VII. — La dominante (mode
266. Le professeur Pearson a proposé, en 1895, de donner le nom de « mode » à la valeur d'une série désignée par l'abscisse correspondant à l'ordonnée de fréquence maximum (1). Cette valeur a d'abord été désignée par des auteurs français sous le nom de « valeur normale » ou simplement (( normale », puis plu& tard, par l'expression « la dominante » ; Jes Italiens lui donnent le nom de (( norma », les Allemands celui de « dichtestes Wert » (2). Il peut paraître avantageux de conserver le nom que lui a donné le professeur Pearson, afin de maintenir l'unité de terminologie, et pour le motif que le terme « mode » est employé par les statisticiens-mathématiciens de l'école anglaise dont les travaux doivent être constamment consultés et suivis dans la matière qui nous occupe. Mais, en français, l'expression « mode » n'a aucun sens qui se rapproche de celui que nous envisageons ici, et, sur la suggestion de M. Lucien March, nous avons décidé d'adopter l'expression « la dominante ».
Avant tout, il s'agit de définir la dominante d'une façon
(1) Peauson (K.), Skew Variation, etc., loc. cit., p. 345, note.
(2) Zizek (F.), Statistical averages, p. 322.
un peu plus détaillée, de reconnaître exactement sa valeur, de se faire une idée des avantages qu'elle réunit.
La dominante est, de toutes les valeurs composant une série, celle qui se présente avec la fréquence la plus^élevée et autour de laquelle les autres valeurs se groupent avec la densité la plus forte. Autrement dit, la dominante correspond à la classe la plus élevée de la série et les classes qui l'avoisinent à gauche et à droite ont une fréquence moins élevée qu'elle. Il suit de là que, dans une série régulière, reproduisant d'une manière plus ou moins parfaite la courbe normale des erreurs, la dominante se trouve au centre et le point auquel elle se fixe correspond à celui où se placent la moyenne et la médiane. Dans une courbe idéale, les trois points se confondraient en un seul, mais comme nous l'avons dit plus haut, il n'y a presque aucun phénomène physique ou économique dont la courbe reproduise exactement celle des erreurs et même ceux qui s'en rapprochent d'une façon sensible sont relativement rares ; il en est, au contraire, un grand nombre qui semblent obéir à une loi de distribution asymétrique rappelant, de plus ou moins loin, la courbe normale. Aussi n'est-il pas rare de constater dans une série la présence d'un grand nombre de sommets, alors que la courbe normale ou modérément asymétrique n'en contiendrait qu'un seul. Il a donc été nécessaire de trouver des méthodes qui permissent d'absorber les différents sommets en une série plus régulière, qui n'en contient qu'un seul; ces procédés seront exposés plus loin.
267. Tandis que la moyenne est une abstraction mathématique, la dominante correspond à l'idée générale que se font la majorité des gens lorsqu'on demande de définir une situation usuelle ou normale. Si l'on interroge un chef d'entreprise ou un dirigeant de syndicat au sujet du salaire moyen que gagne dans ses ateliers ou dans la profession représentée par le syndicat, un ouvrier mâle adulte,
MOYENNES, MÉDIANE, DOMINANTE
ni l'un ni l'autre ne songera à procéder à un calcul lent et minutieux; si nous analysons leur travail mental, nous verrons que pour trouver la réponse à notre question, ils commenceront par ne pas tenir compte des jeunes ouvriers qui n'ont pas encore atteint le complet développement de leurs capacités physiques et techniques, et ils élimineront de même les vieux ouvriers qui ne jouissent plus de leur puissance de travail intégrale ; ils ne songeront pas davantage aux salaires exceptionnellement élevés que gagnent quelques spécialistes ou des ouvriers d'une habileté exceptionnelle. Ils auront en vue le plus grand nombre des ouvriers qui répondent au type professionnel dans l'industrie en question et ils répondront : « en moyenne, l'ouvrier de telle industrie gagne x francs ». Le chiffre cité ne coïncidera probablement pas avec la moyenne, parce que celle-ci tient compte de tous les salaires, des plus faibles comme des plus élevés, mais le chiffre donné a des chances d'être assez près de la dominante, c'est-à-dire de la valeur de plus grande densité.
