ZI
Vo )2
Vo )3
Les expressions ci-dessus sont appelées « moments » de la courbe.
Il faut maintenant déterminer la place des moments autour de la moyenne.
Deux méthodes sont applicables. La première est celle à employer quand il s'agit de variables qui, d'après leur nature, sont exprimées en nombres entiers, par comptage. C'est le cas des caractères de variabilité du Pimpinella saxifraga L. que nous avons pris pour exemple. Les formules applicables à cette recherche sont les suivantes :
Mi
— 3ViV2
f 2Vls
-f 6vj2v2 -
Ms
— 5ViV4
+ 10Vl2v:,
— lOv^Vs
+ 4vt5
Me
Ces formules s'écrivent également en remplaçant V[par d; lorsque le calcul des moments se fait autour de la verticale centrale, comme dans le tableau ci-dessus, la valeur de d est la même que v, (1).
(1) Cfr. W. Palin Et.derton, Frequ-enry-curves and corrélation, p. 18.
Appliquons les formules :
Le travail arithmétique ci-dessus peut être remplacé par l'usage des logarithmes.
Davenport en a donné un exemple détaillé auquel nous renvoyons le lecteur (1).
423. La méthode qui vient d'être indiquée est à la fois la plus directe et la mieux appropriée pour déterminer les moments ; toutefois, il en est une autre qui a été indiquée et employée par un actuaire anglais, M. G. F. Hardy (2). Le mode de calcul usité dans cette méthode est le même que celui des « pourcentages accumulés » dont on se sert fréquemment dans les statistiques de salaires (3). Le premier moment est connu en additionnant les « pourcentages accumulés » des fréquences (X / (n) = V0), et le second moment en additionnant de même les pourcentages du premier moment.
Dans la notation spéciale usitée, S2 désigne le second moment; S3 donne' chaque fonction multipliée par des
coefficients de la forme 11 (n +D ou n" + n ■
S3 = H!) + 3/(2) + 6/(2) -f + 7L1+Af (n) (112)
(1: Cfr. B. Davenport. Ktatislical methods, p. 36.
(2) Référence à M. G. F. Hardy, dans W. Palin Elderton, Frequency curves and corrélation, p. 19.
(3) Voyez sur cette méthode : A. Julin, Précis du cours de statistique générale et appliquée, 3" édition, Bruxelles, Miseh et Thron. 1 il 1 2. p. 71.
LA LOI DES ERREURS. WS
ce qui donne vi expression dans laquelle v est écrit
pour le moment parce que par définition le tm* momenl (vt) de La distribution entière est donné par la somme de fC f (n) pour toutes les valeurs de n. Enfin S, et Sr> donnent chacun une fonction multipliée par '^f "" ei
n* + 6 »3 +U n* ± 6 » respectivement (1). Nous avons donc les opérations ci-après :
52 = Vj
53 = i (v2 -f vO
Telles sont les équations qui permettent de calculer les moments autour d'une origine choisie, mais s'il convient de rechercher les moments autour de la moyenne, les expressions ci-après sont préférables :
424. Lorsqu'il s'agit de séries disposées de façon à calculer la moyenne par le procédé ordinaire, la suite des calculs, dans la méthode de M. Hardy, se dispose de la manière suivante : 1° les nombres bruts de la série sont rapportés à leur somme, prise pour l 'unité ; il est recommandé de pousser les calculs au moins jusqu'à la troisième décimale; les nombres proportionnels rangés dans leur ordre forment la première colonne du tableau; 2° la seconde co-
(1) Cfr. W. Palin Eldebton, loc. cit., p. 21
lonne forme le résultat, S2; le dernier nombre de la première colonne est inscrit au bas de la seconde ; on y ajoute Pavant-dernier de la première colonne et ôn inscrit ce résultat dans la seconde immédiatement au-dessus du nombre inscrit précédemment, et ainsi de suite; le dernier nombre inscrit au-dessus de la colonne doit former l'unité suivie de ses parties décimales; enfin, on fait la somme de tous les nombres de la colonne : cette somme = S2 ; ajoutée à une valeur arbitraire prise comme origine, et multipliée par l'intervalle de classe elle forme la moyenne; 3° on procède de même pour la troisième, la quatrième, la cinquième colonne en utilisant toujours les données inscrites dans la colonne précédente; les sommes obtenues correspondent à S3, S4, S5, respectivement.
Le procédé est différent si l'on emploie la méthode indirecte pour trouver la moyenne. Dans ce système, certaines quantités sont négatives, d'autres positives : les moments, pour les termes appartenant à la partie négative, sont formés par multiplication des pouvoirs des quantités négatives. Si m est une valeur négative, la formule I nf (n) devient I — nf ( — n) et la formule
f(n) se change en v
ou
de même nous avons :
— n(— tt + l)(— n + 2)
ou
fi- n);
enfin nous avons :
