I. — Les caractères de régularité

30. Devant la complexité des faits qui se présentent à elle dans le domaine des sciences sociales, l'observation commune est impuissante à formuler des conclusions précises. Tous, nous savons que les naissances masculines et féminines se produisent en nombre à peu près égal, car le bon sens nous dit que, s'il n'en était pas ainsi, on verrait, au bout de peu de temps, un sexe représenté par un nombre d'individus beaucoup plus important que l'autre, ce qui, visiblement, n'est pas exact. Mais à cela se borne la présomption que nous pouvons tirer du raisonnement; dans ce cas même, l'observation commune serait de nature à nous induire en erreur, car, dans les limites où elle est capable de s'exercer, elle ne nous révélerait rien autre chose qu'une situation chaotique : ici, nous verrions prédominer les naissances masculines, là ce seraient les naissances féminines qui l'emporteraient. Au total, il serait impossible de rien affirmer de positif.

Au contraire, l'observation scientifique éclaire cette question d'une façon saisissante. Lorsque les observations sont nombreuses, on voit que le rapport entre les naissances masculines et féminines se maintient à peu près exactement dans la proportion de 105-106 garçons pour 100 filles.

La proportion est un peu plus faible en Belgique, mais les chiffres conservent leur portée instructive, quel que soit le rapport.

Pour 100 naissances féminines, nombre de naissances masculines en Belgique :

Périodes.

Naissances masculines.

Légitimes. Illégitimes.

L'observation scientifique, réalisée par la méthode statistique, montre donc qu'il existe des. « régularités » dans un domaine où l'observation commune ne peut rien nous révéler de semblable. Les recherches anthropométriques, qui ont pris tant de développement au cours de la seconde moitié du xixe siècle, ont permis de constater un grand nombre de régularités analogues. Ainsi, la stature comparée des hommes et des femmes a fourni d'intéressants éléments de discussion. Des études statistiques portant sur un nombre élevé d'individus, ont établi que l'homme a une stature plus élevée que la femme à tous les âges, sauf à celui de la puberté, parce que la femme est plus tôt nubile que l'homme; de même, on a remarqué que la puberté s'accompagne ou est suivie immédiatement d'une forte poussée de croissance, de telle sorte que, selon l'expression d'un auteur, cette période de la vie est semblable à une seconde naissance. Certains auteurs ont soutenu que la tendance à la croissance était constante, mais qu'à partir de certain âge, 35 ans environ, elle était annihilée par différentes circonstances anatomiques et physiologiques. Quoi qu'il en soit, on se trouve en présence de régularités que la méthode statistique est seule à même de faire apparaître; l'observation commune n'aurait pu fournir à la science les éléments que les recherches anthropométriques ont si largement utilisés.

31. Ce qu'on vient de dire à propos de la stature aux différents âges, on peut le répéter à propos du poids du corps,, de l'ampleur thoracique, de la force musculaire, etc. Or,, il est intéressant de remarquer que les premiers travaux de Quetelet, ceux qu'il fit paraître entre 1825 et 1835, se rapportent précisément à ces questions (v. supra n° 15) et que c'est en se basant sur les constatations qu'il avait faites que le grand statisticien belge prononce pour la première fois le mot de « loi statistique ». « L'homme, écrit-il dès. les premières lignes de son Essai de physique sociale, publié en 1835, l'homme naît, se développe et meurt d'après certaines lois. »

Il est certain que Quetelet n'a pas entendu donner à ce mot de « loi » le sens rigoureux qu'on y attache quand on parle de lois physiques. Celles-ci expriment un rapport général et constant, mais non absolument nécessaire, en ce sens que la relation entre les phénomènes est établie entre des variables et vérifiée seulement dans les limites d'erreur des expériences. « Les lois qui s'appliquent à l'homme, dit Quetelet, par la manière même dont on les a déterminées, ne présentent plus rien d'individuel : toutes les applications qu'on voudrait en faire à un homme en particulier sont essentiellement fausses; de même que si l'on prétendait déterminer l'époque à laquelle une personne doit mourir en faisant usage des tables de mortalité (1). » La distinction entre les lois physiques et les lois statistiques appliquées à l'homme est explicite; toutefois, on ne pourrait affirmer que Quetelet l'ait toujours maintenue aussi nettement; dans un bon nombre de ses écrits, il est visiblement dominé par la conception mécaniste qu'il avait puisée dans son initiation aux travaux de Laplace et de Fourier. Aussi, ne faut -il pas s'étonner si quelques statisticiens ont, à sa suite, affirmé hardiment qu'il y avait dans les phénomènes

