III. — La statistique et les mathématiques

50. C'est un sujet de vives controverses entre statisticiens théoriciens et professionnels que la question de savoir quelles sont au juste les relations entre la statistique et les mathématiques et ce qu'elles devraient être. Si opposées sont les 'vues, si tranchées sont les positions qu'il faut renoncer, lorsqu'on expose des idées de juste milieu, à se concilier les deux adversaires. Les professionnels trouveront sans doute qu'on aura trop cédé à un entraînement vers l'aspect scientifique pur, les théoriciens seront d'avis que la thèse soutenue est incomplète et regretteront de n'avoir pas été toujours suivis dans leurs revendications. Si ingrate que soit cette position de l'homme exposé aux feux croisés de ses adversaires, c'est pourtant celle que nous prendrons.

Certains mathématiciens sont catégoriques dans l'expression de leur opinion qui, parfois, prend les allures d'un

arrêt : « Les sciences statistiques, disait Fourier au début du xix" siècle, ne feront de véritables progrès que lorsqu'elles seront confiées à ceux qui ont approfondi les théories mathématiques (1). »

Racioppi a soutenu que ce sont les mathématiques seules qui ont élevé la statistique au rang de science (2). Un mathématicien français, M. H. Laurent, soutient la même thèse avec beaucoup d'animation; selon lui, « une erreur très répandue consiste à croire que celui qui dirige des opérations de statistique n'a pas besoin de connaître les mathématiques, le calcul des probabilités et en général les sciences auxquelles correspondent les chiffres qu'il interprète (3) ». Aussi, comme cette erreur est surtout celle des gouvernants-, « nous ne possédons pas de bonnes statistiques officielles parce que les personnes qui dirigent ces statistiques ne sont pas bien préparées à ce genre de travail (4) ». Où pourrait-on recruter des personnes bien préparées? Parmi les membres de l'Institut des actuaires français, répond M. Laurent. « C'est dans le sein de cette société que le gouvernement trouverait des sujets aptes à diriger des statistiques officielles (5). » Voilà qui est bien catégorique. Les statisticiens qui étaient en même temps mathématiciens ont montré plus de discrétion. Messedaglia se borne à souhaiter que parmi les statisticiens il ne s'en trouve plus un seul qui soit ignorant en mathématiques (1). Ferraris est plus réservé encore : « La statistique réclame, dit-il, de

(1) Correspondance mathématique, t. II, p. 177. Bruxelles, 1826.

(2) Racioppi, Del principio e dei limiti délia statistica, p. 108. Napoli, 1857.

(3) H. Laukenï, Statistique mathématique. Avertissement, p. II. Paris.

(4) Id., loc. cit., p. II.

(5) Id., loc. cit., p. IV.

(6) Messedaglia, Esposizione critica délie stati-stiche criminali dell'Imperio Austriaco, p. 151.

qui veut la posséder à fond, une certaine connaissance (una discreta cuit tu a) des sciences mathématiques (1). »

51. Il est intéressant d'entendre une autre opinion exposée par des hommes éminents, ayant occupé les plus hautes fonctions dans la statistique administrative et ayant à leur actif une longue série d 'œuvres statistiques, dont quelquesunes d'allure monumentale.Voici l'avis de M.Bodio, exprimé dans une circonstance solennelle , le discours de clôture de la vingt-troisième session de l'Institut international de statistique : (( Les questions de méthode, dit le vénéré président de l 'Institut, ont amené un échange de vues entre les statisticiens au sujet de l'emploi des mathématiques supérieures. Certes, les mathématiques sont un moyen puissant d'analyse pour affiner le matériel de la statistique et un instrument de synthèse pour en condenser les résultats et en tirer de nouvelles inductions. Le danger est que les mathématiciens de profession, pour l'amour de l'art, sont amenés parfois à trop subtiliser et à déduire des conséquences dépassant, peut-être, ce que la qualité des observations pourrait permettre; ils appliquent à ces observations le trébuchet du peseur d'or, alors que ce qui leur convient, c'est la balance grossière du marchand. »

« Ce qui facilite la solution des difficultés, c'est que, pour certaines branches, notamment pour la biométrie, il s'est formé presque une profession spéciale, celle des actuaires. Pour les enquêtes d'ordre économique, le calcul supérieur n'est pas précisément nécessaire; on demande surtout un jugement sûr, un esprit critique et une impartialité absolue, dégagée de toute préoccupation d'école (2). »

(1) Feukakis. Lu statistica et la scienza dell' A mmbmtrazione nella favolta giuridiche.

(2) Bulletin de l'Institut international de statistique, XIIIe session, T. XIX. première livraison, p. 154.

