LOGARITHMES
(1) Bowley, Eléments of statisties, p. 189
Cherchant une division propre à établir l'échelle des ordonnées d'après une base logarithmique, nous observons que la différence entre les logarithmes de fr. 0.15 et 0.30 est : Ï.17609126 — 1.47712] 25,. soit .30103099 ou en abrégé, .301. Pour chaque intervalle logarithmique de .301 nous portons donc une longueur conventionnelle. Les ordonnéessont alors déterminées facilement et il ne reste qu'à procéder avec les logarithmes comme avec les nombres naturels, l'axe des abscisses étant, comme dans les diagrammes ordinaires, réservé aux divisions du temps.
Lp principe essentiel de la courbe logarithmique est que les proportions des nombres entre eux restant égales, peu importent les nombres sur lesquels elles sont prises. Ainsi :
log. 0.15 = r.176; 16g. 0.30 = T. 477 Différence = 301 mai»
log 0.30 = T.477; log. 0.60 = L778 Différence = .SOI
parce que ces logarithmes sont respectivement, dans les deux cas, dans le rapport de 1 à 2.
Du principe précédent, il résulte que les nombres naturels ne peuvent être disposés à intervalles égaux comme dans les diagrammes ordinaires, car la courbe logarithmique est basée sur les rapports et non sur les quantités absolues. Le diagramme basé sur ces principes reproduit, en courbe logarithmique, les données absolues exprimées graphiquement dans le diagramme simple. Bien que l'allure générale de la courbe ne soit pas beaucoup modifiée, il est à remarquer qu'aucune des données de la courbe logarithmique ne correspond exactement à la donnée correspondante du diagramme simple. En général, la forme est plus massive et les différences entre les sommets sont moins accentuées.
374. Mais l'utilité des courbes logarithmiques apparaît surtout quand il s 'agit de traduire graphiquement une série ascendante dans laquelle les quantités absolues sont très différentes à la fin de ce qu'elles étaient au début. Dans une statistique relative, par exemple, aux dépôts existant dans
STATISTIQUE GRAPHIQUE
les caisses d'épargne, il est évident que le montant des dépôts est intéressant en lui-même : à cet égard, un historigramme ordinaire peut jouer un rôle utile. Mais cette figure ne peut nous apprendre qu'une chose, à savoir de combien de millions le montant total des dépôts a augmenté d'année en année. Mais pour l'économiste comme pour le sociologiste, il est une autre question beaucoup plus intéressante qui est celle-ci : quelles sont les époques auxquelles la classe des déposants a fait preuve de la plus grande capacité d'épargne? Cette question comporte une étude des nombres relatifs, et graphiquement elle ne trouve sa solution que dans la courbe logarithmique. Les données qui suivent constituent une application de la méthode aux données statistiques concernant les dépôts à la caisse générale d'épargne et de retraite en Belgique, de 1865 à 1900.
Montant des dépôts sur livrets par 100 habitants à la Caisse Générale d'Épargne et de Retraite de Belgique (matériel extrait de l'exposé de la situation du Royaume de 1876 à 1900, t. II, p. 696.)
Années,
Dépôts sur livrels par
100 habitants.
Logarithmes (*)•
Années.
Dépôts sur livrets par
100 habitants.
Logarithmes (1).
(1) Il suffit de prendre les logarithmes avec 3 décimales, une simplification notable.
ce qui réalise
Nous avons construit sur le même diagramme la courbe du diagramme orthogonal ordinaire et la courbe logarithmique.
Fig. 40.
