IV. — Moyenne harmonique

243. La moyenne harmonique est, des trois moyennes classiques, celle dont l'emploi est le moins fréquent. On la définit en disant qu'elle est la réciproque de la moyenne arithmétique des réciproques des termes. Elle a pour expression générale la formule :

et, en ne considérant que deux termes ! &], a2 i

ax a 2

et, en réduisant les termes à leur dénominateur commun :

«i -I- a-2 aj . at

d'où l'on a, en multipliant le numérateur et le dénominateur de la fraction par a1? a2 :

«i + ûf?

mais cette formule ne trouve son application que dans le cas particulier où la moyenne doit être prise entre deux termes (1).

(1) Messedaglia, « Calcul des valeurs moyennes ». (Annales de démographie internationale, 1880, p. 397.)

MOYENNES, MÉDIANE, DOMINANT K

La valeur numérique dé la moyenne harmonique est la plus basse; la plus élevée est celle de la moyenne arithmétique ; la moyenne géométrique tient le milieu :

Rappelons l'application que nous avons faite (Cfr. supra h" 222) sur les nombres : 34, 38, 42, 46.

Moyenne arithmétique = 40.

Moyenne géométrique = 39,750 Moyenne harmonique = 39,498.

L'importance de l'écart entre les diverses moyennes dépend pour une large part, comme le fait remarquer M. Yule (1), de la grandeur de la dispersion par rapport à la grandeur de la moyenne.

244. Messedaglia qui, dans son mémoire « Calcul des valeurs moyennes », s'est occupé surtout de la moyenne harmonique, a fait remarquer le rapport qui existe entre la proportion et la moyenne arithmétique, d'une part, et la proportion et la moyenne harmonique d'autre part (2). La réciproque de chaque terme d'une proportion arithmétique ou par différence constitue une proportion harmonique des réciproques; d'où la réciproque de la moyenne arithmétique est la moyenne harmonique des réciproques, ou bien, la moyenne harmonique est la réciproque de la moyenne arithmétique des réciproques.

Le même auteur a fait remarquer que la moyenne harmonique est de nature à rendre des services dans l'appréciation de la valeur de la monnaie, c'est-à-dire de la quantité de marchandises qu'il est possible de se procurer avec une certaine somme d'argent (3). En général, on procède en prenant la moyenne arithmétique des prix; en cas de hausse de prix, la quantité de marchandises qu'on pourrait se procurer avec une même somme diminue d'autant. Mais,

(Il Cfr. aussi Yule, An introduction to the theory of statistics, p. 129.

(2) Messedaglia, « Calcul des valeurs moyennes ». (Annales de démographie internationale, 1880, p. 391.)

(3) Id , loo. cit., pp. 414-418.

fait observer Messedaglia, à la moyenne arithmétique des prix ne correspond pas précisément, en sens inverse, la moyenne arithmétique des quantités. La moyenne arithmétique des prix conduit pour des quantités à une valeur inférieure à la valeur réelle; à la moyenne arithmétique des prix correspond la moyenne harmonique des quantités; si l'on veut se contenter d'une approximation déjà très proche, on peut prendre la moyenne géométrique.