(1) Quetelet, Sur l'homme, 1835, p. 14.

sociaux comme dans les phénomènes de l'ordre physique, une régularité telle qu'elle pouvait, dans l'un comme dans l'autre cas, être désignée sous le nom commun de « loi ». Dufau n'a-t-il pas écrit que les faits du monde moral ne se comportent pas autrement que ceux du monde physique? « Une étude attentive, ajoute-t-il, montre qu'ils se produisent d'après certaines lois fixes et invariables qui en règlent la succession (1). »

Herschel, qui fut lié d'amitié avec Quetelet, partage les vues de celui-ci et Buckle, fortement inspiré du statisticien belge dans sa conception historique, proclame que les actions humaines au lieu d'être le produit du hasard ou l'effet d'une influence surnaturelle, sont gouvernées par des lois générales en regard desquelles la liberté humaine n'exerce qu'une influence perturbatrice insignifiante. Wagner, à son tour, considère que toute la théorie de la statistique s'appuie sur la conception d'une loi causale générale. C 'est la loi universelle des phénomènes qui se succèdent l'un à l'autre et d'après laquelle tout conséquent a un antécédent immuable. La loi du phénomène est le rapport constant entre un phénomène comme effet (ou comme conséquent constant) et un ou plusieurs phénomènes qui en sont la cause (ou antécédents constants). La loi indique l'uniformité du phénomène, elle montre comment la cause domine le phénomène d'une façon toujours égale. Trouver cet état de dépendance d 'un phénomène veut dire en trouver la loi.

32. Nous n'entrerons pas, à propos de cette notion de loi, dans la discussion, qui s'amène naturellement à la suite, de la question de la liberté et du déterminisme social. L 'examen de ce point n'entre pas dans le programme des notions préliminaires que nous traitons brièvement ici, non plus

(1) Dukait, De la méthode d'observation dans ses applications aux sciences morales et politiques. Paris, ]Sfi6.

que dans celui de la statistique méthodologique. Aussi, parmi les objections qui furent faites à la conception de « loi », ne prenons-nous que celles qui visent l'essence du terme même et non pas les objections qui impliquent la négation du déterminisme social. Rumelin, avec son esprit critique habituel, a bien formulé l'opinion d'après laquelle ie terme de « loi », appliqué aux régularités statistiques, aurait en réalité une portée trop vaste. « La statistique, dit-il, traite la notion de loi, non seulement dans un sens inadmissible pour les autres sciences, mais elle s'imagine même pouvoir construire là-dessus une théorie qui lui est propre. » La « loi des grands nombres », par exemple, est une expression malheureuse aux yeux de Rumelin. Elle éveille l'idée qu'à côté des lois valables pour tous les cas, il en est qui ne commanderaient que les deux tiers ou les trois quarts des cas. « Or, ajoute Rumelin, la généralité est pour tout penseur méthodique le premier et le plus indispensable caractère de la loi. S'il reste un cas où elle est sans effet, bien que sa formule s'y applique, il ne lui reste qu'à conclure que sa formule est fausse. »

Rumelin montre ensuite que la statistique peut conduire à la découverte de lois et que si cette méthode n'est pas la seule qui, dans le domaine des faits sociaux, puisse aboutir à ce résultat, elle est néanmoins une des plus fécondes. Toutefois, dit-il encore, la loi ainsi conquise n'aura plus qu'une forme statistique ou simplement numérique : mais, comme toute autre loi, elle sera générale et sans exception. Elle n'aura plus rien à faire avec le grand nombre, sinon que celui-ci a servi à la découvrir et peut encore aider à la démontrer.

