VI. — La médiane

256. Quand on range une série de variables d'après leur grandeur, la variable qui occupe la position centrale porte le nom de médiane. C'est donc, comme dit M. Bowley, « la grandeur qui appartient à la variable qui se trouve à michemin de la série (1) » ou, comme dit Fechner, « la grandeur au-dessus de laquelle et au-dessous de laquelle il y a un même nombre de termes, en sorte qu'elle divise la série par le milieu (2) ». Notre définition est à peu près d'accord avec celle de M. Yule (3) qui nous semble la plus claire. Avec le même auteur, nous ajouterons que, dans une construction graphique reproduisant la courbe des fréquences (voir ci-dessus ce qui est dit de la distribution des fréquences, chapitre premier, III), la médiane coupe le graphique par une verticale de façon à diviser l'aire de la courbe en deux parties égales.

Pour déterminer l'emplacement de la médiane, il faut procéder comme suit :

Si le nombre de variables comprises dans la série est un nombre impair, il suffit de laisser tomber à droite et à

(1) Eléments of statistics, 2e édition, p. 124.

(2) Kollektivniasslchre, p. 13.

(3) An introduction to Ihc thcorij of statistics, p. ll(i.

gauche un nombre égal de variables et d'attribuer la valeur médiane à la grandeur, représentée par une seule variable, placée entre les deux groupes ainsi constitués; un nombre impair de termes, ainsi divisé en deux parties, peut s'écrire 2 n — 1, et le (n — 1)" terme dans l'ordre des grandeurs est la seule variable dont la grandeur répondra à la définition de la médiane.

Si le nombre de variables est pair, la médiane tombe entre les deux groupements égaux qui partagent la série. Lorsque les deux grandeur» voisines sont les mêmes, ce qui peut se présenter fréquemment, car dans une série de variables classées d'après leur grandeur on observe souvent des répétitions, il n'y a point de difficulté; mais si les deux grandeurs voisines sont différentes, on en fait la moyenne et c'est à cette grandeur moyenne que se place la médiane.

Au lieu de calculer la moyenne des grandeurs-limites des deux parties qui composent la série entière, on peut aussi recourir à un procédé simple d'interpolation. Le recours à ce procédé de calcul est inutile lorsqu'il s'agit de variables rangées l'une après l'autre d'après l'ordre de leur grandeur, comme dans l'exemple donné au numéro suivant (longueur de 94 amandes classées, une à une, dans un ordre croissant). Mais les exemples d'un autre ordre sont plus fréquents en statistique. D'habitude, les statistiques rangent les fréquences dans des classes d'un certain intervalle, comme des classes de salaires, par exemple (salaires de 2 francs à fr. 2.49, de fr. 2.50 à fr. 2.99, etc.). Si le statisticien pouvait utiliser le matériel original, il lui suffirait de compter, à l'intérieur de la classe où se trouve la médiane, un nombre d'unités suffisant pour atteindre exactement la moitié du nombre total formant la série et le salaire médian. Malheureusement il n'en est pas ainsi dans le cas le plus ordinaire et il faut se résoudre à interpoler. L'interpolation à laquelle on a recours est basée sur l 'hypothèse que la distribution des fréquences à l'intérieur de

MOYENNES, MÉDIANE, DOMINANTE

la classe est uniforme, mais ceci n'est qu'une hypothèse qui n'échappe pas toujours à de& objections fondées : La distribution des fréquences dans des classes assez étendues n'est certainement pas uniforme, ainsi qu'on peut le vérifier dans la statistique des salaires selon que les classes de salaires sont formées de divisions par vingtcinq ou par cinquante centimes.

257. Pour exposer clairement le procédé d'interpolation auquel il vient d'être fait allusion, il y a lieu de recourir à un exemple.

Exemple 17.

Salaires de 71,955 ouvriers mâles adultes travaillant au fond, en mai 1900, dans 65 charbonnages situés en Belgique.

Taux des salaires

Nombre d'hommes adultes

du fond ayant touché les salaires

ci-contre

Taux des salaires

NOMBRK

d'hommes adultes

du fond ayant touché les salaires ci-contre

Moins de

de 9

de 1.50 à

Le nombre total des ouvriers dont les salaires ont été recueillis est de 71,955. Le nombre médian est 35,977. En additionnant les fréquences inscrites dans les huit premières classes, on arrive à un- total de 34,978 ouvriers ; la classe suivante est celle des salaires de 5 francs à fr. 5.49 et c'est dans cette classe que se trouve la médiane. Seulement, nous ignorons quel est le vrai chiffre du salaire médian; tout ce que nous pouvons dire, c'est qu'il est compris entre ces limites : 5 francs à fr. 5.49. Pour obtenir une approximation plus approchée, on procède de la sorte : la classe composée de 7,716 ouvriers étant trop vaste et dépassant la médiane il y a lieu de prendre de cette classe seulement le nombre d'ouvriers nécessaire pour atteindre le chiffre de 35,977, soit 999 ouvriers. D'autre part, il y a lieu de préciser l'intervalle de la classe et de prendre la valeur la plus élevée de la classe à laquelle on doit ajouter quelque chose.

On a donc :