II. — La moyenne arithmétique
tenir compte des quantités de bière qui ont été vendues à différents prix : soit X3, X2, X3 ces quantités et vx, v2, v3 les prix, on a :
moyenne arithmétique pondérée.
La règle de la moyenne arithmétique est fondée sur le principe de compensation équitable. « Dans les faits qu'étudie la statistique, a écrit M. Lucien Mardi dans un remarquable travail (1), toute vue générale implique l'hypothèse que des changements survenus dans les circonstances nombreuses qui gouvernent les phénomènes, la plupart sont assez faibles ou se compensent suffisamment pour ne point altérer sensiblement le résultat d'une observation éclairée. » Ainsi, d'après le même auteur, « le principe de compensation sur lequel est basée toute comparaison de faits collectifs, n'est que la généralisation de la formule d'un marché équitable que les hommes ont sans doute adoptée depuis qu'ils vivent en société. La règle de la moyenne qui, du point de vue logique, est fondée sur une extension du principe de raison suffisante traduit cette formule (2). »
Il en résulte que « la moyenne arithmétique ou, plus brièvement, la moyenne de n quantités est la grandeur qui, répétée n fois, fournit le total de n quantités » (3).
225. La moyenne arithmétique s'obtient en divisant la somme des termes par le nombre des termes. Eappelons son expression générale :
M = gi + fl2 + «3 + ••• + a" (g) n
Elle est d'un usage extrêmement fréquent.
(1) Lucien Mahch : « Essai sur un modo d'exposer les principaux éléments de la théorie statistique ».' (Journal de la Société de statistique de Paris, 51e année, 1910, pp. 447-480.)
(2) Lucien March, loc. cit., p. 448.
(3) Id., loc. cit., p. 449.
MOYENNES, MÉDIANE, DOMINANTE
Les observations hebdomadaires faites à l'aide des thermomètres, dans les observatoires, sont, par exemple, réduites en moyenne mensuelle. A l'observatoire d'Edimbourg, les lectures faites à l'un des thermomètres (t) ont donné, en janvier 1899, les résultats suivants : 47.50 — 47.49 — 47.43 — 47.36 — 47.32 (1). D'où la moyenne mensuelle pour janvier 1899 :
Les moyennes sont nécessaires en démographie pour apprécier les variations qui, d'une période à l'autre, s'observent dans les phénomènes. Voici, par exemple, le nombre de mariages contractés en Angleterre et clans le pays de Galles, pendant la période décennale 1891-1900 (g) :
Exemple 3. — Mariages en Angleterre et dans le pays de Galles
Années.
Nombre de mariages.
Années.
Nombre de mariages.
D 'après la formule :
nous avons :
(1) « Observations of the Edinburgh Rock Thermometers », by Thomas Heath, B. A., Assistant Astronomer. (Transactions of thc Royal Society of Edinburgh, t. 40, 1000-1901, p. 169.)
(2) Statistique internationale du mouvement de la population. Paris, Imprimerie Nationale, 1907, pp. 2-3.
226. La formule de la moyenne composée ou pondérée ne diffère pas de celle de la moyenne arithmétique simple, sauf qu'ici il faut nécessairement tenir compte de l'importance respective de& termes. La moyenne pondérée est très fréquente dans les recherches relevant de l'ordre social ou économique.
Un cas classique de l'emploi de cette moyenne se trouve dans la formation des index-numbers de prix (1). Si l'on veut évaluer les variations générales de l'ensemble des prix, à une époque donnée, il convient non seulement de réunir des renseignements sûrs concernant un grand nombre d 'articles', mais il faut, de plus, attribuer à chaque article un « poids » en rapport avec l'importance qu'il a dans l'ensemble des marchandises considérées. Pour obtenir ce résultat, on donne à chaque denrée une cote et on multiplie les prix par cette cote.
