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42. Les différences numériques qui se remarquent dans les résultats des arrangements, permutations et combinaisons sont considérables. La raison de ces différences est facile à apercevoir. Dans les permutations, nous envisageons tous les éléments et tous les changements possibles entre ces éléments ; les permutations sont des énumérations complètes de tous les cas possibles, chaque cas ne différant d'un autre que par la place qu'il occupe. C'est donc comme si l'on écrivait toute la série autant de fois qu'on pourrait le faire à la condition unique qu'aucune des énumérations ne soit rigoureusement identique à ,-une précédente. On arrive de la sorte, et très rapidement, à des nombres incommensurables parce que chaque produit partiel est multiplié par un facteur supérieur d'une unité au précédent. Nous avons dit que la factorielle de 12 est déjà 479,001,600. Les logarithmes des factorielles jusqu'à 265 ont été publiés par une association scientifique anglaise, la « Society for the diffusion of the Useful Knowledge » ; pour exprimer en chiffres une factorielle de cette importance, il faudrait utiliser 529 chiffres.

Dans les arrangements, au contraire, l'accroissement des données numériques est limité par le nombre des choses que l'on considère en même temps, soit deux à deux, trois à trois, quatre à quatre. Partant du nombre le plus élevé, on diminue les facteurs successifs chaque fois d'une unité. On atteindrait des nombres aussi élevés que dans les permutations dans une hypothèse seulement : celle où l'on arrangerait les objets considérés sous un nombre d'unités de la classe égal au nombre total des termes, mais alors on serait dans le cas des permutations et non plus des arrangements.

Toute combinaison est, dans sa nature intime, toujours différente d'une autre combinaison, car un des éléments qui en faisait partie cède sa place à un autre : nous avons déjà dit que sont exclus les groupes qui contiennent les mêmes éléments mais en ordre divers, hypothèse qui fait partie, au contraire, des arrangements et des permutations.

Il est donc naturel que les combinaisons soient le mode d'énumération qui contient les éléments les moins nombreux.

On a aussi fait remarquer que l'ajoute d'un seul élément aux arrangements, permutations et combinaisons augmente les nombres dans une proportion bien plus élevée qu'on ne pourrait s'y attendre à première vue. Ce fait résulte de l'addition d'un facteur nouveau qui multiplie tous les autres.

Dans les permutations, le dernier facteur est toujours supérieur d'une unité au précédent.

Ainsi, nous avons :

Dans les arrangements, chaque facteur nouveau diminue d'une unité seulement par rapport au précédent et il multiplie tous les produits antérieurs à son introduction.

La somme obtenue dans le cas de A 90, 4 est donc 87 fois plus élevée que dans le cas de A 90, 3.

Il suffit de se reporter à ces exemples pour se faire une idée de la complexité des phénomènes naturels dans lesquels plusieurs facteurs se combinent.

43. La construction du triangle arithmétique, appelé aussi triangle de Pascal, permet de rechercher immédiatement quel est, pour un nombre déterminé d'objets, le nombre de combinaisons possibles et quel est le nombre de manières dont m choses peuvent être choisies en combinaison de n choses données. La solution de ce problème nous permet en même temps de résoudre un certain nombre de questions simples du calcul des probabilités. Stanley Jevons,

dans son ouvrage cité plus liant, donne la formule suivante pour la construction du triangle arithmétique :

On commence, dit-il, par inscrire l'unité au sommet, puis, à la ligne suivante, nous plaçons une seconde unité à la droite de la première. Pour obtenir la troisième ligne de chiffres, nous reculons la ligne précédente d'un rang à droite et nous les additionnons aux mêmes chiffres, tels qu'ils étaient avant d'être reculés. Soit l'exemple suivant :

La règle est formulée d'une façon un peu différente par M. Em. Borel :

<( On inscrit sur une première ligne le nombre 1 répété deux fois, puis on calcule chaque nombre à inscrire dans les lignes suivantes, en ajoutant au nombre inscrit immédiatement au-dessus de lui le nombre inscrit à la gauche de celui auquel on l'ajoute; dans l'application de cette règle, on suppose mentalement que les lignes sont prolongées à droite et à gauche par des zéros (1). »

Nous reproduisons ici le triangle arithmétique calculé pour les 17 premières lignes. Il est évident que ce calcul peut, en théorie, être répété sans limite, mais on arrive rapidement à des chiffres tellement forts que, pratiquement, la solution possible est renfermée dans des limites relativement étroites.

