CHAPITRE IV Précision des résultats

127. L'école mathématique groupe sous l'appellation de « accuracy » (précision), l'ensemble des procédés à l'aide desquel l'exactitude d'un relevé peut être exprimée, quand on le compare à un autre. Elle a recours aux mathématiques pour calculer l'effet que plusieurs erreurs peuvent produire, lorsqu'elles sont additionnées, multipliées ou divisées entre elles. Elle joint généralement à cet exposé les procédés de réduction de& nombres en chiffres ronds, — le but de cette réduction étant de ne pas donner aux résultats du relevé une précision plus grande que celle qui peut leur être légitimement attribuée.

Cette matière peut être exposée à la suite de la critique statistique, dont elle forme comme la conclusion : c'est pour cette raison que nous la comprenons dans la section II de cet ouvrage. M. Bowley définit ainsi la règle fondamentale de la recherche de la précision, autrement dit le calcul de l'importance des erreurs : « l'erreur, dans une observation approchée (an estimate) est le rapport de la différence entre cette observation et la valeur véritable à l'observation approchée (1) ». M. Bowley continue : Représentons par u la mesure d'une certaine quantité, sachant que la valeur véritable de cette quantité est u1 ; l'erreur dans l'estimation approchée — à laquelle nous donnerons la désignation de e,

est donc : u1 — u

et m1 = u (1 + e)

La réciproque de est une mesure appropriée de la

précis-ion d'une observation approchée, et cette mesure dé-

fi) Bowley (A.), Eléments of statistics. London, 1902, p. 201.

vient infinie lorsque l'erreur est zéro (1). On voit immédiatement que cette notion implique l'existence d'une mesure exacte, à laquelle on peut rapporter une observation du même fait, soupçonnée de renfermer une erreur d'une importance inconnue. La logique nous avertit suffisamment d'ailleurs que, pour évaluer l'erreur d'un relevé, il est de toute nécessité qu'on puisse trouver un point de comparaison en dehors, supposé plus exact que le relevé lui-même. Nous avons donc à nous demander dans quels- cas et sous quelles conditions il sera possible de déterminer ce point de comparaison.

128. Quand on veut calculer le degré de précision des observations faites dans le domaine des sciences physiques, les procédés de calcul indiqués par l'école mathématique s'appliquent sans difficulté parce que, dans ce domaine, on dispose généralement d'un modèle auquel on peut comparer les résultats qui n'en sont que des copies plus ou moins approchées (2).

Dans ce cas, rien de plus simple que le calcul de l'erreur commise dans la copie.

Mais en statistique, disposons-nous de ces mesures-types

(1) Pour la démonstration de cette formule, cfr. Bowley : « Relations between the Aceuracy of an Average and tliat of its Constituent Parts ». (Journal of the Roy. Statistical Society, 1897; p. 855.)

(2) En métrologie, par exemple, on dispose de mesures de longueur ou de poids ou de contenance construites avec la dernière précision. Il existe, dans tous les pays, des mètres-étalons en platine, gradués avec un soin extrême, jusqu'à donner l'appréciation du micron ; ces mesures-types conservées dans des conditions qui les mettent à l'abri de toute altération, forment une base immuable à laquelle on rapporte les instruments de mesure moins parfaits construits à l'usage du commerce. Supposez que ce mètreétalon n'existe pas, il ne faudrait pas longtemps pour que, de dégradation en dégradation, l'unité métrique usuelle s'écarte sensiblement de la longueur théorique qu'elle est censée représenter. On aurait ainsi des mètres trop longs et, sans doute, un plus grand nombre de mètres trop courts. Les transactions en seraient profondément troublées et de nombreuses contestations ne tarderaient pas à s'élever. Elles seraient insolubles, faute d'un type auquel on pourrait comparer les diverses mesures obtenues.

PRÉCISION DES RÉSULTATS

auxquelles nous puissions comparer nos relevés! Avonsnous la possibilité de constater nos erreurs accidentelles et d'en déterminer le quantum?

Il est clair que s'il s'agit de phénomènes physiques observés dans des conditions douteuses, on pourra presque toujours comparer ces observations à des mensurations plus rigoureuses de façon à en déterminer le coefficient d'erreur (1).

