mettent en possession des constantes de corrélation qui s'inscrivent dans la première colonne du tableau ci-après (p. 548) intitulé : « Tableau du calcul de la corrélation à trois variables. »

343. Nous déterminons comme suit la première constante corrélative entre Xi et X2 et pour permettre au lecteur de suivre tous les détails de l'opération, nous reproduisons page 546 les calculs nécessaires pour déterminer r12.

COVAIUA1 ION

Calcul de o~

Années

Bénéfice à la tonne

Écarts (x) à la moyenne

Années

î ooy

1 kQfi

fi 4fi

1 OVJ4

fi 4fi

1 QQO

iyuu

ï.x2 = 22.828803 o*2 = ^ = 0.845511 ou 0.8455

Calcul de rn (1 = bénéfice à la tonne, 2 = valeur à la tonne)