(1) Emit.e Borf.l, Eléments de la théorie des probabilités Paris, Hermann, 1909, p. 9.

Colonnes

44. Le triangle arithmétique réunit une série de propriétés. En premier lieu, nous remarquons que le total des nombres inscrits sur chaque ligne augmente selon la progression 2, 4, 8, 16, 32, 64, etc., en sorte que la somme de chaque ligne horizontale représente le double de la ligne immédiatement supérieure et la moitié de la ligne subséquente.

Il suit également du mode de construction du tableau que la différence des nombres dans chaque colonne peut être trouvée dans la colonne précédente à gauche, un rang plus haut. L'unité qui apparaît dans la première colonne est la première différence des nombres inscrits dans la seconde colonne et ainsi de suite.

La disposition des nombres est symétrique, c'està-dire qu'ils vont en augmentant jusqu'au milieu, puis ils diminuent de la même façon. Dans- les lignes de rang pair, le partage se fait exactement au milieu, en un nombre unique ; dans les lignes de rang impair, ce partage égal ne peut être réalisé et l'on trouve le nombre le plus élevé répété deux fois. A chaque ligne, le point le plus élevé est donc tantôt indiqué une seule fois, tantôt deux fois, et la place que ce nombre occupe est chaque fois d'une rangée de plus- à droite.

Enfin, le triangle arithmétique permet de trouver immédiatement les coefficients des puissances successives d'un binôme : la première colonne horizontale renferme les coefficients de la première puissance du binôme; la deuxième, les coefficients de la deuxième puissance; la nm', les coefficients de la nme puissance. Le triangle arithmétique facilite ainsi l'application du binôme de Newton, puisque nous savons d'ailleurs que les exposants de la lettre a vont sans cesse en diminuant et que ceux de la lettre b vont en augmentant.

Le triangle arithmétique présente le grand avantage de résoudre immédiatement les problèmes de combinaison, en indiquant de combien de manières on peut choisir m choses en combinaison de n choses. Voici un exemple emprunté à Stanley Jevons : on demande de combien de manières une sous-commission de 5 membres pourra être choisie parmi un comité qui compte 9 membres.

Le calcul donne :

mais nous pouvons supprimer tout calcul, en nous servant du triangle arithmétique; il suffit de nous reporter à la

CAlîACTÈMES PKOPHES A LA STATISTIQUE

dixième ligne et de consulter le chiffre inscrit à la sixième colonne, où nous trouvons 126 (1).

Parmi 10 invités, on désire faire des classements 3 par 3. Combien y a-t-il de classements possibles? Nous consultons la onzième ligne, quatrième colonne, et nous lisons la réponse 120. En effet, le calcul donne :

Nous empruntons encore à M. Borel le problème suivant dont la solution est donnée immédiatement par la simple lecture du triangle arithmétique :

(( Y a-t-il plus d'avantage à parier que l'on gagnera au jeu de pile ou face, au moins 5 parties sur 7 ou que l'on en gagnera au moins 6 sur 9 ? »

Nous reportant au triangle arithmétique construit d'après la méthode de Stanley Jevons, nous avons à consulter, pour déterminer la valeur du premier cas 5/7, la huitième ligne, sixième colonne et, bien entendu, à additionner les nombres consécutifs dont la somme formera le total des cas favorables. Nous lisons les nombres suivants- :

En procédant de même pour la seconde hypothèse, nous avons à la dixième ligne, septième colonne :

La première fraction représente : -j- - jgg; la seconde vaut — + ; la seconde hypothèse est donc légèrement plus favorable que la première.

(1) Ceci d'après la règle de formation du triangle donnée par Stanley Jevons. Si l'on adopte la règle indiquée par Borel. il faut consulter la neuvième ligne.

