III. — Moyenne géométrique

237. La définition de la moyenne géométrique est la suivante : c'est la valeur qui correspond à la racine du produit des termes, portée à un exposant égal au nombre des- termes.

La moyenne géométrique de 24 et 33 est donc :

Lorsqu'il y a trois termes, au lieu de la racine carrée, on calcule la racine cubique du produit des termes. Ainsi, pour 24, 33 et 6, on a :

La valeur de l'exposant augmentant avec le nombre de termes, on est rapidement conduit, par la méthode arithmétique, à des calculs longs et compliqués. Supposons qu'il faille tenir compte des variations des prix d'un certain nombre de marchandises, admettons qu'elles soient au nombre de 45 comme dans VIndex-Numbers de Sauerbeck, on se trouverait devant une tâche presque insurmontable : c'est pour cette raison que l'on substitue au calcul arithmétique la recherche au moyen de logarithmes et l'on a alors cette définition très simple :

La moyenne géométrique d'une série de termes est le nombre naturel qui correspond au logarithme moyen des logarithmes de chacun des termes, ce qu'exprime la formule :

log. 1.2 (log. X) (14)

238. Il n'est pas inutile de faire une application étendue de cette formule; on n'en trouve que très peu d'exemples pratiques dans les traités de statistique et cette pénurie embarrasse souvent l'étudiant qui se demande dans quelles conditions il doit appliquer la formule.

Parmi des amandes achetées dans un magasin de la ville, 54 ont été prises au hasard et mesurées avec une extrême précision, au dixième de millimètre. Il s'agit de déterminer, parmi ces 54 mesures, quelle est la moyenne géométrique. Le calcul arithmétique exigerait que l'on fît le produit de 54 termes l'un par l'autre et que l'on prît la racine 54' de

MOYEN N KS, MÉDIANE, DOMINANTE 385

ce produit, ce qui est impossible. Le calcul par les logarithmes se dispose comme suit :

EXEMPI/E 12.

Longueur

Logarithmes

Longueur

Logarithmes

Longueur

Logarithmes

des

des nombres

des

des nombres

des

des nombres

amandes

ei-conlrc

amandes

ci-contre

amandes

ci-contre

(1/10'de m/m)

S log. = 134.34713436. M log. = 2.48790989.

239. L'emploi de la moyenne géométrique est peu répandu. Il faut attribuer ce fait à la complication des calculs; les personnes auxquelles l'usage des tables de logarithmes n'est pas familier, se perdent facilement dans le dédale des colounes de chiffres, surtout lorsqu'il s'agit de trouver le logarithme de nombres de 6 ou 7 chiffres. Cette difficulté matérielle, qui ne résulte que de l'absence d'exercice, ne doit pas éloigner de la moyenne géométrique, ni surtout la faire condamner quand son emploi est reconnu préférable à la moyenne arithmétique.

La moyenne géométrique est, dans des cas nombreux, recommandée par une série imposante d'autorités : Stanley Jevons, un des plus brillants esprits de son temps ; Galton qui, après Quetelet, a rénové la statistique; Edgeworth dont les travaux font autorité ; Bowley et Yule dont nous avons eu maintes fois l'occasion de citer et de suivre les remarquables travaux, ont fait ressortir avec une grande force d'arguments, les avantages particuliers de cette moyenne.

Stanley Jevons l'a surtout recommandée à propos des statistiques des prix (1) ; selon lui, la moyenne arithmétique aurait pour effet, en général, d'exagérer les prix qui ont augmenté, aux dépens de ceux qui ont baissé. Si une marchandise A, dit Jevons, augmente de 100 p. c, son indexnumbers est porté à 200 ; si, en même temps, une marchandise B diminue de 50 p. c, son index-numbers est ramené à 50 ; la moyenne arithmétique pour A -|~ B est donc :

la moyenne géométrique serait :

c'est-à-dire que le niveau général des prix resterait in-

(1) Stanley Jevons, A serions fall on the value of gold ascertained, London, 1863.

MOYENNES, MEDIANE, DOMINANTE

changé, tandis que la moyenne arithmétique le ferait apparaître 25 p. c. plus élevé.

Dans un travail subséquent (1), publié en 1865, Stanley Jevons n'apporte pas d'argument nouveau en faveur de la moyenne géométrique et se borne à reproduire l'exemple que nous venons de rappeler, mais dans son remarquable ouvrage The principles of science, publié en 1892, il reprend et amplifie ses premières conclusions. D'après l'éminent économiste anglais, « dans tous les calculs qui visent à exprimer le quantum des progrès de la société, la moyenne géométrique devrait être employée (2) » et il donne cet exemple : <( une quantité quelconque (houille, fer, commerce) ayant, en 100 ans, augmenté de 100 p. c, on se tromperait fort en disant qu'en moyenne, à la fin de chaque décade, la quantité primitive a augmenté de 10 p. c. ; de cette façon, on arriverait en réalité, à 159 p. c. La vraie moyenne serait la moyenne géométrique

V 2 soit environ 1.07,

ce qui donnerait une augmentation de 7 p. c. environ tous les- dix ans ».

