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41. Il importe de ne pas confondre les permutations dont nous venons de parler et les- combinaisons auxquelles est consacré le présent numéro. Il ne faut pas confondre non plus les combinaisons avec les arrangements. A. cette fin, reprenons l'exemple que nous avons donné sous le n° 39 en parlant des arrangements.

Une maîtresse de maison, avons-nous dit, ayant à placer vingt invités, par « petites tables » de quatre personnes et voulant, à la fois, déterminer la composition de chaque table et la place que chacun y occupera, a le choix entre 85,680 façons différentes de ranger son monde.

Le procédé auquel elle a eu recours pour déterminer ce chiffre est celui donné par la formule des arrangements :

Mais l'énormité même du nombre de manières dont il est possible de disposer les vingt invités constitue une difficulté pratique. La maîtresse de maison se préoccupe alors de simplifier les données du problème et se dit qu'il serait

bien suffisant que la composition des tables soit arrêtée à l'avance sans qu'on se préoccupe de fixer la place que chacun des quatre invités occupera à cette table : nous sommes ici dans le cas des combinaisons.

On appelle combinaisons de m objets pris n à n les groupes que l'on peut former en prenant n objets parmi ces m objets donnés, de manière à ce que deux groupes diffèrent par la nature des objets qui servent à les former. Dans lesarrangements, la place des objets intervient en même temps que leur nature. On peut encore dire que « les combinaisons sont des groupements que l'on peut former entre plusieurs (m) éléments, pris deux à deux, trois à trois, ou en un nombre quelconque ne dépassant pas n, à condition que chaque groupe contienne au moins un élément autre que dans les autres groupes.

A m. 11 -Cm 11 m(m — 1) ....(m — n + \) Cm, n = v> ou : ~ — rr — ■ (3)

Le problème que notre maîtresse de maison a à résoudre est donc le suivant :

Il y a donc 3,570 combinaisons de table différentes au lieu de 85,680 comme dans le cas précédent, ce qui est encore bien suffisant à créer des maux de tête à notre maîtresse de maison; aussi est-il probable qu'elle se résoudra à laisser ses invités se grouper eux-mêmes d'après leurs goûts et leurs sympathies, et ce sera pour un mieux.

Si, au lieu de faire des tables de quatre, on arrangeait des tables de trois, il n'y aurait que 840 combinaisons possibles et si l'on voulait organiser des tête-à-tête, il n'y en aurait que 140 possibles, car :