Chapitre VI

Théorie de l'écoulement des fluides.

60. Formule générale pour l'écoulement d'un fluide quelconque. — Les principes de la Thermodynamique que nous venons d'exposer s'appliquent à plusieurs questions qui ne pouvaient auparavant être traitées que d'une manière imj)arfaite et assez peu rationnelle; parmi ces questions nous allons nous occuper plus spécialement de celles qui se rapportent a l'écoulement des fluides, au mouvement des projectiles dans les armes à feu, et aux effets des moteurs thermiques.

Il y a longtemps que la formule relative à l'écoulement des gaz a été donnée. On la trouve déjà dans un Mémoire présenté en 1856 par MM. Joule et Thomson à la Société Royale de Londres. ^) Mais c'est à M. le Dr. Grustave Zeuner-) que revient le mérite d'avoir appliqué le premier la

1) V. Phil. Mag., V. XIII, 4" série, p; 286.

2) Zeuner (Gustave Autoiue), né en 1828 à Chemnitz (Saxe), Professeur à Zm-ich.

Thermodynamique à l'écoulement des vapeurs et des liquides à une température élevée,

Soit un réservoir, contenant un fluide, liquide ou aériforme, sous une pression constante qui sera réglée, si l'on veut, par une colonne liquide d'une hauteur constante. Le fluide s'écoule par un orifice dans un milieu extérieur où la pression également invariable est égale a p. Il s'agit de trouver la vitesse d'écoulement du fluide au point de la veine où la pression est p, quand le mouvement est devenu permanent, c'est-à-dire, quand le mouvement du fluide est tel que, pom- chaque point de l'espace dans lequel le fluide se meut, les volumes spécifiques, les pressions et les vitesses ne varient pas d'un instant à l'autre.

Considérons la tranche infiniment mince de fluide qui traverse l'orifice pendant un temps infiniment petit et remontons, par la pensée, à toutes les positions successives que ce poids jt de fluide a occupées antérieurement, nous verrons que ces positions ne se pénètrent pas, mais qu'elles sont contiguës les unes aux autres; nous verrons, de plus, que l'ensemble de ces positions successives de la quantité inflniment petite du fluide que nous considérons, forme une masse fluide totale complètement identique avec le fluide qui existe, à un instant donné, dans la portion du réservoir à laquelle correspondent ces diverses positions successives. Le

1) Das LocomoHvenhîasrolir, Zurich, 1863.

fluide renfermé dans le réservoir se trouve, par là, divisé en une infinité de parties infiniment petites, de même poids, dont chacune vient prendre la place de celle qui est immédiatement à côté d'elle, pendant un temps infiniment court.

Or, si nous considérons une de ces portions infiniment petites du fluide, située assez loin de l'orifice pour que, dans tous ses points, elle soit soumise à, la pression po, et la portion infiniment petite du fluide qui traverse l'orifice, on pourra leur appliquer la formule (I) générale de la Thermodynamique, et écrire

où jr désigne le poids de la tranche infiniment mince qui se transporte du réservoir au dehors; z/Ç la chaleur que chaque kilogramme du fluide reçoit de l'extérieur, pendant le passage de l'état initial a l'état final; z/î7 la variation correspondante de l'énergie interne; z/TTle travail extériemdéveloppé; AV l'accroissement de la force vive.

Si l'on multiplie cette équation par le nombre des portions dont se compose un kilogramme de fluide, on aura, pour un kilogramme de fluide, passant de la pression ^ la pression l'équation

JAq = AV ^ AW AV.

Le fluide en sortant, sous le volume final doit surmonter^ la pression 'p du milieu ambiant, ce qui donne lieu à un travail égal pv. D'un

autre côté, la colonne liquide qui maintient la pression constante dans le réservoir, pendant l'écoulement, est descendue de manière a envahir l'espace abandonné par le volume Vq du fluide sous la pression po qui s'est écoulé; de là, un travail exprimé par PfiV^. Le travail développé pendant le changement d'état est donc

JW = pV — Pf^Va,

lorsqu'il n'y a point d'autres forces extérieures.

Si l'on désigne par w la vitesse de sortie, la force vive du fluide sorti, dont le poids est égal à 1*, et dont la masse, par conséquent, est exprimée par

sera égale k

g désignant la gravité.

Comme le fluide était primitivement a l'état de repos, on aura

zfV = —

Cela posé, la formule générale précédente deviendra

d'où l'on déduira la vitesse u d'écoulement, dans la section où la pression du fluide sera devenue égale à la pression extérieure p.

Si le fluide, dans son trajet du réservoir à

rorifice, s'élève ou s'abaisse d'une hauteur verticale h assez considérable pour qu'on doive tenir compte de l'action de la gravité, il faudra introduii-e, dans la formule générale, le travail moteur ou résistant dû à cette action pour une unité du poids du fluide, et la formule ainsi complétée devient