Les Index-Numbers dressés par la Commission des Finances du Sénat des Etats- Unis- d'Amérique ont été calculés d'après trois méthodes dont deux sont basées sur la moyenne arithmétique pondérée. Les « poids » sont proportionnés à l'importance de la consommation parmi 2,561 familles normales dont les dépenses ont été relevées au moyen de budgets. Par rapport à 10,000, les dépense» représentent, par catégories d'articles, les chiffres proportionnels ci-après : loyer : 1,506 ; nourriture : 4,103 ; chauffage : 500; vêtement : 1,531; éclairage : 90; autres dépenses : 2,270 (2).
(1) On appelle « Index-Numbers », un système dans lequel les prix d'un certain nombre de marchandises considérées comme représentatives de l'ensemble des transactions sont relevés et représentés par l'unité; une année ou une moyenne d'années, ayant été prise comme base de comparaison, les variations des prix les années suivantes s'expriment par pourcentages calculés sur les prix de la première année.
(2) U. S. Department of Labor. Bureau of Labor Statistics. Numbers of wholesale priées in the United States and foreign countries, July 1010, Washington.
MOYENNES, MÉDIANE, DOMINANTE
Par rapport à l'année de base (1860 = 100) les chiffres de l'Index en 1891 donnent les résultats consignés à la seconde colonne. La moyenne proportionnée ou pondérée se calcule donc comme suit :
Exemple 4. — Période de base : 1860 = 100.
Importance
Nombre- Index en 1891
liesuitiits
Chauffage ....
Autres dépenses
Totaux.
Représentant par p0 les prix une année prise comme base, par pg. les prix les autres années, par g les quantités physiques admises comme poids, et établissant les relations entre les prix et les quantités chaque année par rapport à l'année de base, on a :
p0 . g 4- p'o ■ q' + + Vo • <T
227. Dans l'exemple précédent, la moyenne est multipliée par un nombre entier exprimé par un seul chiffre, mais il arrive souvent que la classe des données est comprise entre deux chiffres limites; tel est le cas qui se présente dans les statistiques de salaires où * des nombres donnés d'ouvriers gagnent un salaire compris entre telle somme et telle autre. Dans ce cas, on adopte, comme représentant la classe, le chiffre intermédiaire entre les deux limites, dans l'hypothèse que la répartition des unités se fasse d'une manière égale.
Voici un exemple emprunté à la statistique des salaires dans les industries des métaux, publié par l'Office du Travail de Belgique (1) :
Exemple 5. — BELGIQUE. - Salaires des ouvriers mâles adultes dans les ateliers de robinetterie. (Octobre 1903.)
XctUA Uco bcuclll ca
Taux intermédiaire
Nombre d'ouvriers
Montant des salaires
Francs.
Francs.
(1) Koyaume de Belgique. Office du travail. Statistique des salaires dans les industries des métaux au mois d'octobre 1908. Bruxelles, 1907, p. 647.
MOYENNKS, MÉDIANE, DOMINANTE
Le tableau précédent présente le& résultats numériques de la formule :
M - fl S (/'. x)
fil)
d'après laquelle :
= fr. 3,807.
228. La même formule est employée pour le calcul des caractères de variabilité en botanique. Calculons le nombre moyen d'ombellules pour les 249 exemplaires du Pimpinella saxifraga L. que nous avons analysés et dont nous avons reproduit plus haut (cfr. n° 219) la courbe caractéristique.
Exemple 6 — Pimpinella saxifraga L.
Nombre moyen de rayons
Classement d'après le nombre de rayons
Nombre d'exemplaires possédant le nombre rie rayons ci-contre
Nombre total de rayons
229. Il existe une autre méthode, pour calculer la moyenne arithmétique, qu'on peut désigner sous le nom de méthode abrégée ou de méthode indirecte. Elle est fondée sur cette propriété remarquable des moyennes d'après laquelle la somme algébrique des écarts à la moyenne est égale à zéro. (Cfr. plus loin V, propriétés mathématiques des moyennes, n° 246) (1).