La thèse soutenue par M. von Mayr dans son grand traité (1) ne diffère pas sensiblement de celle-là. Comme M. Bodio, il reconnaît aux procédés mathématiques l'avantage d'une plus grande élégance, mais loin d'admettre qué l'emploi d'une technique supérieure soit indispensable, il déclare que « tous les groupements des éléments statistiques et tous les calculs qui s'y rapportent peuvent s'exprimer dans le langage usuel de l'arithmétique ». M. von Mayr ajoute, pour fortifier sa thèse, que le calcul des probabilités n'est admissible, en statistique, qu'à l'égard des phénomènes de la vie sociale, qui présentent une certaine analogie avec la répétition de l'observation d'un même objet ou la chance de retirer une certaine bille d'une quantité limitée et constante de billes de différentes couleurs (2).

a Parmi les phénomènes sociaux les plus importants, dit-il encore, il en est pour lesquels c'est le changement perpétuel des masses qui est caractéristique; ici, certainement, le calcul des probabilités n'a pas à intervenir ». Et comme conclusion, on peut retenir ces lignes empruntées au même auteur : « Une méthode d'étude qui n'est accessible qu'à un cercle restreint d'initiés et qui, de plus, n'est pas absolument indispensable, ne peut constituer une branche intégrante de la statistique, considérée comme une science des-

(1) G. von May it, Statistik und Gcsellschaftshhre, Fribourg, 1895, p. (31ô. Cf. également la nouvelle édition de cet ouvrage, Tubingen, 1914.

(2) « D'après les résultats acquis actuellement, dit M. von Mayr, l'application du calcul des probabilités n'accuse des indications spéciales quelque peu satisfaisantes — encore ne s'agit-il que de données plus ou moins variables — que dans le cas où les unités considérées ont plutôt le caractère d'un fait physique que d'un fait social; ainsi, la grandeur des individus, les naissances, la répartition des âges, sont de simples faits naturels qui se prêtent au calcul. Mais partout où l'on se trouve en présence de faits purement sociaux, l'application du calcul des probabilités ne donne rien. Les phénomènes de la vie sociale ne sont pas stables comme ceux de la nature: ils sont sujets à un développement infini et incalculable, lequel précisément est mis en évidence par l'étude des collectivités pratiquée en statistique. La valeur de l'objet de cette science n'est diminuée en rien par le fait qu'il ne se laisse pas figer en des formules mathématiques. »

tinée à la généralité des esprits cultivés. On peut préférer la méthode mathématique, mais celui qui n'en possède pas les éléments ne doit pas pour cela renoncer à étudier les problèmes qui constituent le domaine de la statistique. »

52. Ces opinions, si profondément divergentes, ne paraissent pas laisser de place à un jugement intermédiaire. Nous essayerons cependant de trouver ce terrain mixte entre les affirmations des uns et les- dénégations des autres.

Un premier point qui nous semble, à cet égard, d'une grande importance est qu'il convient de distinguer entre les deux grandes phases des opérations statistiques : le relevé et le dépouillement d'une part, l'exposition et l'interprétation d'autre part. C'est une idée qui se trouve exposée par un mathématicien-statisticien distingué, le professeur A. Bowley, dans une étude très suggestive des rapports entre la statistique et les mathématiques (1).

Pour M. Bowley, le travail arithmétique est limité à la tabulation des chiffres concrets, là où le champ d'observation peut être couvert tout entier, là où l'approximation et l'interpolation ne sont pas nécessaires et où la statistique ne diffère guère que par le nom de la comptabilité. Au contraire, les procédés mathématiques permettent de mesurer ce qui, sans cela, resterait inaccessible, de décrire, comme en paléontologie, l'animal à l'aide d'un seul de ses os, d'établir des observations fermes, sur des bases mouvantes. C'est un véritable microscope qui permet de mesurer des différences que la méthode arithmétique ne peut apercevoir, c'est un procédé qui permet de raisonner correctement d'après les résultats de la tabulation et de discerner le fait essentiel obnubilé dans les différentes manifestations des phénomènes.

(1) A.-L. Bowley, « Address to the Economie Science and Statistic section •of the British Association for the advancement of Science ». York, 1906. (Journal of the Statistical society, 1906.)

