V. — Principales propriétés mathématiques des moyennes

245. Les moyennes possèdent des propriétés mathématiques importantes; elles sont à la base de plusieurs démonstrations qu'on trouvera plus loin. Nous passerons en revue les principales d'entre elles.

Moyenne arithmétique (M). — ■ Avant de passer à l'examen des propriétés mathématiques de cette moyenne, il y a lieu de rappeler sommairement quelques caractéristiques résultant de sa nature : a) la moyenne arithmétique est le centre de gravité de la série, ce qui résulte de l'idée de partage égal qui se trouve à la base de sa définition ; h) si les termes de la série sont égaux, la moyenne est égale à chacun d'eux; c) la moyenne, non plus que le résultat de l'addition, ne change pas, quel que soit l'ordre dans lequel les termes qui la composent se trouvent disposés.

246. La somme des écarts positifs des termes par rapport à la moyenne est égale à la somme des écarts négatifs, c'est-à-dire que la somme algébrique des écarts est zéro.

On appelle écart la différence numérique entre un terme de la série et la moyenne. Les écarts qui accusent une différence en plus sont les écarts positifs ; ceux qui montrent une différence en moins, les écarts négatifs.

M. U. Yule (1) donne de cette propriété une démonstration très facile et très claire qui a l'avantage de justifier

(1) Yule, loc. cit., pp. 110 et 114.

MOYENNES, MÉDIANE, DOMINANTE 395

le procédé abrégé ou indirect du calcul de la moyenne que nous avons exposé plus haut. (Cfr. n° 220.)

Soient : X la valeur de chaque terme ; A, une valeur ar bitraire choisie pour représenter la moyenne; E, l'écart entre X et A ; /, les fréquences.

Nous avons :

d'où

S (f. X) = £ OT. A) + S (f. g) or, A étant une valeur constante :

Si M et A sont identiques, on a :

On peut aussi donner la démonstration sous cette forme (1) :

Soit la formule générale de M :

M = at + % + a3 + . . • + a» ,gv n

Appelons xt, x2, x3 les écarts de chaque terme a1? a2, a3 par rapport à M ; il vient que :

Xi =

Xn ~~

(1) Bfnini ; Principii di statistica, p. 94, note. Voyez aussi Virgilh. Statistica, p. 82. Hœpli, Milan, 1911.

En faisant la somme des écarts, nous avons :

^1 + x2 + x3 + +■ xù = at + a2 -f a3 + . . . . + an — n. M

ou, en substituant à M sa valeur :

«i + #2 + #3 + • • • + xn = a.i -f- a2 + a3 -f . . . + a» —

= «1 + «2 + «3 + + tf„ — («! + «2 + «3 + • • • • + «n.)

D 'où il suit évidemment que :

+ ^2 + *3 + + Xn = 0

Appliquons cette règle à notre exemple 3 (Cfr. n° 225) (nombre des mariages en Angleterre et dans le pays de Galles, de 1891 à 1900).

Exemple 14. M == 239,410.3

Années

Mariages

Ecarts

= Xq

247. La deuxième propriété de la moyenne arithmétique peut s'exprimer ainsi : la somme des carrés des écarts à la moyenne est un minimum par rapport aux carrés des écarts qui seraient calculés sur un terme de la série différent de la moyenne, ou sur un autre nombre quelconque.

Cette proposition peut être démontrée à l'aide de l'algèbre élémentaire (1). A la notation employée ci-dessus, ajoutons seulement les symboles y1} y2, y3 pour désigner les

(1) Benini : Principii di statistica, p. 95, note.

MOYENNES, MÉDIANE, DOMINANTE 397

nouveaux écarts, et z la différence entre la moyenne arithmétique et la valeur adoptée pour en tenir lieu.

