SM = 862 199 M

223 4 -iU'° 233 4

Moyennes des deux séries

ou M= 'V =818,78 .

251. La moyenne de carrés désignée plus haut (Cfr. n° 249) parle symbole fr présente elle-même d'intéressantes particularités, nous retracerons deux d'entre elles d'une façon sommaire (2).

A. « La moyenne des carrés de grandeurs associées est égale à la fluctuation de ces grandeurs augmentée du carré de leur moyenne. » (Mardi.)

Soient les nombres 32, 36, 40, 44 (ax, a? az, a4).

M = 38 v (a, + a2 + rt3 + Ci)2

Donc . s (aj + a2 + o3 + «4)2 = M2 , , = {i n r

B. a La fluctuation est égale au carré moyen des écarts,

par rapport à- une base quelconque, diminuée du carré de

l'intervalle entre cette base et la moyenne. » (March.)

(1) Yule, op. cit., p. 115.

(2) Elles ont été démontrées avec une grande précision par L. March, dans son « Essai sur un mode d'exposer, etc. ». (Journ. Soc. Stat., Paris, 1910, p. 451 et suivantes.)

MOYENNES, MÉDIANE, DOMINANTE 401

Soient les nombres comme ci-dessus et la valeur arbitraire 45 (A). Nous savons que M = 38 et = 20. Appelons les écarts des nombres par rapport à 45.

w (M —A)2 = 69 — 49 = 20, valeur de la fluctuation.

252. Moyenne géométrique. — Cette moyenne présente deux propriétés particulièrement intéressantes.

En premier lieu, on remarque que le carré de la moyenne géométrique coïncide avec la moyenne géométrique des carrés des termes. Cette loi est susceptible d'une généralisation importante, car la relation exprimée plus haut est exacte aussi à l'égard des expressions d'une puissance plus élevée.

. Cette propriété se démontre par la simple lecture des termes. En effet :

soient ax, a2 les termes de la moyenne, on a :

[[/ai ■ a2) = ■ «22 et, à un degré plus élevé :

(|/ai • ctj == [/'a* - a* ou enfin quel que soit le nombre des termes :

Faisons application de cette propriété aux nombres 24 et 33 (Cfr. n° 237).

Le carré de ce nombre (28.1424946) = 791.996.

Les carrés des termes sont : 576 et 1089.

La moyenne géométrique de ces nombres est : 792 alors que le carré de la moyenne géométrique est, comme nous venons de le voir, 791.996, c'est-à-dire 792 à quatre millièmes près.

253. La seconde propriété de la moyenne géométrique est la suivante : La réciproque de la moyenne géométrique coïncide avec la moyenne géométrique des réciproques.

La réciproque de la moyenne géométrique

s'écrit :

et la réciproque des termes :

— et —

D'où l'on a la moyenne géométrique des réciproques :

De là, se tire l'égalité :

254. Enfin, le logarithme de la moyenne géométrique est égal à la moyenne arithmétique des logarithmes des termes, car nous avons évidemment :

log. qt + log. «2 + log- fl3 • • • • 4- I°g- an Qu n

log. G=iS(log. an) (14)

Les propriétés susdites de la moyenne géométrique ne sont pas applicables à la moyenne arithmétique, sauf le cas où il y a égalité entre les termes.

MOYENNES, MÉDIANE, DOMINANTE

255. Nous avons déjà fait observer (Cfr. n° 243) que des trois moyennes classiques (arithmétique, géométrique, harmonique) la plus forte est la moyenne arithmétique, la plus faible la moyenne harmonique et que la moyenne géométrique se place entre les deux. Les statisticiens italiens, particulièrement Messedaglia (1) et Gabaglio (2) se sont attachés à faire ressortir les relations qui existent entre les différentes moyennes; nous empruntons à ce dernier auteur les considérations ci-après (3), en les faisant suivre d'un exemple.

Soient les trois nombres 4, 5, 6.

1° La moyenne arithmétique est la moyenne arithmétique entre la moyenne harmonique (valeur la plus basse) et la moyenne contre-harmonique (valeur la plus élevée).

Calculée sur les nombres ci-dessus :

= 4.999 ou 5, valeur de M.

2° On tire de là que le total de la moyenne harmonique et de la moyenne contre-harmonique est égal à deux fois la moyenne arithmétique.

Donc, étant donné deux quelconques des trois moyennes, on peut en déduire la troisième (4).

(1) Messedaglia, « Calcul des valeurs moyennes ». (Annales de démographie internationale, t. IV, 1880, p. 387 et suivantes.)

(2) Gabagt.io (A.), Tcoria générale délia statistica. Milano, 1888, t. II, pp. 200-211.

(3) Pour la démonstration mathématique, voir Gabaglio, loc. cit., pp. 200-211.

(4) Messedaglia, « Calcul des valeurs moyennes », loc. cit., p. 394.

3° La moyenne géométrique est la moyenne géométrique entre la moyenne harmonique et la moyenne arithmétique; chacune de ces deux dernières -est une troisième proportionnelle de même nature, entre l'autre et la géométrique.

Donc :

4° Par conséquent, en . multipliant la moyenne arithmétique par la moyenne harmonique, on obtient le carré de la moyenne géométrique.

5° La moyenne arithmétique des réciproques est la réciproque de la moyenne harmonique (1).

i mm o,2o85

6° La réciproque de la moyenne harmonique est la moyenne arithmétique des réciproques.

Cette proposition découle de la précédente.

7° La moyenne harmonique est la réciproque de la moyenne arithmétique des réciproques.

La valeur des réciproques de 4, 5, 6 est :

(1) Messadaglia, op. cit. (loc. cit.), p. 391.

MOYENNES, MÉDIANE, DOMINANTE

D'où la moyenne M s== 0,205555.

H 4.86o, et — ^ = 0.2035 4.805

8° Enfin, il est clair que si l'on divise la moyenne contreharmonique par l'harmonique et si l'on multiplie le quo tient par la moyenne harmonique, on obtient comme produit la moyenne contre-harmonique.