45. La formule mathématique des probabilités est la même que celle des combinaisons, d'où il suit que le triangle arithmétique est également capable de fournir la réponse à donner aux questions simples du calcul des probabilités, comme nous venons de le voir par l'exemple des paris engagés su,r la chance respective de gagner 5 parties sur 7 ou 6 parties sur 9.

La notion la plus simple de la probabilité mathématique s'exprime en disant que cette probabilité est mesurée par le rapport entre le nombre de cas favorables et le nombre de cas possibles. Les cas possibles sont mesurés par le nombre de combinaisons possibles ; les cas favorables sont ceux dont nous attendons l'arrivée. La probabilité la plus grande est exprimée par le rapport le plus élevé existant entre les- deux nombres de cas possibles et de cas favorables. En dehors de ce point, la probabilité décroît graduellement.

La théorie des probabilités dans ses rapports avec la statistique sera examinée en détail à l'endroit où l'on parlera de la loi de la répartition des erreurs accidentelles. Pour le moment, il suffit de rappeler que les phénomènes collectifs comportent une série de manifestations indépendantes parmi lesquelles nous avons à rechercher quelle est la plus probable. Or, pour exprimer la probabilité de plusieurs événements qui sont indépendants entre eux, il faut considérer deux hypothèses : s'il y a deux événements ou plus qui ne peuvent arriver en même temps, la probabilité que l'un ou l'autre arrivera est la somme de leurs probabilités respectives; s'il y a deux événements dépendant l'un de l'autre de telle sorte que le premier doive avoir lieu avant que le second puisse se produire, la probabilité de l'arrivée simultanée des deux événements est le produit de la probabilité du premier par la probabilité qu'après l'arrivée du premier le second surviendra. La probabilité composée d'événements indépendants, observée par des épreuves ou observations successives, présente un développement cor-

respondant, clans sa forme mathématique, à celui d'un binôme élevé à une puissance égale au nombre des épreuves ou observations. On connaît la forme du binôme qui, exprimée graphiquement, correspond à la courbe binomiale si souvent utilisée par Quetelet et les autres statisticiens (1).

Le fait que l'on connaît la marche suivie par les probabilités dans leur ordre de succession permet de rechercher les combinaisons les plus probables parmi les événements composés; la probabilité des différentes combinaisons des éléments de la série correspond donc aux termes de ce développement et le terme qui a la valeur la plus élevée indiquera la combinaison qui se présente comme la plus favorable (2).

Théoriquement, les phénomènes collectifs se présenteraient comme des probabilités composées et l'on pourrait déterminer le nombre de leurs combinaisons possibles et l'ordre probable de leur arrivée.

46. Si nombreuses sont les régularités d'ordre statistique constatées à propos des phénomènes démographiques et moraux, que leur multiplicité même est un argument contre le caractère de « loi )) que de nombreux statisticiens ont voulu leur attribuer. Les lois scientifiques sont d'une rare et pure essence et on ne conçoit pas qu'à l'aide de quelques chiffres on puisse en déterminer pour ainsi dire à volonté, pas plus à propos des faits économiques et sociaux qu'à propos des phénomènes physiques, astronomiques ou

(1) Si l'on donne à m, 'dans la formule binominale (a+b) m, la valeur successive de 2, 3, 4, 5, (i, on a :

(a 4- 6)- = »« -f 2 ab + 6*.

(« -f 6)6 = «6 {. 6 a56 -f 15 a*bi -f 20 «363 + 15 «26< -f 6 «6S + 66.

(2) Bosco, loc. cit., p. 117. Pour la loi des coefficients et la loi des exposants, voir les explications données supra, n° 35.

biologiques. Les Newton sont rares. Il n'appartient pas à la statistique de revendiquer pour elle une fécondité aussi prodigieuse dans la découverte des « lois ». Ce que la statistique constate donc, ce sont bien des <( régularités », des tendances générales résultant de causes multiples, les unes générales, les autres accidentelles, tendances qui perdurent et dont les manifestations se reproduisent, mais sans rien d'absolu et de définitif.