Mais, ce n'est pas dans ce domaine que se groupent les recherches usuelles de la statistique. Elles ont trait, le plus souvent, à des phénomènes sociaux ou à des faits matériels ayant des rapports étroits avec les phénomènes sociaux.

L'état de la population est un phénomène social : état quantitatif, c'est-à-dire le relevé du nombre des citoyens d'une ville, d'une province, d'un royaume; — état qualitatif, c'est-à-dire les attributs de telle population : nombre de personnes célibataires, mariées, veuves, divorcées ; nombre d'agriculteurs, de commerçants, d'industriels, de personnes sans profession. La richesse publique et privée est un phénomène social par connexité aux activités sociales dont il dérive : les activités sociales sont les facteurs de la richesse, l'estimation de celle-ci, indépendamment de l'intérêt qu'elle présente par elle-même, nous fait donc connaître l'intensité des activités sociales qui la produisent. Dans ce domaine traditionnel de la statistique, nous croyons que les méthodes de comparaison signalées en vue d'établir le degré de précision du relevé, sont souvent inapplicables ou inopérantes. C 'est que les opérations du relevé, lentes, pénibles et coûteuses, ne se renouvellent pas par pur dillettantisme scientifique. Si l'on a un relevé idéal, parfait au point qu'on puisse déterminer les erreurs de tous les autres en les comparant simplement au premier, il ne viendra à l'es-

(1) Par exemple, le comparateur utilisé au Bureau international des poids et mesures, à Passy, est un instrument d'une justesse extrême à l'aide duquel on peut vérifier avec la plus grande précision les variations des étalons métriques secondaires par rapport à l'étalon-type.

prit de personne de réclamer l'exécution d'une statistique qui, par définition, serait moins exacte que la première. Et si de deux relevés coexistants il est prouvé que l'un l'emporte sur l'autre, on n'aura guère besoin de recourir à des procédés de comparaison numérique, car les résultats du second seront laissés dans l'oubli du moment qu'il sera prouvé que leur valeur est inférieure. En résumé, c'est le point de comparaison qui fait défaut dans la plupart des cas: si l'on avait un relevé parfait, on n'aurait nul besoin et nulle envie d'en exécuter un autre.

Il en va autrement dans les sciences appliquées. Là, on possède une mesure-type dont toutes les autres ne sont que des copies plus ou moins réussies, des reproductions plus ou moins altérées. Il y a un mètre-étalon ; il y a des milliers de mètres en métal, en bois, en tissu, qui servent aux besoins de la vie journalière. On peut toujours comparer ces copies à la mesure-étalon et on doit le faire pour éviter de grands inconvénients.

Aussi, les hypothèses dont M. Bowley se sert, rendent bien évidente la distinction ci-dessus. Supposons, dit-il, qu'un relevé statistique nous donne ce résultat que le salaire hebdomadaire d'ouvriers agricoles soit de 13 s. et que nous sachions qu'en réalité le salaire de ces ouvriers agricoles est de 14 s., nous avons :

quotité représentant l'erreur du relevé fautif comparé au relevé exact (1). Mais pour comparer ces deux données il est nécessaire que nous sachions quelle est la réalité opposée à l'approximation; telle est précisément toute la question. Comment connaître cette réalité, comment arriver à cette notion sinon parfaite, du moins plus exacte que l'estimation jugée par nous inférieure en précision?

= ^ ou 7,7 °/<

(1) Bowley (A.-L.), Eléments of statistics. London, 2e édition, 1902, p. 201.

PltÉCISION DES RÉSULTATS

• 129. Ne nous attendons pas à la rencontrer souvent, mais enfin elle existe dans certains cas, et si peu nombreux qu'ils soient ils suffisent à justifier théoriquement l'application du calcul aux phénomènes réunissant les conditions nécessaires. En voici un exemple basé sur la méthode générale exprimée dans la définition de l'erreur donnée par M. Bowley, et que nous avons reproduite plus haut.