L'échelle des abcisses, portant les divisions du temps, est commune aux deux courbes. L'échelle des ordonnées pour le diagramme orthogonal simple est tracée de façon à ce que ses divisions soient en nombre égal à celles de l'échelle de la courbe logarithmique; chaque division est égale à
STATISTIQUE GRAPHIQI E
4(i0 francs de sorte que toute augmentation de 1 /10 sur l'échelle des ordonnées représente 40 fr. Pour l'échelle logarithmique, on a admis que toute division égale correspond à 150 fr. Les logarithmes étant ainsi localisés, on obtient une courbe très caractéristique, essentiellement différente de la courbe ordinaire. La réunion des deux courbes sur le même diagramme permet de lire immédiatement la valeur en francs équivalente à toute donnée logarithmique partant d'un point quelconque de cette courbe, il suffit de chercher le point situé sur la même ordonnée, appartenant à la courbe ordinaire et de lire en regard la valeur inscrite sur l'échelle de droite. Ainsi, en 1882, le point sur l'ordonnée logarithmique correspond à 1,840 francs plus 5 fois 46 francs = 2,070 ; la valeur réelle est 2,081, mais le diagramme ne permet pas une lecture d'une précision égale à celle d'une table numérique. Le procédé employé pour la construction de ce diagramme dispense du calcul d'une échelle de nombres absolus correspondant aux variations logarithmiques et présente encore l'avantage d'une comparaison immédiate entre les deux courbes. Le lecteur remarquera que sur la courbe logarithmique, l'inclinaison est beaucoup moins forte les dernières années qu'au début de la période observée. Les deux courbes sont intéressantes mais leur signification est différente : la courbe à ordonnées ordinaires traduit l'accumulation des sommes placées en dépôt en tenant compte du nombre d'habitants : la courbe à ordonnées logarithmiques marque l'effort réalisé par les épargnants proportionnellement aux efforts antérieurs; à mesure que les chiffres haussent, cette proportion a une tendance à diminuer parce qu'il est plus difficile d'atteindre un quantum d'augmentation sur de grands nombres que sur de petits. Au total, la courbe logarithmique marque un effort d'une remarquable continuité, mais très différent de celui qu'on pourrait déduire de la courbe ordinaire.
375. Les courbes logarithmiques comprennent une autre variété de courbes caractéristique auxquelles on a donné le nom de courbes à double échelle logarithmique. Elles sont aux premières ce que les diagrammes de distribution (polygones de fréquence) sont aux diagrammes de succession (historigrammes). Au lieu de porter sur l'axe des abscisses les divisions du temps, nous y portons une seconde échelle logarithmique basée sur les caractères de divisibilité du groupe : par exemple, les taux de salaires des ouvriers dont les nombres sont portés en ordonnées, ou encore, le taux du revenu des contribuables imposés d'après cette base. Dans les diagrammes à double échelle logarithmique, la courbe hyperbolique des diagrammes de distribution se change en une droite, comme il est facile de le démontrer.
D. — Diagrammes polaires.
376. Les diagrammes polaires sont basés sur une démonstration géométrique différente de celle qui s'applique aux diagrammes orthogonaux; il y a lieu de s'y arrêter un instant.
Sur un axe horizontal placé arbitrairement dans un plan, fixons un point fixe 0 considéré comme l'origine du système. Pour déterminer le point M situé dans le plan, il suffit de connaître la distance 0 M, quantité arithmétique que l 'on désigne par la lettre p et l 'angle positif w < 2 tt compris entre p et l'axe horizontal. On appelle p le rayon vecteur du point M et « l'angle polaire du même point; l'axe horizontal porte le nom d'axe polaire et le point fixe 0 est le pôle. La quantité p peut varier de zéro à l'infini positif et l'angle w de 0 à 2 tt . p et co sont les coordonnées polaires de M.
On peut admettre des rayons vecteurs négatifs au-dessous de l'axe horizontal; on les porte sur la direction opposée à la direction M correspondant à l'angle '<■>. Dans ce cas, les coordonnées du point M2 seront p et 2 tt — œ.
STATISTIQUE GRAPHIQUE
Toute relation entre p et w représente en général une ligne, et réciproquement.
Dans les diagrammes polaires, les ordonnées sont portées autour d'un point central pour venir aboutir à l'axe des abcisses auquel on a donné la forme circulaire au lieu de le tracer dans le sens horizontal. Les ordonnées ont une longueur proportionnelle au fait qu'elles représentent; le fait est situé à une longueur M du centre, l'ordonnée est le rayon vecteur p. Les ordonnées sont en nombre variable ; cependant, un trop grand nombre de données à représenter rendraient le diagramme polaire d'un usage difficile. On réserve généralement cette forme graphique aux phénomènes auxquels est liée l'idée de direction (direction des vents, etc.) ou aux faits qui se distribuent dans le temps selon un cycle invariable. L'axe des abcisses est mesuré par un rayon sur lequel sont portées les divisions quantitatives auxquelles on fait décrire un cercle. Les extrémités des ordonnées sont reliées entre elles par des droites. Les saillants montrent les quantités en excédent sur la valeur arbitraire, choisie pour abcisse, les rentrants marquent les quantités déficitaires.
L'exemple suivant peut servir d'illustration.
Nombre annuel de mariages par mois en Belgique, de 1896 à 1900
(Moyenne annuelle)