Il est permis de dire que la dominante se rapproche plus de la conception vulgaire de la « moyenne » que la moyenne arithmétique elle-même. Si nous considérons avec attention les procédés arithmétiques étudiés au cours de ce chapitre, nous voyons que leur utilité principale est de nous fournir la mesure typique d'un ensemble complexe de faits que nous voudrions évaluer au moyen d'une expression simple. Or, dans un grand nombre de cas, nous aurions avantage à connaître ce qui se présente le plus souvent, la mesure de plus grande densité, plutôt que le résultat d'un calcul qui n'est qu'une simple conception arithmétique. Dans un magasin de confections, le marchand se basera plutôt sur les mesures les plus fréquentes parmi les personnes qui composent sa clientèle que sur la moyenne proprement dite; le quod pleruwque fit est pour lui une règle plus sûre que la moyenne, et ses prévisions se rapporteront à « la dominante » de préférence à toute autre conception synthétique.
268. Quant aux avantages que présente la dominante, on peut, avec MM. King et Bowley (1) les résumer comme suit :
1" La dominante est un procédé utile à employer chaque fois qu'il est désirable de ne pas tenir compte des variations exceptionnelles. — Parmi les ouvriers d'un atelier, en général, d'une capacité inférieure et ne gagnant qu'un salaire médiocre, il s 'en rencontre par hasard quelques-uns d'une grande activité qui gagnent, en travaillant aux pièces, beaucoup plus que leurs camarades. Si l 'on calcule le salaire moyen des ouvriers de cet atelier, on devra tenir compte des salaires exceptionnels de ces ouvriers d'élite et la moyenne en sera augmentée d'autant. Au contraire dans le calcul de la dominante, on cherchera à déterminer dans quel groupe de salaires on trouve le plus grand nombre de travailleurs, résultat sur lequel la présence de quelques ouvriers plus favorisés ne peut exercer d'influence.
Si l'on voulait comparer les salaires dans une même industrie, à deux époques différentes, peut-être serait-il préférable de choisir la dominante plutôt que la moyenne, car ce dernier résultat serait influencé par la présence de taux extrêmes, très bas ou fort élevés, qui peuvent exister ou disparaître sans modifier d'une manière sensible la condition économique de la masse des ouvriers. Le choix de la dominante répond donc à une objection faite fréquemment à l'emploi de la moyenne en ce qui concerne les salaires (2).
(1) King (W.), Eléments of statistical method, New York, 1912, p. 125. — Bowley (A. L.), Eléments of statistics, p. 123.
(2) M. Bowley propose (loc. cit.. p. 123) un exemple emprunté aux collectes qui se font dans les églises pour les besoins du culte et que nous nous permettons de développer quelque peu. Un curé de village, désireux de se rendre compte du produit des collectes faites aux différents offices du dimanche, ferait mieux de se baser sur la dominante que sur la moyenne; aux messes matinales, il constatera par exemple que l'offrande des fidèles est, le plus souvent, de la plus petite pièce de monnaie, tandis qu'aux messes qui se célèbrent plus tard et sont surtout fréquentées par des personnes aisées de la paroisse, les décimes sont en majorité. Supposons que parmi les hôtes occasionnels de ce village, se trouve un châtelain qui verse cinq ou
MOYENNES, MÉDIANE, DOMINANTE
2° Pour déterminer la dominante d'une manière approchée, il n'est pas nécessaire d'avoir des données précises concernant les termes extrêmes de la série ; il suffit de savoir qu'ils sont peu nombreux; — bien entendu, il faut qu'il s'agisse des termes extrêmes de la série — ; on peut se contenter d'une approximation, ou d'un degré de précision qui permette de déterminer le maximum atteint par la fréquence. Par contre la dominante ne peut être connue d'une façon exacte que si tous les termes sont connus.