Les dénombrements de personnes sont rarement comparables à d'autres relevés du même genre, portant sur les mêmes unités, effectués au même moment, deux relevés simultanés n 'étant exécutés que dans des cas exceptionnels. Cependant, ce cas général comporte parfois l'une ou l'autre exception. En voici une : le compte rendu des opérations des chemins de fer de l'Etat belge, qui paraît chaque année, renferme la statistique des ouvriers appartenant à l'administration. En 1910, au 31 décembre, le nombre de ces ou vriers était de 55,600 (1). A la même date, avait lieu en Belgique le recensement général de l'industrie et du commerce qui, au moyen de bulletins individuels, relevait le nombre des exploitants, employés et ouvriers occupés en Belgique. Les cadres statistiques réservaient une place spéciale au dénombrement du personnel actif des chemins de fer de l'Etat; en y comprenant 598 chômeurs, évidemment portés sur les listes dressées par l'administration des chemins de fer, le relevé statistique de 1910 donne un total de 56,046 ouvriers (2).

D 'après ce qui précède, en admettant comme exact le chiffre donné par l'administration des chemins de fer de l'Etat, on a la fraction :

55,600 — 56,046 446 223 n nn n

Kt- an- = Kn ,,/,. ou - OU 0,0079.

ôb,04b 56,046 28,023

(1) Chemins de fer de l'Etat belge. Compte rendu des opérations pendant Tannée 1910. Rapport présenté aux Chambres législatives : Chambre des Représentants, n° 177. Bruxelles 1911, A, p. 8.

(2) Ministère de l'Industrie et du Travail. Office du Travail. Recensement de l'industrie et du commerce, recensement professionnel; t. IL Bruxelles, 1913, p. 1414, col. 13 et 19.

La supposition que le chiffre donné par l'administration des chemins de fer de l'Etat représente exactement le nombre des ouvriers est une hypothèse assez gratuite : dans un comptage qui introduit une distinction aussi délicate que celle d'employés et d'ouvriers, rien de plus facile que de commettre une erreur. Aussi, serait-il plus prudent d'accorder une égale valeur aux résultats en présence et de considérer l'écart qu'ils présentent comme une simple discordance et non comme une erreur à imputer à l'un des relevés plutôt qu'à l'autre. Dans ce cas, la fraction devrait s'écrire :

130. Mais de tels exemples sont rares; toute comparaison statistique suppose en effet que l'unité soit la même de part et d'autre. Cette condition n'est pas toujours réalisée. Dans deux opérations statistiques exécutées par des organismes indépendants, les définitions des unités seront rarement concordantes. La statistique du chômage, par exemple, présente un cas de l'espèce. Un relevé du chômage effectué lors d'un recensement général nous paraît suspect. La pensée nous vient naturellement de prendre pour point de comparaison, en lui attribuant une valeur plus grande qu'à notre dénombrement, le relevé des chômeurs dressé par un certain nombre de syndicats ouvriers. Il est raisonnable de penser que les listes de chômeurs dressées par ces syndicats sont plus exactes que toute autre, attendu que des indemnités journalières sont accordées aux syndiqués sans travail et que, dès lors, une comptabilité régulière s'impose. Mais les définitions du chômeur ne concordent pas en fait. Les syndicats ne connaissent que le chômeur indemnisé et comme le droit à l'indemnisation cesse après un certain temps, il arrive, pendant les périodes de crise industrielle, que les syndicats comptent un assez grand nombre de chômeurs qui ont épuisé leurs droits aux allocations de chômage; d'autre part, le chômage est généralement plus

PRÉCISION DES RÉSULTATS

étendu parmi les non-syndiqués que parmi les syndiqués. 11 est donc impossible, en s 'appuyant sur des documents de l'espèce, de découvrir et de mesurer l'erreur qu'un relevé général pourrait présenter.

( )n ne peut non plus comparer une moyenne à un chiffre obtenu directement par l'observation statistique. A une date déterminée on relève la population ouvrière industrielle d'un pays et on trouve qu'elle s'élève, dans les mines de houille, à 147,000 personnes. L'administration des mines, de son côté, publie la statistique de la population ouvrière : elle se borne à une moyenne analogue à celle du calcul du vollarbeiter, c'est-à-dire qu'ayant relevé le nombre de journées de travail elle divise ce nombre par le chiffre de 300 (nombre conventionnel des journées d'activité en un an) : le quotient — dans le pays dont il s'agit — donne 143,000. On ne comparera pas les deux nombres parce qu'ils sont obtenus par des méthodes différentes et ne représentent pas la même chose.