La distinction établie par M. Bowley est exacte, à La condition de compléter l'exposé de l'auteur sur un point qui ne manque pas d'importance. M. Bowley a eu en vue, d'une part, les opérations matérielles qu'il compare, non sans raison, à une comptabilité (mais de quelle complication!) et, d'autre part, les travaux plus savants de la synthèse des résultats et de l'interprétation. Cependant, on peut se demander comment le mathématicien trouverait matière à ses développements, si son point de vue mathématique luimême n'avait pas été à la base du travail, si l'on n'avait pas pris soin de rassembler des matériaux de telle nature et dans de telles conditions, que l'on pût formuler plus tard les équations? En d'autres termes, il ne peut jamais exister de dissociation entre le travail préliminaire et le travail final. Celui qui, sur un sujet donné, prend la plume pour tracer le plan ou programme des opérations, doit se demander tout d'abord à quelles conditions doit répondre le travail. Si parmi elles il s'en trouve — c'est le cas ordinaire — qui aient rapport aux mathématiques, l'auteur du plan doit savoir quels sont les éléments nécessaires pour établir les formules afin que les recherches à instituer fournissent les données réclamées par l'actuaire. Ceci est l'évidence même et nous ne doutons pas que telle soit, au fond, la pensée de M. Bowley, mais elle n'aura rien perdu à être exposée d'une façon un peu plus explicite.

En dehors de la condition générale que nous venons de souligner, établir les bases d'un questionnaire, rédiger les instructions à l'usage des agents recenseurs, arrêter une classification, examiner les réponses au point de vue de leur sincérité et de leur exactitude, dresser les modèles de tableaux statistiques, dépouiller les résultats de l'enquête, en consigner les résultats dans les tableaux, procéder aux opérations arithmétiques qui sont la suite et le prolongement naturel du dépouillement, tout cela relève de l'économie politique et sociale, de la méthodologie statistique

générale et spéciale et de l'arithmétique. Mais on ne peut rien y trouver qui appartienne aux mathématiques. Il est vrai que M. Bowley suppose qu'il ne s'agit pas de se livrer à des calculs d'interpolation (1), mais, en pratique, ces cas ne se présentent que rarement. C'est précisément une des conquêtes de la statistique moderne d'avoir réduit dans des limites très restreintes les cas dans lesquels le relevé ne peut porter sur tous les objets faisant partie du domaine de l'observation. Le statisticien professionnel, appliqué aux recherches usuelles, ne se trouve pas, le plus souvent, dans l'occasion d'appliquer des méthodes relevant du calcul supérieur. Mais ce n'est pas un motif de sous-évaluer le travail auquel il se livre; l'examen que nous ferons plus loin des difficultés de la statistique pratique montre assez qu'il ne s'agit pas d'une besogne peu qualifiée, digne d'être abandonnée à des unskilled, tandis que l'homme de science se bornerait à utiliser les matériaux réunis par des manœuvres. Le divorce entre l 'élément scientifique et l 'élément pratique aurait au contraire les plus funestes conséquences.

L'importance de la technique est énorme. N'est-ce pas elle qui apporte à la science les matériaux d'étude que celle-ci réclame? Toute l'histoire de la statistique n 'est-elle pas là pour montrer qu'on s'est épuisé en efforts pour améliorer la technique? Et l'œuvre d'une institution comme l'Institut international de statistique, qu'est-elle sinon un effort incessant pour améliorer les conditions du relevé et de la tabulation?

(1) Le calcul par interpolation' consiste à rechercher, en l'absence de données obtenues par l'observation directe, une ou plusieurs mesures intermédiaires situées entre d'autres résultant du relevé. Il sert aussi à rectifier certaines mesures qui, bien qu'obtenues par les recherches statistiques, sont certainement entachées d'erreur. Enfin, il peut être, nécessaire, afin de comparer entre elles des statistiques qui ne sont pas présentées d'après une même base ou échelle.

L'interpolation peut être faite par un procédé graphique ou par l'algèbre (calcul différentiel ) .

Quel serait le rôle des mathématiques clans l'interprétation? C'est encore à M. Bowley que nous demanderons la réponse. On peut, dit-il, concevoir l'application des mathématiques à la statistique comme un instrument de précision dont l'usage a pour but de faire apparaître des points qui, sans cela, resteraient obscurs. C'est dans ce sens qu'il compare la méthode mathématique au microscope, tandis que l'arithmétique ne dépasserait pas la portée de l'œil de l 'observàteur. On peut dire aussi que l'emploi des mathématiques supplée au défaut d'observation, au manque de continuité dans une observation commencée, interrompue et reprise ensuite. Enfin, ainsi qu'il ressort à toute évidence de la critique des procédés statistiques, le matériel réuni est habituellement imparfait et sa mise en œuvre ne va pas sans courir quelques chances d'erreur; si excellents que soient les procédés techniques, il faut toujours compter avec les erreurs commises par les aides nombreux, à la collaboration desquels il faut recourir pour la mise en œuvre de tout matériel un peu important. Or, le matériel étant imparfait, c'est une des exigences du travail scientifique de faire disparaître ses tares dans la plus large mesure possible ou d'évaluer avec précision celles que nous ne parvenons pas à éliminer. C'est surtout dans ces deux directions, dit M. Bowley, que les méthodes des mathématiques sont généralement nécessaires. Le matériel est mis à l'épreuve par les méthodes d'interpolation et de graduation. La loi générale de groupement et de direction du mouvement est découverte et les variations accidentelles sont éliminées, ou inversement, la direction générale est neutralisée et les variations accidentelles mesurées.