La question se pose tout naturellement de savoir si l 'application du calcul des probabilités aux faits relevés par la statistique est possible, légitime et utile. Nous savons que certains phénomènes se sont produits dans telles- conditions et en tel nombre; nous prévoyons aussi qu'ils se reproduiront ; peut-on, à l'aide du calcul, déterminer la mesure de leur arrivée éventuelle? Le calcul des probabilités appliqué aux phénomènes statistiques présente une réelle utilité, ainsi que nous le montrons plus loin par quelques exemples. Il faut distinguer deux espèces de probabilités : la probabilité a priori et la probabilité a posteriori. La seconde est le résultat de l'expérience ; après avoir observé et dénombré un grand nombre de faits, après avoir constaté qu'ils- se représentent d'une façon régulière, on conclut à la répétition du phénomène dans les mêmes conditions. Mais la probabilité, au sens rigoureux du mot, est donnée par la probabilité a priori qui résulte du calcul. On peut la définir — en se bornant à la notion de la probabilité simple — « le rapport entre le nombre de cas favorables à l'attente d'un événement et le nombre de cas possibles à la condition que tous les cas, favorables ou non, soient ou puissent raisonnablement être supposés- possibles au même degré (1) ».

La portée générale du calcul des probabilités a été ainsi résumée par M. Poincaré : « La méthode des sciences physiques, écrivait cet éminent mathématicien, repose sur l'in-

(1) Benini, Statistica méiodologica, p. 213

duction qui nous fait attendre la répétition d'un phénomène quand se reproduisent les- circonstances où il avait une première fois pris naissance. Si toutes ces circonstances pouvaient se reproduire à la fois, ce principe pourrait être appliqué sans crainte; mais cela n'arrivera jamais, quelques-unes de ces circonstances feront toujours défaut. Sommes-nous absolument sûrs qu'elles sont sans importance? Cela pourra être vraisemblable; cela ne pourra pas être rigoureusement certain. De là, le rôle considérable que joue dans les sciences physiques la notion de probabilité (1). »

Il n'y a pas de doute que de nombreux phénomènes collectifs se comportent dans leurs combinaison et distribution comme l'indique le calcul des probabilités. Mais la ressemblance entre les données résultant du calcul et les données provenant de l'expérience n'est pas parfaite. « Il ne faut pas perdre de vue, écrit M. Borel, qu'il y a la même différence entre ces probabilités statistiques et les probabilités abstraitement et rigoureusement définies qu'entre les figures étudiées en géométrie et les représentations plus ou moins grossières qu'on rencontre dans la nature ; entre une sphère, par exemple, et une orange (2). »

47. L'application du calcul des probabilités aux données de la statistique présente cet avantage d'établir précisément quelle est la différence entre l'orange et la sphère tracée par le géomètre; en comparant les résultats de l'expérience avec ceux du calcul on aura la mesure et la direction des déviations provoquées par un complexus de causes agissant sur le phénomène naturel dans les conditions où il se produit.

(1) H. Poincaré, La Science et l'Hypothèse. Paris, Flammarion, « Introduction », p. 6.

(2) Emile Borel, Eléments de la théorie des probabilités. Paris, Hermann, p. 158.

La différence observée entre le résultat théorique de la probabilité mathématique et le résultat pratique constaté par le relevé statistique est plus ou moins grande, selon qu'il s'agit de faits de la nature ou de faits influencés par la volonté libre de l'homme. Les faits de la nature sont doués d'une plus grande fixité et s'écartent moins du calcul ; on les rencontre surtout en démographie ; les faits influencés par la volonté de l'homme se trouvent surtout dans le domaine de la statistique morale, mais il en est également en démographie, par exemple les combinaisons matrimoniales étudiées sous le rapport de l'état civil des époux ou au point de vue de leur instruction. Quand on parle du caractère de fixité que présentent les faits de la nature, on se place à un point de vue relatif, car les phénomènes les plus constants dans leurs manifestations- quantitatives présentent à la longue d'assez curieuses modifications. Ainsi en est-il du rapport bien connu entre le nombre de naissances masculines et celui des naissances féminines, comme le montre l'exemple suivant :

Proportion des naissances masculines pour cent naissances féminines.