Il ajoute encore : « Il semblerait que nombre de statisticiens, et précisément les fondateurs et les représentants de l'école la plus active et la plus méritante, aient oublié ces échelons naturels d'une étude scientifique, pour attribuer aussitôt ce caractère suprême de loi aux degrés préli-

CARACTÈRES l'KOPKES A LA STATISTIQUE

minaires, aux simples régularités, aux attributs, aux liaisons causales. »

Après avoir rappelé le fait de la prédominance des naissances masculines, Rumelin précise encore sa pensée en disant : « Est-ce à dire qu'il y ait là un ordonnancement divin, comme le pense le premier inventeur de la chose (1), ou même une loi naturelle, comme disent les statisticiens modernes? Ce ne sont, en réalité, que des faits encore inexpliqués pour nous. Ce qui nous manque ici, c'est bien plutôt précisément la loi, et cette loi ne peut être qu'une loi de la généralisation, à découvrir par la physiologie, non par la statistique (2). »

33. A côté de quelques expressions contestables, cette thèse de Rumelin paraît renfermer une grande partie de vérité. L'auteur, par réaction, va trop loin quand il dit d'une manière absolue que la notion de loi entraîne toujours avec elle l'idée d'une liaison constante et générale des phénomènes entre eux. Ce caractère de rigueur absolue que nous sommes enclins à donner aux caractères généraux que nous nommons « lois », est bien plus une abstraction de l'esprit qu'une réalité. Ce qu'on a pris au début pour des lois immuables a été reconnu plus tard, lorsque les recherches méthodiques ont été instituées sur un plan meilleur, comme sujet à certaines variations. Etant données l 'infériorité naturelle de nos sens, les limites de notre intelligence, l'imperfection des instruments dont nous nous servons, nous ne pouvons affirmer avec une certitude absolue que les manifestations d'un phénomène que nous considérons comme semblables soient rigoureusement et absolument les mêmes. Personne ne parviendrait à démontrer que deux objets sont exactement semblables, parce qu'on peut concevoir

( 1 ) SlSSMII.CH .

(2) Rumelin, loc. cit., pp. 15 à 19.

l 'énumération de leurs qualités individuelles comme atteignant l'infini ou du moins s 'étendant à un nombre tel que pratiquement on ne puisse l'épuiser. De même, les manifestations des phénomènes peuvent varier, par des points accessoires que nous n'apercevons pas. Dans notre naïveté ou notre orgueil, nous nous figurons avoir atteint l'absolu.

Au contraire, les sciences expérimentales nous enseignent que beaucoup de manifestations considérées comme uniformes et constantes, sont comprises entre des limites et agissent comme des variables.

Mais Rumelin a raison quand il s'élève contre l'abus qu'on a fait en statistique — et, aurait-il pu ajouter, en économie politique — du mot « loi ». Pour saisir l'erreur de terminologie dans laquelle beaucoup de statisticiens ont versé, il faut s'entendre sur la portée exacte des mots et sur la classification des opérations scientifiques.

Lorsqu'une vérité est connue à l'aide d'un raisonnement déductif qui montre les relations existantes entre deux ou plusieurs phénomènes, le résultat ainsi obtenu se désigne sous le nom de théorème ou encore d'hypothèse scientifique. Les vérités démontrées par la géométrie ne sont pas des lois, mais des théorèmes. On ne dit pas la loi du carré de l'hypoténuse, mais le théorème du carré de l'hypoténuse.

Au contraire, si la même vérité ne pouvait être atteinte que par une longue suite d'expérimentations ou d'observations, au lieu d'être déduite par le raisonnement, on énoncerait un principe. Si entre les faits, on établissait une relation causale, on aurait énoncé une loi.

34. Benini fait remarquer avec raison qu'il importe de distinguer entre les (( lois » et les « notions empiriques concernant l'uniformité et la régularité des phénomènes ». Savoir que telle ou telle année il y aura des éclipses du soleil ou de la lune est une notion simple; savoir que, à chaque cycle de 223 lunaisons (18 ans, 11 jours, 7-8 heures),

CAKAi TKliKS PliOPKKS A !.A STATISTIQUE

on a une répétition assez approximative des éclipses précédentes, signifie qu'on a la notion empirique d'une uniformité naturelle ; déterminer enfin les antécédents de cette périodicité, les rapporter aux lois de la mécanique céleste, est affirmer une loi.

