III. — La loi des erreurs

413. La loi des erreurs, qu'on désigne parfois sous le nom de loi de Gauss, prend une expression mathématique assez compliquée que nous définirons plus loin, mais les données de l'expérience suffisent pour en comprendre la nature et la portée.

C'est un fait universellement connu et admis, qu'aucune mesure obtenue par l'observation n'est rigoureusement exacte; tantôt ce sont les moyens dont nous disposons qui sont insuffisants pour atteindre l'exactitude absolue, tantôt ce sont les conditions du milieu où se fait l'observation qui sont défavorables, tantôt ce sont les qualités de l'observateur lui-même qui ne sont pas à la hauteur de sa tâche. Imperfection des instruments d'investigation, erreurs de l'observateur, conditions défectueuses du travail se combinent ainsi pour éloigner de la vérité absolue, dans une mesure plus ou moins notable, le résultat de notre travail. Un exemple ne sera pas inopportun pour préciser ce qui vient d'être dit. Nous l'emprunterons à Quetelet, qui fut un précurseur dans cette question en étendant la loi des erreurs1 de son domaine mathématique à l'observation des plantes et des êtres humains. Dans son célèbre ouvrage sur la théorie des probabilités, l'illustre statisticien et sociologue s'exprime comme suit au sujet des erreurs qu'on relève dans les observations astronomiques (1) : « Un ob-

(1) Quetelet, Lettres sur lu théorie des probabilités, lettre XIX. Bruxelles, Hayez, 1846, pp. 124-125.

LA LOI I)KS KUlUil'KS.

servateur peut assigner la position d'un astre sans avoir à craindre des erreurs qui s'élèvent à plus de trois à qua tre secondés en arc, c'est-à-dire que la distance dont il peut se tromper équivaut, au plus, à la largeur de la petite bande du ciel que nous cacherait un fil, tendu à plusieurs pieds de distance devant nos yeux. Cependant un grand nombre de causes peuvent donner naissance à cette erreur, et nous nous plaçons ici dans l'hypothèse la plus défavorable; nous supposons qu'elles tendent toutes, dans le même sens, à donner une valeur soit trop grande, soit trop petite. Ainsi, quelque précis que soit l'instrument, il n'est pas parfait clans toutes ses parties : quelles que soient l'adresse et l'expérience de l'observateur, son coup d'œil n'est pas infaillible; l'air peut être dans des circonstances plus on moins défavorables : nous ne voyons les astres que du fond de l'atmosphère où nous sommes plongés; et, à cause des réfractions, ils ne sont réellement pas dans les lieux où nous les apercevons. »

On pourrait multiplier ces exemples. Il n'est pas inutile de faire remarquer que les erreurs accidentelles d'observation peuvent chacune provenir de plusieurs causes et non d'une cause unique. Ainsi, écrit M. Th.-W. Wright, en lisant un angle au théodolite, l'erreur trouvée peut être le résultat de la construction imparfaite de l'instrument ou du manque de précision dans la façon dont l'observateur manie son instrument. Chacune de ces causes peut être le résultat d'influences diverses : ainsi la première nommée englobe les erreurs de collimation de niveau, etc. (1).

Pour chacun de ces cas, nous supposons que l'observateur est de bonne foi et que les instruments dont il se sert ne sont pas construits de façon à donner une erreur systématique. 11 faut que les erreurs soient accidentelles; c'est la condition essentielle pour qu'on se trouve dans le do-

(]) Wright (Thomas-Walton), The adjustment of observations. New York, 1906, p. 17.

maine du calcul des probabilités; aussitôt qu'on s'en éloigne, dès qu'on suppose que des erreurs systématiques interviennent, on est en dehors du calcul et de ses règles.

Les erreurs accidentelles ne sont-elles- soumises à aucune loi? Se produisent-elles indifféremment dans tous les cas? Il suffit d'un instant de réflexion pour s'apercevoir que rien ne semble moins probable. Il est aisé de se tromper d'une petite quantité dans une observation : le plus habile observateur peut mal lire un résultat, laisser échapper l'un ou l'autre élément d'une importance relative. Par contre, les erreurs grossières sont rares ; il faut imaginer, pour les rendre explicables, une série de circonstances bi zarres qui ne peuvent se trouver réunies que rarement. Un bon nombre de petites erreurs, quelques rares erreurs sérieuses, tel paraît bien être le bilan d'une série d'observations faites avec soin. D'autre part il y aura toujours des erreurs; il n'est pas possible de les éliminer toutes : « L'expérience prouve, dit M. Gruey, que les diverses mesures d'une même grandeur, faites soigneusement avec toute la précision dont la méthode employée est susceptible et purgées de toutes les erreurs systématique», présentent encore de petites différences. »

Enfin, si nous connaissons la valeur centrale de toutes les erreurs, celle qui est également éloignée de la plus petite et de la plus grande, ces mots étant entendus dans le sens de l'arithmétique, nous devons reconnaître qu'il y a une probabilité égale à ce que les erreurs se produisent dans l'un ou l'autre sens et prennent, par rapport à cette valeur centrale, le signe positif ou le signe négatif. Ce sont précisément ces caractères qui sont mis en évidence par la formule de Gauss. Quant à la démonstration, ce sont, comme le dit M. Borel, les raisons les plus simples qui sont les meilleures (1).

(1) Emile Borel, Eléments de la théorie des probabilités . Paris, Hermann et Fils, 1900, p. 129.

l.A f.Ol DKS KKHKIJKS.

