IV. — Les types de distribution dérivés

420. La courbe des erreurs accidentelles était connue depuis longtemps des mathématiciens et des physiciens, mais elle ne l'était que sous sa forme idéale, qui exige une distribution des chances toute spéciale. Les sciences firent un grand progrès le jour où l'on s'avisa que la loi des erreurs accidentelles pouvait être étendue à des phéno mènes connus par l'observation; il est juste de rappeler que Quetelet fut un précurseur de cette méthode et que la voie qu'il avait ouverte conduisit à des résultats remarquables. L'hypothèse sur laquelle repose la conception actuelle de la loi des erreurs renferme une double assertion; à savoir : 1° que l'erreur dépend de causes extrêmement nombreuses; 2° que la fonction exprimant cette dépendance peut être traitée comme une fonction linéaire. La première de ces assertions paraît à la fois naturelle et exacte. (( Dans toute observation, a écrit le D1' CHaisher, nous savons

(1) Cfr. Karl Peahson : Skew variation in homogeneOus material. Phil. Trans. Roy. Soc, série A, 1895, § 1er et Udny Yutje : An introduction fo the theory of Statistics, pp. 294-295.

que l'exactitude finale du résultat est altérée par de nombreuses causes indépendantes les unes des autres. L'état de santé de l'observateur, la perfection de ses sens, l'état de l'atmosphère, la construction plus ou moins parfaite des instruments qu'il emploie sont autant de causes qui contribuent à faire naître des erreurs. »

Il résulte de ceci que si l'on connaît la moyenne d'une série régulière et son écart probable, il n'est pas impossible de déterminer a priori le nombre des fréquences qui sont supérieures ou inférieures à cette moyenne, étant admis que leur nombre probable est égal de part et d'autre.

Cependant la loi normale des erreurs ne suffit pas à rendre compte de tous les phénomènes, car les- recherches dirigées dans le domaine des sciences biologiques ont démontré que de nombreuses courbes sont déviées et présentent, par rapport à la courbe normale, d'importantes altérations. Les courbes, en dehors de la courbe normale, peuvent être plurimodales, ce qui indique alors que le matériel exprimé par la courbe n 'est pas homogène, mais qu 'il est composé de plusieurs types ayant leur individualité propre. Quetelet, sans avoir d'exemple à présenter pour justifier son hypothèse, avait déjà fait observer que si deux races distinctes se trouvaient comprises dans un même recensement, la courbe qui représenterait la hauteur des tailles, par exemple, aurait deux sommets qui annonceraient deux races différentes ayant des tailles moyennes inégales. Le DT Bertillon, père, trouva un exemple remarquable de ces courbes plurimodales en analysant la taille des conscrits du département du Doubs; un sommet de la courbe correspond aux tailles comprises entre 1 m. 598 et 1 m. 652; l'autre aux tailles comprises entre 1 m. 679 et

L'analyse de ces courbes plurimodales exige un effort

( 1 j D1 J. Bertillon, Cours élémentaire de statistique administrative,

Paris, 1895, p. 115.

LA LOI DKS KIIHEIIUS.

mathématique considérable, soit que l'on décompose la courbe originale en deux courbes normales, soit que l'on procède à une double sériation conforme à la loi normale mais ayant chacune sa moyenne propre et son écart probable. Cette analyse nous entraînerait trop loin dans la voie des développements mathématiques.

Le cas de la déviation de la courbe des observations d'après une tendance qui agit tantôt dans un sens, tantôt dans un autre, est intéressant. La synthèse des cas de déviation pour les courbes unimodales a été faite par le Professeur K. Pearson dans une série de recherches d'un grand intérêt scientifique. Nous essayerons de faire saisir au lecteur la méthode d'après laquelle il y a lieu de pro céder pour déterminer le type auquel appartient la courbe à analyser, et les- règles à suivre pour comparer cette courbe à la courbe normale.

421. Les courbes unimodales simples se divisent en cinq ' types dont voici les formules :

Dans cette formule comme dans les suivantes, œ désigne les abcisses, y0 les ordonnées à leur origine, y la hauteur de l'ordonnée placée à la distance x à partir de y0, 1 la partie de l'axe des abcisses exprimée en unités de classes, a la base du système népérien de logarithmes = 2.71828.

La courbe du type I est limitée dans les deux directions, c'est-à-dire que ses deux branches touchent l'axe des ab cisses à une distance finie de l'ordonnée maximum, mais elle est asymétrique.

Cette courbe est analogue à celle du type I mais elle est symétrique dans les deux directions.

Le type III exprime les courbes qui ne sont limitées que dans une seule direction, c'est-à-dire qu'une de leurs branches atteint l'axe des abcisses à une distance finie de l'ordonnée maximum, tandis que l'autre se rapproche indéfiniment de cet axe sans jamais l'atteindre; par l'opposition de la direction des branches qui les composent, ces courbes sont évidemment asymétriques.