Or, en statistique, on a souvent attribué avec prodigalité le nom de lois à de simples régularités ou uniformités empiriques, sans que l'on ait réuni la moindre donnée explicative relativement aux causes qui provoquent cette régularité ou aux circonstances qui tantôt en permettent la manifestation, tantôt l'empêchent d'apparaître. Supposons qu'à l'aide de recherches physiologiques, on ait découvert, comme on l'a prétendu déjà, que tel régime alimentaire appliqué aux parents aurait pour conséquence de provoquer la naissance d'enfants mâles; que l'âge des époux étant dans tel rapport, on aurait chance de voir des naissances féminines se produire en plus grand nombre que des masculines. Supposons encore que ces faits aient été vérifiés un très grand nombre de fois, qu'en y appliquant les méthodes inductives on ait reconnu entre eux un lien causal indiscutable, alors on serait en droit de donner le nom de lois à des constatations de l'espèce.

35. Mais ces conditions ne sont pas réalisées dans la méthode statistique. Ce que la statistique nous livre, c'est une constatation obtenue à l 'aide d 'une méthode scientifique, sans plus. Elle ne nous donne aucune explication directe. Elle ne fait immédiatement ressortir aucun lien causal entre les phénomènes. Le statisticien nous dit : J'ai observé un grand nombre de naissances au point de vue de la répartition des sexes. Je puis vous affirmer que les naissances masculines sont un peu plus nombreuses que les naissances féminines, et cela dans une proportion de 4-5 ou 5-6 p. c.

La statistique ne nous dit pas i cet excédent des naissances masculines est dû à telle et telle cause. Elle constate le fait. Elle énonce une régularité de la nature, mais elle ne

va pas plus loin. C'est ajouter au sens naturel des mots que de voir dans cette constatation une loi. Nous connaîtrons la loi par des recherches successives, si nous arrivons jamais à la connaître. Ce sera peut-être l'œuvre d'un physiologiste, ou d'un embryologiste, mais il n'est pas à présumer que ce soit celle d'un statisticien. Peut-être, dans les recherches qui conduiraient à la découverte de la loi, y aurait-il lieu de recourir à la méthode statistique. La chose est vraisemblable, mais elle ne fait que montrer que la statistique est avant tout une méthode scientifique qui trouve sa place dans des sciences distinctes. En résumé, la statistique constate des régularités naturelles et ne découvre pas de lois. En cela elle remplit sa fonction de méthode scientifique et le rôle qu'elle joue à cet égard est assez utile, assez glorieux pourrait on dire, pour qu'il ne soit pas besoin, pour en renforcer la valeur, de détourner les mots de leur acception véritable et de nommer loi la constatation de& régularités naturelles par le procédé statistique.

S'il fallait encore ajouter quelque chose aux arguments qui viennent d'être exposés, il suffirait, pour emporter la conviction, de faire remarquer que les tendances et les régularités décorées du nom de « lois statistiques » n'ont rien d'absolu, ni de permanent. Absolues, ces « lois » ne le sont pas dans le temps, puisqu'elles sont sujettes à modifications et qu'elles peuvent même cesser de se manifester; elles n'ont rien d'absolu dans l'espace puisque leurs manifestations varient d'un pays à un autre,même d'une province à une autre ; elles ne sont même pas absolues à un moment donné, dans un lieu donné, puisque, pour la plupart, elles varient dans leur manière d'être selon qu'elles se manifestent dans des classes sociales différentes. Les constances statistiques sont purement relatives; résultant d'une action combinée d'éléments constants et variables, elles subissent les influences du temps et du lieu où on les observe ; vraies, à un moment, pour un groupe ; elles ne le sont pas pour les individus qui composent ce groupe. Ce sont, comme dit Ga-

baglio (1), des lois de fait, secondaires, dérivées, empiriques, comme les causes desquelles elles résultent.