Appelons A la valeur choisie d'une manière arbitraire, M la moyenne, l l'écart entre A et M. Nous pouvons écrire (2)
Si / désigne le nombre de fréquences, x les valeurs de chaque classe, nous avons :
2 (f.x) = 2 (/'.A) +2 (f.l) et puisque A est une valeur constante :
M = A + is(f.I) (21)
au lieu de calculer 2 (/'. x), on calcule donc 2 (/. I).
L'avantage de la méthode consiste en ce que les fréquences doivent être multipliées seulement par des nombres peu importants, donc faciles à calculer; en prenant leur origine 0 à la classe choisie d'une manière arbitraire, ils ne s 'élèvent qu 'à quelques unités correspondant au nombre de classes au-dessus et au-dessous de la valeur arbitraire. Pour rendre ce nombre aussi petit que possible, on a soin de prendre comme point d'origine une valeur située vers le milieu de la série.
La règle peut être formulée comme suit : la moyenne arithmétique simple d'une série de termes peut être trouvée en admettant qu'une valeur arbitrairement choisie est la
(1) Cfr. sur ce point King (W.) : The éléments of staiistical mctliods, New- York, 1912, pp. 134-136, et Yule (U. G.) : An introduction to the theory of statistics, London, 1011, pp. 110-113.
(2) Cfr. Udny Yule, loc cit., p. 110.
MOYENNES, MÉDIANE, DOMINANT K
moyenne exacte; calculez alors la somme algébrique des écarts de chacun des termes par rapport à la moyenne supposée; divisez cette somme par le nombre de termes et ajoutez le quotient au chiffre de la moyenne arbitrairement choisie. Le résultat donne la valeur de la moyenne exacte.
Faisons application de cette méthode à l'exemple 3. (Cfr. n° 225.)
Exemple 7. — Nombre moyen de mariages de 1891 à 1900 en Angleterre et dans le pays de Galles.
Années.
Termes de la série.
Moyenne arbitraire.
Écarts de chaque terme à la moyenne arbitraire.
Ce chiffre exprime la moyenne arithmétique exacte, telle qu'elle a été calculée plus haut.
230. Pour la moyenne arithmétique composée, la règle est différente : choisissez une classe des variables comme renfermant, par hypothèse, la moyenne et désignez cette classe par 0; attribuez ensuite aux classes supérieures et
inférieures un numéro d'ordre en partant de la classe 0; multipliez les fréquences par ce chiffre en attribuant au produit une valeur positive lorsque sa classe est supérieure, une valeur négative lorsque sa classe est inférieure à celle choisie par hypothèse. Faites la différence des deux produits; le reste forme le numérateur d'une fraction dont le dénominateur est le nombre de fréquences; réduisez la fraction, en tenant compte de l'intervalle de la classe et ajoutez le quotient avec son signe à la moyenne supposée : le total est la moyenne véritable.
Traitons par cette méthode les données de l'exemple 5.
Supposons, par hypothèse, que la moyenne est comprise dans la classe fr. 3.50 à 3.74. Nous disposons- les calculs comme suit :
MOYENNES, MÉDIANE, DOMINANT!'
Exemples. — BELGIQUE. — Salaires des ouvriers mâles adultes dans les ateliers de robinetterie. (Octobre 1903 )
Classes des salaires
Fréquences (f)
Produits if h)
Francs.
M — A(*) = + |^g = + ^ qqq ou + 0,182 (en tenant compte de
l'intervalle (0.25) de la classe).
M = 3,625 + 0,182 = 3,807. (Cfi\, n° 227.) (1) A est la valeur choisie arbitrairement comme représentant la moyenne.
Cette méthode étant importante, nous en faisons une nouvelle application à notre exemple 6, où la moyenne arithmétique se fixe par le procédé ordinaire à 10.253. (Cfr. n° 228.)
Supposons que la moyenne se
trouve dans la classe 11 :
Exemple 9. — Pimpinella Saxifraga L.
