g=Po%—pv -\- JJQ — zlU
le signe + ou le signe — devant être pris, suivant que le fluide s'est abaissé ou élevé en passant du réservoir à l'orifice d'écoulement.
Telle est la formule générale qui donne la vitesse de la veine fluide dans la section où la pression est devenue égale à celle du milieu extérieur.
Dans cette formule, la variation z/ U de l'énergie intérieure ne dépend que de l'état initial et de l'état final du fluide, de sorte qu'elle est parfaitement déterminée par les valeurs de p et de t aux limites. Au contraire, la quantité z/Ç de chalemreçue du dehors, pendant le changement d'état, n'est pas déterminée par les deux états extrêmes, et peut varier d'une infinité de manières. Il s'ensuit que la vitesse u d'écoulement ne dépend pas seulement des pressions jpo et p et des températures correspondantes et t, mais encore de la manière suivant laquelle la chaleur est conduite du dehors pendant la transition.
Nous allons examiner séparément trois cas: celui où la chaleur amenée du dehors est nulle; celui où cette chaleur est telle que la températm'e
du fluide, dans le trajet qu'il parcourt jusqu'à l'orifice d'écoulement, reste invariable; enfin celui où la chaleur transmise est telle que le volume du fluide demem-e invariable.
61. Cas où le fluide ne reçoit ni n'émet aucune chaleur. Application aux gaz et aux vapeurs. — Lorsque la chaleur reçue de l'extérieur est nulle, c'est-a-dire lorsqu'on a
l'équation pour- déterminer l'écoulement devient si
La variation zJU de l'énergie interne est, pour im corps quelconque, une fonction des variables et t aux deux limites. Toutes les fois que la nature de cette fonction nous sera connue, comme elle l'est pom* les gaz permanents et les vapeurs saturées, nous pourrons, étant données les pressions initiale et finale et p, et les tempéjutures correspondantes fo, déterminer la vitesse d'écoulement u.
En commençant par les^gaz parfaits, on a pour ces corps (44)
^U= Je {t — Q, c étant la capacité calorifique absolue qui se confond ici avec la chaleur spécifique à volume con- • stant; to et t les températures correspondantes aux pressions po et p.- Par conséquent, on aura
En ayant égard h ce que
PoVo = Bto,
pv = Bt,
B + Jc = Jh,
k étant la chaleur spécifique à pression constante, il vient l'expression
pour déterminer la vitesse d'écoulement.
La température to peut être facilement mesurée dans le réservoir, aussi bien que la pression 2h- Quant à la température t au point où la pression devient égale h p, on ne peut la calculer que si l'on connaît la loi suivant laquelle la pression du fluide varie avec la température à mesm-e que l'on approche de l'orifice.
Lorsque le fluide ne rencontre aucun frottement, aucune résistance passive, dans le trajet du réservoir à l'orifice, il est assez naturel de supposer que la pression varie avec la température de la même manière que lorsque le gaz se dilate, sans addition ni soustraction de chalem*, en surmontant une pression constamment égale à sa force élastique. Dans ce cas, on a (42)
où y désigne le rapport des deux chaleurs spécifi-
ques h, pression constante et à volume constant. De la sorte, on obtient
ou, si l'on veut,
JkL
Mais si le gaz, dans son trajet du réservoir à l'orifice rencontre des frottements, des résistances passives, il y aura production de chaleur par suite de ces résistances. Si les parois du vase sont imperméables à la chaleur, comme on le suppose ici, cette chaleur produite sera prise par le gaz qui s'écoulera à une température plus élevée que si les résistances n'existaient pas.
n importe de remarquer que la formule
= Jk{t, — t),
qui donne la vitesse d'écoulement, subsiste dans tous les cas, quelles que soient la forme de l'orifice ou ajutage, la longueur du tuyau qui le précède et les autres causes qui peuvent occasionner des résistances au mouvement; mais la températm-e finale t dépend de ces circonstances, et n'est plus donnée par la relation
Ces circonstances influeront li la fois sur la vitesse
u et la température t, lesquelles varieront en sens inverse.
On s'explique de cette manière comment agissent sur la dépense les obstacles rencontrés par une veine fluide, dans le trajet du réservoir à l'orifice. Chacune des résistances produit une diminution de la force vive de la veine fluide; mais elle produit en même temps une augmentation de la température, ou, plus généralement, une augmentation de l'énergie intériem'e du fluide.
En définitive toutes ces résistances, telles que frottements des parois du tuyau de conduite, étranglements, renflements, coudes, etc. ne produisent, dans l'écoulement d'un fluide, aucune perte d'énergie, car ce qu'elles font perdre à la force vive, elles le font gagner a l'énergie interne du fluide.
