DEUXIÈME SÉRIE

MOYENNES, MÉDIANE, DOMINANTE

idéalement symétrique, la moyenne, la médiane et le mode se fixent au même point; l'écart même de ces différentes mesures peut être pris comme un indice de la symétrie de la courbe elle-même. Ainsi, les deux séries particulières étant dans notre exemple à peu près symétriques, la mesure des deux médianes obtenues (3,25 et 3,28) donne une mesure type très rapprochée (3,265) de la médiane générale (3,250), mais qui ne se confond pa& avec celle-ci.

263. La médiane ne peut être déterminée dans toute série quelconque, mais seulement dans celles qui groupent des données individuelles entre un certain nombre de classes, par exemple les salaires gagnés par les ouvriers d'une certaine profession, la stature des hommes d'un régiment, etc. La condition essentielle pour que la médiane puisse être calculée, est que les unités dp la série soient rangées les unes à la suite des autres d'après leurs dimensions.

Lorsque la série est composée de nombres proportionnels ou de moyennes, l'usage de la médiane est interdit, parce que les poids correspondant à chaque donnée ne sont pas égaux entre eux. Les coefficients de mortalité calculés pour une série de groupes professionnels, peuvent, il est vrai, être rangés selon leur ordre d'importance, mais nous ne pouvons, sous cette forme, en déterminer le centre. <( Le centre actuel de la série, dit Zizek, est situé plus haut ou plus bas que la donnée centrale, selon que les données inférieures ou supérieures concernent des quantités plus considérables et sont par conséquent de poids plu& grand (1). » Cette observation ne vise, bien entendu, que des nombres proportionnels pris sur des données différentes ou qui se rapportent à plusieurs époques; elle ne s'applique pas aux nombres proportionnels calculés sur un ensemble de données homogènes : dans ce cas, les chiffres propor-

(1) Zizek, Statistical avcrages, p. 204.

tionnels conservent la même portée que les nombres absolus et peuvent être utilisés au même titre que ceux-ci.

En effet, en utilisant les pourcentages, au lieu des nombres absolus, dans l'exemple que nous avons reproduit plus haut (salaires de 71,955 ouvriers mineurs Cfr. n° 257) on obtient, à la classe de salaires fr. 4.50 à 4.99, une proportion totale de 48.61 p. c. d'ouvriers; il faut donc ajouter à cette proportion, 1.-38 p. c. d'ouvriers appartenant à la classe suivante pour arriver aux 50 p. c. où se place la médiane ;

or : 4.99 + 1.38 % = 4.99 + 0.06 =-■ 5 fr. 05 c,

résultat auquel on était déjà arrivé en utilisant les nombres absolus. (Cfr. n° 257.)

264. On peut résumer comme suit les avantages et les inconvénients des médianes. Au nombre des avantages de la médiane, on peut signaler :

1° La manière exacte dont on peut la localiser;

2° La facilité et la rapidité des calculs à l'aide desquels on la détermine, avantages qu'elle partage avec la moyenne arithmétique, en ce qui concerne la facilité et où elle se montre supérieure à la moyenne si l'on envisage la rapidité ;

3° Mais ce qui rend la médiane précieuse, c'est surtout ce fait qu'il n'est pas nécessaire de connaître la valeur des termes extrêmes si l'on connaît leur nombre et si l'on sait que leur valeur ne dépasse pas une certaine limite. Or, ces conditions se présentent très fréquemment en statistique. Dans les statistiques de salaires, on ne donne généralement pas de détails sur les salaires inférieurs à une certaine somme, on se borne à indiquer le nombre d'ouvriers gagnant un salaire inférieur à tel chiffre (1) ; de même, on

(1) Les statisticiens devraient prendre pour règle de toujours donner les extrêmes et d'adopter un mode d'énumération complète. L'inconvénient qu'on fait valoir pour s'écarter de cette règle est le trop grand nombre de colonnes.

MOYENNES, MEDIANK, DOMINANTE

n'énumère pas, en général, tous les salaires, jusqu'au plus élevé, mais on donne le nombre global d'ouvriers recevant un salaire supérieur à tel chiffre. Or la médiane s'accommode de ces renseignements sommaires, tandis que la moyenne ne s'y prête pas. Le calcul de la moyenne sur ces bases rencontre des difficultés parce que l'une des classes, la dernière, est illimitée, de sorte qu'on ne peut simplement avoir recours à l'hypothèse d'après laquelle les salaires se répartiraient, par groupes égaux, entre les limites de la classe (1).