Nombre moyen de rayons
Classes par rayons
Fréquences (f)
Produits (f b)
Dans la réduction de la fraction, nous n'avons pas dû transformer le quotient, l'intervalle de classe étant, dans ce cas-ci, égal à l'unité.
23.1. Il est clair que si la position de la moyenne hypothétique est modifiée, tous les calculs changent, mais le résultat reste le même. Ludwig (1) a trouvé des courbes de Pimpinella saxifraga L dont l'optimum était à 8; adoptons
(1) Li nwiG: TJeber V.ariationskwven and Variationsflàclien, etc.. pp. fi.Vt57.
MOYENNES, MEDIANE, DOMINANTE
ce chiffre comme moyenne hypothétique. Les calculs se disposent comme suit :
Exemple 10. — Pimpinella Saxifraga L.
Nombre moyen de rayons
Classes par rayons
Fréquences
Ecarts (b)
Produit (f. b)
9ft
fi>6>
L'avantage que présente le procédé indirect est très appréciable : il dispense de calculs parfois fort longs lorsque les classes sont nombreuses et que les fréquences sont exprimées par des nombres considérables ; au lieu de procéder à des calculs écrits, on peut souvent se borner, dans le procédé indirect, à un calcul mental dont on écrit directement le résultat. Par contre, le procédé indirect ne conduit qu'à une approximation lorsque les écarts ne sont pas assez rapprochés ou lorsque la répartition des unités à l'intérieur de la classe ne s'effectue pas d'une manière uniforme.
232. On procède de même que pour la moyenne arithmétique simple lorsque, au lieu de nombres absolus, on doit effectuer les calculs sur des nombres proportionnels exprimant combien de parties du tout représente chaque groupe de fréquences. On commence par déterminer l'importance de la classe, si elle est comprise entre deux limites, et on multiplie les nombres proportionnels par l'indice de la classe ; le total des produits partiels divisé par 100 donne le chiffre du salaire moyen.
Exemple 11. — Salaires moyens des ouvriers mâles adultes dans les mines de houille, en Belgique, au 31 octobre 1896
Taux des salaires
Proportion % des ouvriers
Produit
Francs.
306 fr. 88 „ „ ...
1 = — ïôô — = ( ;
(1) A titre de vérification, cfr. Bosco (A.), •qui, opérant par le procédé ordinaire, a trouvé
Lezioni di statistica, p. 508, le même résultat.
MOYENNES, MÉDIANE, DOMINANTE
233. Si l'on veut se faire une idée précise de la moyenne arithmétique, on ne doit pas perdre de vue qu'elle consiste essentiellement en* un partage égal et compensatoire. La moyenne arithmétique est le résultat d'une opération, par laquelle on divise un total en un nombre donné de parties égales; il en résulte que la moyenne multipliée par le nombre de termes, ou de parties, reconstitue le total. Cette propriété appartient à la moyenne arithmétique; elle est éminemment caractéristique. Partant de ces principes élémentaires, nous pouvons en déduire de brèves considérations sur la sphère d'application et sur les conditions intrinsèques du calcul de la moyenne. Sa compétence est certaine et absolue chaque fois qu'il s'agit de trouver une expression générale, pour caractériser une série statique, c'est-à-dire une série de nombres qui ne marquent, les uns par rapport aux autres, que de faibles oscillations. De pareilles séries ne sont pas rares en démographie; le rapport des naissances masculines aux naissances féminines en fournit un exemple remarquable. L'usage de la moyenne arithmétique est indiqué également dans de nombreux relevés des sciences météorologique et astronomique.
Dans une série parfaitement régulière, la moyenne atteint une haute valeur représentative ; elle est à la fois le centre de gravité de la série, le point d'intersection de la surface de la courbe en deux parties égales, la valeur la plus probable autour de laquelle les autres viennent se grouper d'une manière symétrique, d'autant plus nombreuses qu'elles sont plus proches de la moyenne.