Le rôle des mathématiques dans la statistique consisterait donc : a) à combler les lacunes de relevé: b) à améliorer les résultats de l'observation et à évaluer la grandeur «les erreurs qui ne peuvent être corrigées; c) à affiner les conclusions de l'interprétation en faisant apparaître des

éléments qui, autrement, resteraient inconnus ou imparfaitement connus.

53. Il est intéressant de reprendre en détail à cet endroit les objections que Mayr adresse aux mathématiciens.

Pour le premier point, Mayr se borne à remarquer, succinctement, que le champ d 'application ouvert aux mathématiques se restreint de plus en plus, grâce au caractère toujours plus complet et plus général des observations primaires; quant à l'extrapolation, elle n'a d'autre importance que celle qu'on peut attacher à d'ingénieuses combinaisons, sans grande portée pratique (1).

On emploie les mathématiques pour découvrir les erreurs accusées par l'observation, mais le mot « erreur » a ici un sens particulier. Il est un point, dit cet auteur, qu'en tout cas l'étude la plus attentive par les mathématiques pures est incapable d'élucider : c'est de savoir s'il s'agit d'erreurs matérielles de l'observation, ou si ces écarts, qui paraissent des erreurs au sens des mathématiques, ne sont pas simplement des écarts que présente la réalité par rapport à une normale théorique (2).

Ce langage semble inspiré par quelque parti-pris, il ne paraît pas concorder très exactement avec la réalité des choses. Les procédés d'interpolation rendent d'incontestables services dans tous les cas, fréquents en statistique, où il s'agit d'éliminer l'effet de causes constantes pour laisser apparaître seulement celui des causes secondaires et accidentelles. Des rapports de grandeur et de variabilité ne peuvent parfois être mis en lumière d'une façon complète qu'à l'aide de procédés mathématiques. Enfin, il n'est pas niable que dans l'interprétation, le statisticien puisse recueillir des avantages sérieux de la connaissance des mathématiques.

(1) von Mayr, loc. cit., paragr. 15, n° 2.

(2) Ibid., paragr. 15, n° 5.

En conclusion, la thèse négative pure et simple, telle qu'elle est professée par plusieurs auteurs, ne paraît pas soutenable dans les circonstances actuelles. Etant données les applications des mathématiques à la statistique, il n'est pas possible de s'en désintéresser. La formule de Ferraris, qui souhaite que chaque statisticien ait une connaissance suffisante (una discret® cultura) des sciences mathématiques, peut être considérée comme un minimum, même à l'égard de l'organisateur professionnel des recensements et des enquêtes.

54. En effet, il n'est pas douteux que les procédés mathématiques sont de nature à élucider bon nombre de problèmes; ils font dès lors partie intégrante de la technique et le statisticien doit être à même d'y recourir^ comme il recourt aux procédés techniques d'autre nature. Lorsque la technique d'une science évolue, nul n'a le droit de se désintéresser des acquisitions nouvelles dûment éprouvées. Que dirait-on d'un biologiste qui, obstinément fidèle aux méthodes qui lui furent enseignées durant sa jeunesse, refuserait d'appliquer, même de connaître, les procédés techniques nouveaux découverts depuis? Le statisticien qui fermerait les yeux à l'évidence, se mettrait dans une situation peu défendable. Bien entendu, il y a des degrés résultant de la nature des choses; on pourra demander davantage au démographe qu'au statisticien économiste, par exemple. Ce qui est hors de doute, c'est que chaque statisticien doit posséder l'esprit mathématique, cette disposition, peut-être indéfinissable, qui fait que l 'on se rend compte de l 'exactitude mathématique d 'une proposition et que l'on suit avec intérêt les développements donnés par les techniciens. Ni l'éloignement ni l'indifférence ne sont plus de mise ; les mathématiques ont fait leurs preuves, elles font partie de la technique; on ne peut plus s'en désintéresser, car il serait contraire à l'esprit scien-

tifique de laisser à l'abandon une parcelle quelconque de la méthode capable de conduire à la vérité.