Supposons qu'au lieu de la moyenne arithmétique 239,410.5 (ex. 7), 'nous utilisons le chiffre 240,000 (A),

dans ce cas, nous aurions :

Exemple 15.

etc., d'où il suit à l'évidence que s est une valeur constante par rapport à la différence entre la moyenne exacte et le terme qui en tient lieu et dont le signe est positif ou négatif selon les cas. On aura donc :

Ui = Xi + z

Ul = *2 + Z

yz = a-3-|-2

Un Xn + *

Elevons au carré les égalités- précédentes et faisons-en la somme :

y =--• x* + 22 -f 2 x{ z Ul = xi + z2 + 2 x2 z vi = xi + z-z + 2 X3 *

S (y*) = S (x*) + nz* + 2 z 2 (*)

Nous avons vu précédemment que 2 (x) = 0. Donc, le produit 2 z 2 (x) est aussi égal à zéro. L'égalité précédente se réduit donc à cette forme :

En élevant x au carré (x2), nous avons rendu positifs les écarts qui, précédemment, étaient négatifs. L'expression 2 (y2) = 2 (om) + n s2 signifie donc que la somme des carrés des écarts de chaque terme calculés sur un nombre différent de la moyenne arithmétique est toujours plus grande que celle qui résulte de la comparaison avec la moyenne arithmétique : celle-ci réalise donc seule la condition du minimum (1).

248. On a aussi donné une autre démonstration simple de cette propriété. Nous la reproduisons à cause surtout de sa brièveté et de sa clarté. Appelons y les déviations mesurées d'après une autre valeur quelconque que la moyenne; donnons la dénomination de d à la différence entre cette valeur et la moyenne, désignée par x. Alors, pour chaque terme de la série (x) (2), nous avons:

y = x — d ; y2 = x2 -f- 2 xd -f- d2.

En portant les écarts au carré :

S (y2) = 2 (x2) — 2 2 xd -f 2 d* = 2 (x2) + nd\

Or 2 xd = 0 puisque l'on a démontré que les écarts positifs et négatifs s'annihilent; donc 2 y2 est le plus petit quand nd2 = 0, c'est-à-dire quand d = 0.

249. L'exemple 14, d'après ce qui précède, donnerait les résultats suivants :

(1) La même démonstration se fait en utilisant le calcul différentiel. On en trouvera un exemple dans Gabaglio, Teoria délia statistica, t. IL pp. 119-120.

(2) Hooker, « An Elementary explanation of corrélation ». (Quarterly Journal of the Meteorological Society of London, 1908, p. 281.)

MOYENNES, MÉDIANE, DOMINANTE

Exemple 16,

Mariages

Ecarts

226,526 asi - 12,884.3 227,135 Xi — 12,275.5 218,689 xz — 20,721.5 226,4 19 £»4 — 12,961.5 228,204 xb — 1 1,206.5 242,764 x6 -f- 3,353.5 249,145 x-t + 9,734.5 255,379 x8 -(- 15,968.5 262,334 x9 + 22,923.5 257,480 û0i0 + 18,069.5 239,410.5 + 70,049 5

La moyenne des carrés = 225,2(55,805.45. Edgeworth a proposé de donner à cette moyenne de carrés le nom de « fluctuation ». Le symbole qui la désigne

250. Une troisième propriété de la moyenne arithmétique peut être formulée en ces termes : Si, pour un groupe de phénomènes, on possède plusieurs séries séparées d'observations, on peut, si le nombre des observations est identique, trouver la moyenne de V ensemble du groupe à l'aide des moyennes des séries particulières ; on peut également calculer la moyenne générale à l'aide des moyennes partielles quand les observations ne sont pas identiques, à la condition d'affecter chaque moyenne d'un poids égal au nombre des gra,ndeurs qui entrent dans sa composition (2).

En effet, on démontre que si Nx est le nombre d'observations de la première série, N2 celui de la seconde série, M]

(1) Maech (L.), « Essai sur un mode d'exposer les principaux éléments de la théorie statistique ». {Journal de la Société de Statistique de l'avis, 1910, p. 450.)

(2) Yule (U. G ), An introduction to the theory of statislics, p. 115.

est(l) :

S (xi — w)2

la moyenne dans le premier cas, M2 la moyenne dans le second, on a (1) :

N.M = Ni . Mi + N2 . M2 (26) Soit l'application suivante :

lre série 2e série