Galton a également défendu l'emploi de la moyenne géométrique dans les statistiques sociales et de la vie. D'après Galton (3) on ne pourrait admettre comme exacte en ce qui concerne les sciences de la vie l'hypothèse selon laquelle les erreurs en plus et les erreurs en moins par rapport à la mesure exacte sont également probables et que, par conséquent, la moyenne arithmétique de ces mesures est la plus proche de la vérité. La valeur la plus pro-

(1) Stanley Jevons, « On the variation of priées and the value of eurreney sinee 1782 ». (Journal of the Statistical Society. 1865, June, p. 295, note.)

(2) Stanley Jevons, The Principles of Science, London, 1892, p. 362.

(3) Sir Francis Galton, « The géométrie mean, in vital and social statis. tics » (Procecdings of the Royal Society, n° 198, 1879. — Réimpression dans Natural Inheritance, London, 1889, annexe E, p. 238.)

bable, dans ces cas, serait donnée par la moyenne géométrique. Galton pense également que la moyenne géométrique est à préférer à la moyenne arithmétique lorsqu'il s'agit de phénomènes de la vie qui ont des relations avec la sociologie, par exemple l'augmentation de la population. Les phénomènes sociologiques, comme les phénomènes de la vie, dit Galton, doivent, en général, être traités à l'aide de la moyenne géométrique (1).

MM. Edgeworth et Bowley ont appuyé ces considérations et ont fait remarquer, en outre, que la moyenne géométrique possédait de plus l'avantage de rendre à peu près- indifférent le choix de l'année de base dans les statistiques des prix.

Toutes ces considérations n'ont pu rendre fort populaire la moyenne géométrique. Non seulement, son emploi assez difficile rebute les chercheurs, mais son caractère mathématique abstrait ne contribue pas peu, comme M. Yule (2) le remarque avec raison, à lui conserver le caractère d'une méthode d'exception.

240. Lorsque les différences entre les nombres de la série ne sont pas accusées, le résultat du calcul ne change guère, que l'on emploie la moyenne arithmétique ou la moyenne géométrique.

( 1 ) Une curieuse application de la moyenne géométrique a été proposée par I. H. van Thunen, dans son ouvrage fameux : Der Isolirtc Staat. D'à-près Luigi Cossa {Histoire des doctrines économiques, trad. française, Paris, 1899, p. 410), van Thunen « crut avoir déterminé le juste salaire dans la formule Va p c'est-à-dire la racine carrée du produit que l'on obtient en multipliant la somme exprimant la valeur des choses nécessaires à l'entretien de l'ouvrier par celle qui indique la valeur des produits obtenus par son travail ». Ainsi, si l'entretien de l'ouvrier est représenté par la somme de fr. 3.00 et la valeur

ajoutée au produit par fr. 8.00, on a : \,' 3 . 8 = 4 tr. 8989, ce qui représenterait le juste salaire. « Mais, ajoute Luigi Cossa, ces prémisses étaient arbitraires et insuffisantes. »

(2) Yule (G. U.), An Introduction to the theory of statistics. London, 1911, t>. 124.

MOYENNES, MÉDIANE, DOMINANTE

Les nombres 20, 21, 22 ont pour moyenne arithmétique :

Leur moyenne géométrique est :

expression qu'on doit traduire en pratique par 21, valeur de la moyenne arithmétique.

241. Cette remarque limite l'emploi de la moyenne géométrique aux cas dans lesquels les termes de la série diffèrent d'une manière assez sensible.

Se trouvent spécialement dans ce cas, les séries qui réunissent des données relatives à l'accroissement de la fortune publique ou de l'activité économique, dans lesquelles interviennent plusieurs éléments doués d'une vitesse variable. Dans un travail antérieur, nous avons essayé de caractériser les progrès économiques de la Belgique au cours de la période 1880-1908 (1). Les moyennes, dans cette étude, sont des moyennes arithmétiques ; reprenant une partie de nos résultats — ceux relatifs aux échanges, — de 1895 à 1908, nous avons calculé, à côté de la moyenne arithmétique, la moyenne géométrique. Le tableau ci-après fait apparaître les différences entre les deux résultats.

(1) Julin (Arm.), « The économie prooress of Belgium fiom 1880 to 1008 ». (Journal of the Royal Statistical Society, February, 1911, pp. 251-313.)

CD -

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