234. Mais les courbes qui suivent la loi de la répartition des erreurs accidentelles sont rares; un grand nombre de phénomènes sociaux dessinent une courbe asymétrique, soit qu'ils n'obéissent pas à la loi des erreurs, soit qu'il s'agisse de séries à caractère dynamique ou indétermiué. Dans ces cas, la moyenne a le caractère d'une expression synthétique d'un caractère abstrait; elle ne correspond d'habitude à
aucune des manifestations réelles du phénomène et a pour objet de donner une idée abrégée d'un ensemble complexe. Dans ces cas, la compétence de la moyenne arithmétique s 'atténue ou disparaît et il appartient au chercheur, se guidant d'après les circonstances, de faire choix entre les moyennes arithmétique, géométrique, harmonique ou contre-harmonique, etc.
235. Puisque la moyenne, en général, est une expression synthétique des éléments complexes de la série, il est indispensable qu'elle exprime un ensemble de causes aussi étroitement unies que possible ; sans cela, elle perd sa signification et les comparaisons entre différentes moyennes sont vides de sens. De là résulte une règle essentielle, à savoir que les unités composant la série doivent présenter le caractère le plus homogène possible. Si les phénomènes sont influencés visiblement par des causes différentes, la moyenne qu'on en tirera sera dénuée de signification scientifique véritable ; elle n 'exprimera qu 'un complexus inintelligible et ne se prêtera pas à des comparaisons logiquement déduites (1).
Le caractère homogène d'une série doit s'apprécier sous les trois aspects suivants : 1° la nature des données; 2° l 'époque à laquelle elles se rapportent ; 3° le lieu où elles ont été réunies.
Une série peut être homogène dans son ensemble et pourtant certains des termes qui la composent peuvent obéir à des tendances particulières, en sorte qu'il y aurait avantage à ne pas les comprendre dans la moyenne générale. Si l'on considère d'une part tous les couples mariés, d'autre part le nombre d'enfants nés- en légitime mariage, il est évident que l'on se trouve dans des conditions générales favorables pour calculer la moyenne des enfants par mariage. Mais, comme le fait observer Zizek (2), des doutes
(1) Zizek, Statistical aucraye, p. 65.
(2) Id., loc. cit., pp. 67-68.
MOYENNES, MÉDIANE, DOMINANTE
se sont élevés sur le point de savoir s'il ne vaudrait p;>.^ mieux éliminer les couples sans enfants et calculer la moyenne seulement sur le nombre de personnes mariées ayant au moins un enfant. La raison alléguée serait que l'absence d'enfants trahirait une tare physiologique chez les mariés et que, pour réunir des données comparables, il vaudrait mieux considérer uniquement des couples dont le caractère normal serait dénoté par l'existence d'enfants. Nous n'avons pas à nous prononcer sur le bien-fondé de cette opinion physiologique, mais- il est incontestable que la moyenne serait plus exacte si elle était prise uniquement sur des couples ayant eu un ou plusieurs enfants. Il peut être extrêmement important de connaître séparément le nombre d'unions stériles et surtout de s'assurer si leur nombre relatif a une tendance à augmenter ou s'il reste stationnaire. On pourrait arriver à une précision plus grande encore en établissant des catégories parmi les couples mariés, d'après l'âge des conjoints au moment de leur union, et en calculant pour chacune de ces catégories le nombre moyen d'enfants par mariage. Evidemment, ces données ne peuvent être réalisées sous leur forme la pins parfaite que si le statisticien dispose de données originales ; celui qui travaille sur des données déjà publiées est forcé de les utiliser dans l'état où il les trouve.