131. Il arrive assez souvent que les données relatives aux choses fournissent plusieurs points de comparaison utilisables; les choses matérielles intéressent souvent plusieurs services chargés de la statistique, de sorte qu'on possède des données recueillies de divers côtés. Ces évaluations ne sont pas généralement concordantes, même quand elles s'appliquent à un objet parfaitement défini, tel que, par exemple, la superficie d'un pays. Voici quelques chiffres montrant ces variantes, en ce qui concerne la superficie de la Belgique :

Superficie, en hectares, de la Belgique

A. D'après la statistique des biens de mainmorte (1866), 2,045,516 hectares

B. D'après le recensement général de la popuIation(18S0), 2,045,715 hectares.

C. D'après le recensement général de l'agriculture (1880), 2,045,589 hectares.

D. D'après le recensement général de l'agriculture (1805), 2,045,557 hectares.

E. D'après le recensement général de la population (1900), 2,045.503 hectares. Pi D'après le recensement général de la population (1910), 2,945,104 hectares. G. D'après le recensement général de l'agriculture (1910), 2.045,040 hectares.

La discordance entre les divers résultats tient à diverses causes qu'il est inutile de •rechercher ici. Pour les chiffres de deux recensements, ceux de 1900 et de 1910, par exemple, la différence s'exprimera par la fraction :

précédée du signe ± s'il n'y a pas de bonnes raisons pour préférer les données de l'un aux données de l'autre. Si l'on possédait un relevé présentant plus de garanties, on pourrait utilement lui comparer les données de l 'un et de l 'autre recensement en faisant cette fois précéder la simplification de la fraction des signes -j- ou — selon les cas*.

Les résultats consignés plus haut sont une illustration de la règle générale d'après laquelle les différences très minimes peuvent être négligées s'il ne s'agit pas d'une description purement scientifique portant sur des mesures extrêmement précises. On peut, hormis ce cas, remplacer deux ou trois rangées de chiffres par des zéros, ou transformer ces trois rangées de chiffres en un chiffre rond à ajouter aux tranches précédentes, en la faisant précéder du signe ± ; ainsi, dans l'exemple donné sub litt. E, on écrira plus exactement le résultat relatif à l'année 1900, comme ceci : 2,945,000 ± 500.

132. Pour terminer cette matière de la précision des observations, il y a lieu d'examiner l'effet que plusieurs erreurs peuvent produire lorsqu'elles sont additionnées, multipliées ou divisées entre elles. Nous formulons ci-après les règles du calcul en suivant les formules données à cet effet par les auteurs appartenant à l'école mathématique, mais en nous limitant à l'addition et au calcul des moyennes arithmétiques simples qui sont les cas les plus fréquents.

(( L'erreur dans un total d'observations, dit M. Bowley, est égale à la somme des erreurs des facteurs quand chacune

PRÉCISION DES RÉSULTATS 211

est multipliée par le rapport de la partie correspondante au total. » M. Bowley expose ainsi la formule (1) :

Soit u quantités telles que ux, n2, .... Un dont le total est désigné par la lettre u, de sorte que u est égal à ux -f- n2 + ...un • Appelons e la somme des erreurs de ces quantités, erreurs désignées par elt e2.... en. La valeur véritable du total est u (1 -f- e) et les valeurs véritables de chaque partie composant le total est u{ (1 + e^, u2 (i + e2) .... un (i + fn)

donc :

u (1 + e) = m, (1 + etj -f u.2 (1 + e2) + u3 (1 + e3) 4-

Mais nous avons défini

« = «1 4- u2 + .. . W„ d'où, par soustraction, nous avons

ite = 4- w2 e2 +

et

Al. Bowley donne l'exemple suivant comme application arithmétique : 2 Trades Unions indiquent respectivement 555 et 45 membres sans travail alors que les chiffres véritables sont 565 et 50, de sorte que les erreurs- sont :

D'après la régie ci-dessus, l'erreur dans le total est :