C'est à tel point <iue ce mathématicien de talent estime inutiles, en présence de la valeur démonstrative des vues logiques, les développements mathématiques donnée à la question; il ne lui semble pas que les résultats obtenus dans cette voie aient une importance en rapport avec l'effort analytique qu'ils exigent. L'hypothèse de l'ingénieur allemand G. Hagen (1797-1884), dans un ouvrage élémentaire qui contient un exposé original de la théorie des erreurs, est aujourd'hui admise de plus en plus par les auteurs qui écrivent sur le calcul des probabilités. On peut admettre, dit Hagen, que dans chaque espèce d'observations, il existe un certain nombre indéterminé d'erreurs élémentaires, indépendantes les unes des autres, qui, prises d'une manière absolue, sont de même grandeur et peuvent être indifféremment positives ou négatives. C'est la somme algébrique de ces erreurs- élémentaires qui forme, dans chaque cas particulier, la véritable erreur existante (1)

414. Avant tout, nous devons revenir en deux mots sur le sujet de la moyenne. Nous avons montré que de toutes les valeurs différentes que prennent les observations faites d'une quantité unique, la moyenne était la plus exacte et que quand le nombre des valeurs observées est très grand, la moyenne arithmétique était la valeur véritable. D'autre part, après avoir précisé la notion de l'écart, nous avons montré : a) que la somme algébrique des écarts est égale à zéro; b) que la somme des carrés des écarts d'après la moyenne arithmétique constitue un minimum. L'étude de la moyenne nous a aussi conduit à cette conclusion que si l'on dispose d'un matériel dont les éléments ont une valeur identique sous le rapport de l'observation, on doit trouver que les erreurs en trop ou par défaut se partagent d'une manière égale autour de la moyenne, c'est-à-dire

(1) Cfr. Boudin-Mansion. Cours, loc. cit., pp. 154 et 289.

qu'elles présentent une égale probabilité. Nous avons dit que l'expérience démontre, comme il est naturel, la rareté des erreurs considérables et la fréquence des petites erreurs. Les unes comme les autres se rangent autour de la moyenne; leur nombre augmente, de part et d'autre, à mesure qu'on se rapproche de zéro, de sorte qu'il est permis de dire que l'arrivée des erreurs en nombre plus ou moins grand est une fonction de l'erreur ellemême. M. Th.-W. Wright (1) a fait l'exposé suivant de la genèse de la formule de la loi des erreurs; nous le reproduisons intégralement à cause de sa clarté :

Appelons / (A) la probabilité qu'une erreur prenne place entre 0 et A ; et désignons par q la probabilité qu 'une autre erreur se rencontre entre A et A -j- d A . Nous avons :

q = f(A + d A) — / (A) = f (A)dA = cp [A)dA. (87)

La fonction <p (A) est appelée loi de distribution des erreurs.

Si nous voulons exprimer la probabilité qu'une certaine erreur tombe entre les limites a et 6 de la courbe, nous avons à calculer la probabilité q> (A) d A étendue aux limites sus indiquées, ce qui nous donne l'intégrale :

La probabilité qu'une erreur donnée ne dépasse pas la limite a s'exprime ainsi :

La probabilité totale de l'arrivée simultanée de toutes les- erreurs possibles est la somme des probabilités calcu

cp (A) d A.

(1) Th. W. Wright, loc. cit., pp. 13 et suivantes.

LA LOI DES ERREURS

lées pour chaque erreur séparément. Désignons-la par Q. La probabilité de la rencontre de l'erreur A! est cp (A,) d A, et ainsi de suite pour A2 , . . . . Afl ; nous avons en conséquence :

U = cp (A,) cp (A2) cp (A„) d Aj, d A2 d A„ . (90)

Q est un maximum et son logarithme partage la même propriété. En établissant les différences- par rapport à x, inconnue dont il faut déterminer la valeur la plus probable, on a :

Q = d (log. Q) = qp'(A|) d At (p'(A2) d A2 <p* JAnj dAn

dx cp (A,) dx cp (A2) dx cp (A,J dx

tP'(A'' A,+7^ A2 + J££SL.A. (94,

A, cp (Aj) 1 1 A2 (p (A2) An <p (A„

or,

Nous savons que si le nombre des erreurs d'observation est très grand, ces erreurs se compensent et ont pour expression finale zéro.

Nous avons donc :

<P' (Ai) cp'(A2) cp' (A)t) = K

Aj cp (AJ A2 cp (A2) A„ cp (A,

A toute valeur arbitraire A , correspond donc l'expression générale :

cp' (A)

Acp (A)

Par intégration et simplification, on a :

cp (A) = c e * K A" (93)

expression dans laquelle e est la base du système népérien de logarithmes et c est une constante à déterminer.

Puisque Q est un maximum, (—à ou rf2 (|o£- Q) doit être H (/X2 (/a:2

une expression négative. D'où

dil2|Q) = K(A1+A2 + ...)

En conséquence, puisque w est positif, K doit être néga-

tif et prenant la valeur - K == — h2, nous avons

cp ( A)= c e (M) ce qui donne la loi d'erreur cherchée.

Il faut maintenant déterminer c et h. Il est certain que toutes les erreurs se trouvent entre les limites + a et — a. Par conséquent :

c f+fl e-h2A\lA= 1 (95) J — a

Mais comme les valeurs de a sont différentes pour chaque observation particulière, il est préférable de remplacer — a et + a par le signe général + oc — • oo comme désignant les limites extrêmes de l'erreur et d'écrire l'expression générale :

Il vient que

et la loi des erreurs peut être écrite :