236. Lorsqu'on étudie la condition d'homogénéité, on est surpris des conditions rigoureuses que le respect de cette condition impose. La question des salaires, si féconde en applications statistiques, en fournit une illustration nouvelle. Les statisticiens qui commencèrent l'étude des salaires sous le rapport statistique, se bornèrent souvent à des indications générales portant sar de vastes catégories de travailleurs ; on parlait habituellement du « salaire moyen de l'ouvrier mineur », sans distinguer entre le fond et la surface, du « salaire moyen de l'ouvrier de fabrique », ou de celui de « l'ouvrier de métier ». Ces moyennes générales
présentaient le grave inconvénient d'éclairer très peu le public quant aux condition» réelles de la classe ouvrière, car ces indications vagues ne correspondaient à aucune situation existante. Pour obtenir une vue d'ensemble des salaires répondant à la condition d'homogénéité, il convient de partager les salaires en un assez grand nombre de classes. Ainsi, on mettra à part les enfants et les adultes ; les premiers ne gagnent pas un salaire comparable à celui des seconds ; leurs forces sont moindres, leur capacité professionnelle est à ses débuts, souvent leur salaire est considéré comme un salaire d'appoint, etc. D'autre part, nous savons que le sexe est un facteur dont l'importance est démontrée en ce qui concerne la fixation du taux des salaires ; il convient donc d'envisager séparément le salaire deshommes et celui des femmes parmi les travailleurs adultes. Ensuite, il serait du plus haut intérêt d'observer les salaires par groupes d'âge : l'homme dans la pleine possession de son énergie produit plus que celui dont les forces déclinent ; quel est l'âge de pleine production? quelle est la courbe du salaire d'après l'âge? Les statistiques des salaires n'ont pas encore porté la lumière sur ce point (1) ; il serait
( 1 ) La Statistique belge des accidents du travail a rangé les victimes d'accidents du travail d'après leur âge et d'après le salaire moyen sur lequel la réparation a été calculée. Voici les données générales pour tous les groupes d'industrie (sans les entreprises agricoles proprement dites) .
Salaire annuel moyen
De moins de 15 ans ........ Fr. 408.67
.15 à 20 ans . . . 761.68
20 à 30 ans 1,178.13
30 à 40 ans . . . 1,285.08
40 à 45 ans 1,287.10
45 à 50 ans ... . . . . . . .... 1,229.69
50 à 55 ans . . 1,173.01
55 à 60 ans . . . . 1,140.56
60 «à 70 ans . . 1,052.19
70 et plus . 923.49
Il résulte de ces chiffres que le salaire est le plus élevé à partir de 30 ans et qu'il reste à peu près stationnaire jusqu'à 45 ans; à partir de cet âge, il diminue pour se réduire, à l'âge extrême de 70 ans et plus, au niveau des années de la jeunesse. (Office du travail de Belgique. Statistique des accidents du travail, année 1906, t. I, p. 635.)
MOYENNES, MÉDIANE, DOMINANTE 363
cependant fort intéressant de trouver la réponse à ces questions et de construire des moyennes vraiment homogènes, sur ces bases. Mais il ne suffit pas- encore de ces distinctions; il en est d'autres tout aussi importantes : l'industrie et la profession. C'est seulement en opérant des groupements de plus en plus étroits qu'on parvient à calculer des moyennes homogènes.
L'époque à laquelle les données ont été recueillies est aussi un facteur à considérer, de même que la durée de l'observation. Des salaires recueillis en janvier ne sont pas comparables à d'autres, même se rapportant à des catégories identiques de travailleurs, observés en juillet. L'influence des saisons est extrêmement sensible parmi de vastes catégories de travailleurs ; la morte-saison et la saison de pleine activité impriment à leurs gains des oscillations fortement marquées. C'est pour la même raison qu'on ne peut se contenter d'une période d'observation trop courte; l'idéal serait évidemment d'obtenir la succession des salaires pendant une année entière.
Enfin, il est bien évident que le milieu réagit sur les conditions des phénomènes. Pour obtenir des données absolument comparables ou homogènes, il faudrait ne grouper que des phénomènes soumis aux mêmes influences de milieu, ou, dans la comparaison, pouvoir éliminer l'influence due aux milieux divers.