Il n'y a pas que les statistiques publiées dans ces conditions qui se prêtent à l'emploi de la médiane tandis qu'elles se refusent à celui de la moyenne; il y a encore à signaler la facilité que la médiane apporte à l'exécution de certaines enquêtes : dans une statistique des revenus, par exemple, ce sont les classes extrêmes qui sont surtout difficiles à déterminer : les très petits revenus, à cause de leur nombre, de leur variété et de leur incertitude ; les très gros, à cause de la résistance que l'enquête rencontrera. Le revenu moyen ne pourrait être fixé avant d'avoir surmonté toutes ces difficultés ; pour le revenu médian, il suffirait de connaître le nombre de revenus au-dessous et au-dessus d'un certain chiffre, ce qui peut être obtenu sans difficulté (nombre de revenus inférieurs à 1,000 francs, nombre de revenus supérieurs à 500,000 francs) ;

4° La moyenne se trouverait fortement influencée par la . présence ou l'adjonction d'un terme très différent de ceux de la série; la médiane ne marquerait, dans ce cas, qu'une j sensibilité fort relative. Supposons une série de 49 revenus |

L'Office du Travail de Belgique a trouvé une solution à cette difficulté en publiant en note les salaires extrêmes qui se trouvaient totalisés dans la première et la dernière colonne.

(1) Pourtant, en admettant que la série suive la courbe de la loi asymétrique de GADSSj on peut déterminer la moyenne d'une série dont les extrémités sont illimitées. Mais, par la simplicité et la rapidité de la détermination du point caractéristique, l'emploi de la médiane est à préférer à tout autre.

montant ensemble à 490,000 francs; on a la moyenne

490,000 ,n'nnn's v , .

— ^ — = 10,000 irancs ; a ces revenus s ajoute celui d un

millionnaire possédant 500,000 francs de revenu; on a la

490,000 + 500,000 nouvelle moyenne — = 19,800 francs. Au

contraire, la médiane ne serait modifiée que de peu; avec 49 revenus, elle se fixerait à la classe correspondant au 25e revenu; l'adjonction du revenu du millionnaire obligerait seulement le statisticien à adopter, pour la médiane, la moyenne entre le 25e et le 26e revenu, soit une différence à peu près insignifiante avec le chiffre obtenu d'abord. Pour l'appréciation du revenu d'une collectivité, la médiane serait donc beaucoup plus exacte que la moyenne, car il importe peu à 49 possesseurs d'un revenu médiocre qu'à leur nombre vienne s'ajouter un seul millionnaire.

265. Parmi les inconvénients de la médiane, on peut signaler :

1° En multipliant la médiane par le nombre de termes, on ne reconstitue pas le total de la série et, par conséquent, l'addition de deux médianes relatives à deux séries particulières ne donne pas le même résultat que la recherche de la médiane opérée sur une série unique formée des mêmes unités, — théorème que nous avons démontré plus haut. (Cfr. n° 250.) ;

2° La médiane ne tient presque pas compte des variations extrêmes, de sorte que son emploi est limité aux cas où ces variations peuvent être négligées sans inconvénient. On préférera la médiane pour l'estimation du revenu d'une collectivité : on aura plutôt recours à la moyenne s'il s'agit d 'établir un prix de revient ;

3° Elle n'est pas applicable à toutes les séries, notamment à celles qui se composent de nombres proportionnels calculés sur des masses différentes, ou aux séries chronologiques, ou aux séries composées de moyennes;

MOYENNES, MÉDIANE, DOMINANTE

4" On ne peut non plus rechercher la médiane qu'à la condition que les termes de la série puissent être rangés dans l'ordre de leur grandeur. Au contraire, l'ordre dans lequel sont placés les termes servant au calcul de la moyenne et les changements qui peuvent s'opérer dans cet ordre, n'ont aucune influence sur la moyenne.

Cependant, dans l'ensemble, la somme des avantages l'emporte sur celle des inconvénients et ceci est particulièrement exact en ce qui concerne l'étude de la répartition des revenus et des salaires.