Années

Belgique

Années

Italie (1)

Les chiffres relatifs à la Belgique sont ceux des naissances masculines légitimes, tandis que les données se rapportant à l'Italie visent les enfants nés vivants, d'une façon

(1) Les chiffres pour l'Italie sont reproduits d'après Benini, Mtatistica metodologica, p. 226, note 1. Les chiffres pour la Belgique viennent de l'Annuaire statistique de la Belgique.

générale. Ce fait ne change rien à la curieuse constatation d'une diminution constante (sauf une fois, en Belgique, entre 1891 et 1900) du rapport des naissances masculines. On voit donc que les phénomènes réputés les plus fixes sont susceptibles de subir des modifications lentes qui semblent les faire insensiblement dévier de la notion admise comme exacte. Le calcul des probabilités intervient ici encore pour préciser la valeur de ces déviations et faire reconnaître si leur ampleur est suffisante pour devoir faire rejeter l'hypothèse d'une probabilité constante exprimant un complexus de causes essentielles, dominant nettement les causes accidentelles. On a construit des tables qui servent à déterminer la probabilité que le phénomène reste contenu dans les limites de l'écart probable, c'est-à-dire un certain degré de déviation qui présente une égale probabilité d'être ou de n'être pas surpassée en un nombre donné d'épreuves et dont l 'expression mathématique est :

± 0,4769 sTY^fq

m étant le nombre des épreuves, p et q les probabilités simples des événements attendus, et 0,4769 représentant précisément le point médian des valeurs calculées allant de 1 p. c. à 99 p. c.

Le résultat du calcul étant connu, si l'on trouve que cet écart est constamment dépassé par rapport à la probabilité typique, on pourra légitimement soupçonner la présence d'une cause perturbatrice. Bien entendu, ceci suppose que l'on ait fait disparaître au préalable, au moyen de l'interpolation, les variations dépendant d'une cause générale.

En appliquant donc le calcul des probabilités à des séries suffisamment étendues, on arrivera à mettre en lumière leur caractère de stabilité ou d'instabilité, ce qui est encore un résultat essentiel dans les recherches statistiques (1).

( 1 ) Benini, Statistica metodologica, pp . 223 et 225 .

48. Dans le domaine des faits influencés par la libre volonté de l'homme, le calculdes probabilités intervient utilement pour montrer jusqu'à quel point les résultats de l'expérience s'écartent de ceux du calcul théorique, c'est-àdire pour déterminer la loi empirique du phénomène et permettre de comparer les tendances constatées avec les données absolues résultant du calcul. Dans le calcul des probabilités, on doit supposer que tous les événements, favorables ou défavorables, sont également possibles, c'est-àdire qu'on les assimile au tirage de boules de différentes couleurs d'une urne qui contiendrait en nombre égal des boules blanches et des boules noires. Mais il existe des tendances qui, en pratique, manif estent leurs effets dans l'association ou la séparation de certains caractères, de telle sorte que la comparaison des deux résultats montre à quelle loi empirique obéit le phénomène considéré. Benini donne l'exemple suivant, tiré de la statistique italienne, concernant les combinaisons matrimoniales entre illettrés et illettrées. Nous résumons ses constatations présentées dans une forme aussi claire que sobre :

En 1896, les époux et les épouses capables de signer leur acte de mariage furent en Italie dans la proportion respective de 63,04 et de 47,44 p. c, ce qui laissait pour les hommes une proportion de 36,96 p. c. d'illettrés et pour les femmes une proportion de 52,66 p. cf. Si on veut savoir quelle est la chance qu'un homme sachant signer son nom épouse une femme ne le sachant pas, ou réciproquement, ou que des illettrés se marient entre eux, ou que les combinaisons matrimoniales se forment entre personnes sachant l'une et l'autre écrire, on n'a qu'à calculer les résultats en appliquant le théorème de la probabilité composée, c'est-àdire à multiplier entre elles les probabilités simples. Lorsqu'on compare les résultats du calcul théorique aux données de fait relevées par l'observation statistique, on constate

une forte différence, ainsi que le montre le petit tableau suivant :