II. — Notions générales sur les combinaisons et les probabilités.

36. La connaissance scientifique dans son expression la plus haute pourrait se caractériser par un mot : la certitude, mais ce sommet, que nous entrevoyons dans nos rêves, n'est pas près d'être atteint. Toute connaissance est relative; la plus complète ne fait encore que réunir un certain nombre — élevé, il est vrai, — de probabilités. N 'arrive-t-il pas que les théories les plus généralement admises sont déracinées par des découvertes nouvelles? C'est une humiliation que nous subissons avec patience; elle n'empêche pas que, sur ces données nouvelles, nous construisions une théorie neuve, car le besoin de synthétiser en un corps de doctrine les expériences journalières est universel et impérissable. La conviction que le monde n'est pas régi par des lois aveugles, l'espoir de découvrir la raison des phénomènes au milieu desquels nous vivons, est un ressort qui ne s'use pas. Comme le dit si bien M. Emile Boiel : « Le jour où l'homme a compris qu'il pouvait se proposer un tel but, il ne s'en est jamais laissé détourner; même dans les périodes les plus sombres de l'histoire, lorsque les soucis de la vie matérielle absorbaient presque toutes les énergies, il s'est trouvé des chevaliers servants de la raison pour conserver et transmettre le flambeau de la pensée antique (2). »

L'expérience isolée ne peut satisfaire notre soif de savoir. Nous voulons connaître la façon dont les phénomènes s'enchaînent et s'ordonnent. Eechercher les causes des phénomènes est la tâche la plus essentielle qui s'impose à nous,

(1) Gabaguo, loc. cit , p. 384.

(2) Emile Borel, Le Hasard, p. 4. Paris. Alcan, 1914.

car si nous connaissions, par impossible, les causes de tous les phénomènes, nous connaîtrions, du même coup, toutes les circonstances de leur répétition éventuelle, en quelque sorte nous connaîtrions l'avenir. Il importe peu que la raison nous dise qu'un tel rêve est vain. Il y a une telle distance entre cette connaissance générale et absolue et la relativité autant que la petitesse de notre savoir, qu'on peut toujours essayer de gravir un échelon. D'ailleurs, un progrès en appelle un autre, aucune connaissance positive ajoutée à notre bagage intellectuel n'est sans utilité pour la conquête d'une notion nouvelle qui, auparavant, nous paraissait bien chimérique. C'est une loi de la science qu'une connaissance nouvelle en appelle invinciblement une autre. Pas à pas, nous nous acheminons- vers le bat : qu'importe qu'il soit encore lointain, si nous nous en rapprochons?

37. Nous avons dit plus haut ce qu'il fallait entendre par a loi statistique » et nous avons montré qu'il s'agissait de désigner sous ce nom des régularités constatées parmi les phénomènes. L'explication causale est absente de cette conception, mais rien que la découverte de la régularité est précieuse parce qu'elle met le penseur sur la piste de l'explication causale. A l'aide des méthodes d'analyse, le chercheur parviendra peut-être à isoler les causes constantes des causes accidentelles et alors il se trouvera sur le chemin qui conduit à l'explication finale; même réduite à ces proportions relativement modestes, la recherche scientifique n'en renferme pas moins une difficulté redoutable.

La complexité du monde et de la vie est inimaginable. Elle fait d'ailleurs partie de leur nature intime. L'immobilité complète n'évoque chez nous que l'idée de la mort. La vie, c'est le mouvement, c'est le changement, c'est la variété, c'est la complexité. Les causes s'enchaînent et s'entre-croisent, elles se multiplient par leurs actions réciproques. Comment faire pour les classer, pour les dénombrer? Car avant de connaître les phénomènes probables

nous devons prendre conscience des phénomènes possibles. C'est la raison pour laquelle, avant d'esquisser la notion de la « probabilité statistique », nous devons aborder en peu de mots les éléments du calcul des combinaisons et des permutations.

38. Entre plusieurs objets que nous observons, il peut exister des arrangements, se présenter des changements, s'imaginer des combinaisons extraordinairement nombreuses et variées.