Dans une série de salaires, si nous ne voulons pas atteindre un haut degré d'exactitude, il ne faut pa& connaître nécessairement le nombre d'ouvriers qui gagnent les salaires, rangés par classe, en dessous d'un certain taux, quand ce nombre est peu important, ni le nombre de ceux, dénombrés par classes, qui gagnent un salaire supérieur à un certain taux-limite. Puisque nous admettons a priori que leur nombre est peu important, il est impossible que la dominante change de place. Au contraire, pour déterminer le chiffre de la moyenne, la dernière précision est nécessaire. Cette facilité qu'offre le mode est précieuse, parce que les séries statistiques reproduites dans les publications officielles ne donnent que rarement les données précises jusqu'à la dernière classe mais elle est moins étendue qu'en ce qui concerne la médiane :
3° Enfin, la dominante donne une valeur réelle, la valeur la plus fréquente de la série, de façon qu'elle répond bien à ce que veut exprimer la notion vulgaire de moyenne. — Au
dix francs à la collecte de la grand'messe : la dominante ne sera pas changée, mais bien la moyenne; et si, par hasard, un jour de chasse, le châtelain assiste à la première messe et donne son offrande habituelle, la moyenne de la collecte sera changée encore plus, tandis que la dominante ne sera pas modifiée. Or, c'est sur une situation habituelle que le curé doit tabler pour le budget de son église et il fera bien de ne pas utiliser dans ce but la moyenne influencée par la générosité d'un hôte de passage; la dominante, c'est-à-dire le nombre habituel de paroissiens qui versent à la collecte 2, 5, 10 ou 50 centimes, lui fournira une base d'appréciation sensiblement plus juste.
contraire, la moyenne mathématique répond à une conception idéale, qui ne trouve peut-être aucune réalisation en pratique. Il se peut très bien que la moyenne du salaire d'un ouvrier, ou des appointements d'un employé ne corresponde au salaire effectif d'aucun ouvrier ou d'aucun employé compris dans la série, ce qui est assez déroutant pour qui ne se rend pas exactement compte de la notion ■de « moyenne ».
269. Il existe plusieurs procédés pour déterminer la position de la dominante.
Le calcul peut atteindre la grande précision si, connaissant tous les termes, on utilise les courbes de Pearson.
Mais, en général, on s'en tient à des procédés approximatifs. Nous résumerons en premier lieu les deux méthodes de M. Bowley, puis la formule de M. Pearson; quant aux procédés graphiques, nous en dirons un mot au chapitre consacré à la statistique graphique à l'endroit où nous parlerons des moyens de trouver la médiane.
Pour trouver la dominante (mode), on peut, d'après M. Bowley, procéder comme suit : on commence par ranger les classes dans un ordre régulier allant du minimum au maximum, en ayant soin d'observer que les classes aient la même grandeur : le contraire arrive fréquemment quand on utilise un matériel publié par un bureau de statistique.
En regard de chaque classe, on note les fréquences correspondantes et on examine la série ainsi formée. Si l'on a affaire avec une série régulière, obéissant à la loi normale des erreurs, il n'y aura guère de difficulté et la dominante se découvrira d'elle-même. Mais les séries régulières sont rares, comme nous l'avons déjà dit plusieurs fois et, dans la réalité, ce sont les séries asymétriques qui l'emportent : celles-ci ont plusieurs sommets et le tracé graphique qu'on en fait ressemble assez bien à une chaîne do montagnes, dont les pics, plus ou moins groupés autour
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d'un massif central, sont séparés par de profondes vallées. Les séries irrégulières, peut-on dire encore, sont en dent» de scie.
270. M. Bowley, dans l'exemple qui lui sert d'illustration, trouve 14 maxima dans la série ; dans le cas que nous citons ci-après, on peut compter 15 sommets différents, dont le plus élevé correspond au chiffre 1209.
Exemple 21.
Salaires de 10,455 ouvriers mâles de plus de 16 ans, en octobre 1903, dans l'industrie de la construction de machines motrices, machines outils, et appareils industriels, en Belgique fl).
CLASSE
DES
SALAIRES
d'ouvriers dans la classe ci-contre
CLASSE
DES
SALAIRES
Nombre d'ouvriers
dans la classe ci contre
CLASSE
DES
SALAIRES
Nombre d'ouvriers dans la classe
ci -contre
Pi-, 0.25 à
Fr