55. Une autre question surgit aussitôt. Dans quelle mesure cette méthode est-elle « indispensable » ? On peut répondre, nous paraît-il, qu'elle n'est pas toujours « indispensable », tout en étant très souvent utile. D'après les termes mêmes du problème, tel qu'il a été posé par M. Bowley dans son adresse présidentielle à la British Association, en 1906, l'un des buts essentiels de la méthode mathématique consisterait à combler les lacunes du relevé. Mais une objection peut être faite : les mathématiques ne sont pas de la divination; lorsqu'elles essayent de suppléer au relevé, — soit que celui-ci soit incomplet ou qu'il soit discontinu, ou que l'on tente de transporter dans l'avenir les conclusions pour le présent, — on part toujours de ce postulat que les conditions connues s 'appliquent aux phénomènes restés en dehors du relevé; or, c'est précisément ce qu'on ignore. Le plus souvent, on se trouve en présence de faits essentiellement variables et différents les uns des autres : de la grandeur des uns, bien connue, on ne peut conclure à la grandeur des autres, qui est inconnue. Ne trouve-t-on pas plus de garanties dans la tendance, si accentuée aujourd'hui, d'étendre le relevé à toutes les unités? Vérifier si les résultats du relevé sont complets, s'ils ne présentent pas de trop grandes divergences avec les résultats antérieurement recueillis, comparer les déclarations des ouvriers avec celles des patrons, veiller à éliminer les multiples emplois si faciles à commettre quand plusieurs personnes peuvent se croire qualifiées pour répondre au questionnaire, — toutes ces précautions concourent au même but : s'assurer que le relevé est complet, empêcher que la même unité ne soit comptée plusieurs fois. Elles exigent de la patience, du travail, de l'expérience, mais elles n'ont rien à voir avec les mathématiques. Ceci ne signifie pas que la méthode un-

CAHACTÈltES PROPRES A LA STATISTIQUE

thématique est, dans ce cas, inutile ou mauvaise, mais simplement qu'elle n'est pas toujours indispensable.

56. L'emploi des procédés mathématiques peut avoir un troisième but : celui d'affiner les conclusions de l'interprétation en faisant apparaître des éléments qui, autrement, resteraient en tout ou en partie inconnus. C 'est cette fonction des méthodes mathématiques que M. Bowley compare à l'emploi du microscope et c'est à propos d'elles qu'il dit que la méthode arithmétique n'a qu'une portée relative comme une observation faite à l'œil nu ne nous révèle qu'un aspect incomplet des choses.

La légitimité de l'emploi des méthodes mathématiques dans le sens indiqué n'est pas contestable, mais son usage judicieux présente de sérieuses difficultés. C 'est ici surtout qu'est exacte la parole de Bodio qui craint de voir employer, pour l'amour de l'art, le trébuchet du peseur d'or quand on ne devrait recourir qu'à la balance grossière du marchand. Les applications parfois subtiles qu'on fait du calcul supérieur cadrent mal avec l'aspect fruste des données numériques. Avec les résultats des statistiques, nous nous trouvons dans le domaine du relatif, avec le calcul mathématique, nous sommes dans la sphère de l'absolu; existe-t-il entre ces deux aspects des choses un pont solide qui permette de passer de l'un à l'autre? Il sera toujours sage de poser la question.

Il n'en reste pas moins vrai que les procédés arithmétiques ne permettent pas toujours de discerner toutes les faces d'une question. Ainsi que nous le montrerons plus loin, les relations qui existent entre les manifestations quantitatives de deux phénomènes ne sont complètement mises en lumière qu'avec l'aide du calcul des corrélations. M. Udny Yule considère la méthode de corrélation comme fondée sur la formation d'équations donnant la valeur d'une variable en fonction d'une ou de plusieurs

antres. La méthode de corrélation consisterait donc à déterminer le degré d'affinité qui unit entre eux deux ou plusieurs éléments dont les relations sont susceptibles de mesure. Lorsque ces éléments sont unis entre eux par des rapports de grandeurs, le degré de persistance de la relation qui existe entre ces grandeurs caractérise entre elles le degré de corrélation. Les éléments sont alors appelés fonctions les uns des autres, c'est-à-dire qu'il existe respectivement entre eux une dépendance plus ou moins parfaite qui les fait varier de grandeur en raison des variations subies par les autres éléments dont ils sont fonctions.

La méthode de corrélation est essentiellement mathématique, elle ne peut être remplacée par aucune opération de l'arithmétique. A ce point de vue, il est exact que les procédés mathématiques font apparaître des résultats qui, sans eux, ne pourraient être mis en lumière.