On appelle « analyse combinatoire » cette partie des mathématiques qui a pour but d'énumérer les différentes manières dont on peut ranger des objets donnés dans des circonstances déterminées. Les cas les plus simples de l'analyse combinatoire consistent en ce qu'on appelle : A, les arrangements; B, les permutations; C, les combinaisons. Comme le fait justement observer Stanley Jevons, le calcul combinatoire est une des parties les plus curieuses des mathématiques ; les formes des expressions algébriques sont déterminées par les principes des combinaisons, et les opérations fondamentales du calcul des probabilités ne diffèrent pas de celles de l'analyse combinatoire. Les nombres pour ainsi dire infinis, en tout cas inexprimables, auxquels on arrive rapidement dans les permutations, ont été de tout temps un objet de curiosité et d'étonnement. Pascal et Leibniz se sont appliqués avec passion au calcul des permutations et des combinaisons, qui a été également un sujet d'études auquel Jacques Bernouilli consacra une partie de son existence. Dans les lignes qui suivent nous ne nous occupons que des arrangements, permutations et combinaisons sans répétition. Aussi bien il existe des arrangements, permutations et combinaisons avec répétition, c'est-à-dire dans lesquels les mêmes objets sont répétés identiquement.

39. On appelle arrangements les modifications que l'on fait subir à un certain nombre d'objets, au point de vue de

leur ordonnancement, de manière à former des groupes de n an objets parmi m objets' donnés. Le symbole sous lequel on désigne les arrangements est A m » et la formule du calcul est :

formule qui peut se traduire par la règle : le nombre des cléments à disposer est multiplié successivement par ce nombre diminué chaque fois d'une unité et cela autant de fois qu'il y a d'unités de la classe. Il faut et il suffit qu'aucun groupe ainsi formé ne soit identique à un autre, soit par la nature des éléments qu'il comprend, soit par l'ordre dans lequel ces éléments sont énumérés. Ainsi : D E F, lettres prises sur un ensemble de 6 lettres, constituent un groupe différent de A B C, mais C B A forment aussi un groupe différent de A B C.

Soit l'exemple suivant : une maîtresse de maison recevant chez elle vingt invités, veut, après une soirée musicale, leur offrir à souper par « petites tables » de quatre personnes chacune. Combien d'arrangements pourra-t-elle imaginer pour faire varier la composition des tables et l'ordre dans lequel les vingt invités pourront se placer? Nous avons :

A 20,4 - 20 . 19 . 18 . 17 =Jg^»r. lù<*

Supposons maintenant que quatre personnes de la maison prennent place avec les vingt invités et que- les arrangements possibles soient calculés sur l'ensemble de 24 personnes, on a :

On voit par là que le fait d'ajouter un petit nombre d'unités à un nombre primitivement choisi a pour conséquence d'augmenter prodigieusement le nombre d'arrangements possibles.

Ainsi, si au lieu de 24 personnes, nous prenons pour exemple les 26 lettres de l'alphabet rangées quatre par quatre, nous avons :

40. Si le nombre d'arrangements divers que l'on peut obtenir entre un nombre relativement peu élevé de choses différentes est un sujet d'étonnement, que faudrait-il dire des nombres auxquels on arrive dans le calcul des permutations ?

Le symbole des permutations est P n et la formule du calcul à opérer est :

On donne le nom de permutations au nombre de manières dont on peut ranger n objets, ou encore au nombre de groupes différents que l'on peut former en les rangeant successivement, dans des ordres différents.

Dans les permutations les groupements constitués contiennent tous les mêmes éléments, mais chaque groupement est considéré comme différent d'un autre du moment que les éléments qu'il contient sont rangés dans un ordre qui n'a pas encore été réalisé. Le nombre de n éléments est donc égal au produit des n nombres entiers. Remplaçons n par -un chiffre, nous avons :

Supposons que nous ayons à présenter à un haut personnage dix personnes entre lesquelles ne se marque aucune distinction essentielle, de façon que l'ordre de présentation puisse être indifféremment modifié. Nous avons :

Si le nombre de ces personnes atteignait le chiffre de 12,. nous atteindrions le chiffre de 479 millions.

On appelle factorielle le produit de facteurs en progression arithmétique, donc le produit de tous les nombres entiers depuis l'unité jusqu'à la valeur n exprimée dans le symbole P n. Les factorielles ont été calculées pour un certain nombre de chiffres. Voici celles qui comprennent les 12 premiers nombres :