Mais revenons a l'écoulement des gaz parfaits. Quand le rapport
JL Po
diminue, la vitesse to augmente, mais sans pouvoir dépasser la limite
Si l'on désigne par Si l'aire de la section de la veine fluide, au point où la pression est devenue égale h p, le volume du fluide sorti dans l'unité de temps sera exprimé par SitL Le volume du même poids de gaz à la pression et à la température interne du réservoir sera
OU bien
, Siu,
Ainsi le volume du gaz débité dans l'unité de temps à la pression et à la température interne du réservoir, sera exprimé par
Si
Ce volume ne croît pas continuellement à mesm*e que diminue
Po '
mais il atteint un maximum pour la valeur
Po \7 + 1/ qui correspond une vitesse d'écoulement exprimée par
Passons maintenant aux vapeurs saturées. On a pour celles-ci (30)
zïU=J J dit + Jrx — JnXo—p{v — <ji)
En substituant cette valeur dans l'équation générale de Técoulement, on obtient, dans le cas de
te
2^ = J" / Càt + J (roiCo — rx) + 'Po^^—jpG
-fp^dt.
Or nous avons (35), pour un mélange d'eau et de vapeur qui se dilate, sans recevoir ni émettre aucune chaleur, la relation
îs
t , , rcdt
En substituant cette valeur, il vient
Les quantités C, c étant des fonctions de t, cette formule ne contiendra d'autre inconnue que t. La pression du milieu dans lequel s'écoule la vapeur humide étant donnée, la températm'e t de la vapeur saturée sous cette pression pourra être calculée par les formules empiriques connues ou par les tables qu'on possède.
La composition, en vapeur et en eau liquide,
du fluide qui traverse l'orifice d'écoulement, est foui-uie par l'équation
où ^ et r sont connues, quand p est donnée, au moyen des formules empiriques de M. Regnault ou des tables.
Le volume spécifique du mélange d'eau et de vapeur, au moment oii il traverse le plan de l'orifice d'écoulement, est donné par l'expression
Si l'on désigne par i2 l'aire de la section de la veine fluide au point où la pression est devenue égale à le volume du fluide, mélange d'eau liquide et de vapeur, sorti dans l'unité de temps, sera exprimé par Slu et son poids par
Les équations précédentes sont applicables à l'écoulement de la vapeur sortant d'une chaudière remplie seulement en partie d'eau, et dont le reste est occupé par la vapeur maintenue à une pression constante par l'action du foyer. Elles s'appliquent aussi à l'écoulement du liquide par un orifice pratiqué en un point de la paroi de la chaudière situé au-dessous du niveau de l'eau.
J rx
dp ~dt
Dans ce dernier cas, on aura
Xo = 0:
de sorte que la demi -force vive d'un kilogramme du mélange d'eau et de vapeur à l'orifice sera
J-g = J' J^Cdt—Jt J ^ + Po6,,—p6
clt
et la proportion pondérale x de vapeur contenue dans un \\ peur, sera
dans un kilogramme du mélange d'eau et de va^
to
Cdt
Le volume spécifique 6 de l'eau liquide et la quantité C, nommée ordinairement chaleur spécifique de l'eau liquide, varient assez peu, pour les températures qui ont lieu dans les chaudières: on pourra donc les considérer comme des quantités constantes, en leur attribuant des valeurs moyennes entre celles qui conviennent aux températm'es extrêmes to et t. En opérant de la sorte, on obtiendra
Po(îo —13 6 = {Po ^ P),
to
p'^idt = 0,
62. Exemple numérique. Remarque sur les effets produits par un jet de vapeur sortant d'une chaudière à haute pression. — Pour donner une application numérique des formules précédentes, supposons qu'une chaudière remplie en partie d'eau, et dont le reste est occupé par de la vapeur maintenue, par l'action du foyer, à la température constante de IbO^ C, soit mise, au moyen d'un orifice ouvert dans sa paroi, en communication avec l'atmosphère, dont la pression reste constamment égale à celle qui correspond à 100° C. On demande quelle sera la vitesse d'écoulement et la composition, en vapeur et en eau liquide, du jet sortant de la chaudière, au moment où il arrive k la pression extérieure, 1*^ Dans le cas où l'orifice est situé au-dessous du niveau de l'eau; 2" Dans le cas où l'orifice est situé au-dessus du même niveau.
Les données sont ici
De plus, on doit faire
St.-Bobbbt, Thermodynaniiquo. 2. Kd.
iCo = 0,
dans le cas où l'écoulement a lieu par Torifice inférieur; et
dans le cas où Técoulement a lieu par Torifice supérieur.
Au moyen des tables que nous donnons à la fin de l'ouwage, on trouve
J'cdt = 50,de3 , = 0,12788.
Avec ces valeurs, en prenant J= 425*'%
on obtient
1372,6 kilogrammètres pour la demi-force vive avec laquelle s'écoulera 1* d'eau par l'orifice au-dessous du niveau de l'eau; et
26471,1 kilogrammètres
pour la demi-force vive avec laquelle s'écoulera 1* de vapeur par l'orifice au-dessus du niveau de l'eau.
De sorte que la vitesse d'écoulement par un orifice au-dessous du niveau de l'eau sera de
et par un orifice au-dessus du niveau de Teau, de
en supposant g = 9'",80604 (selon Bessel, à 45" de lat.).
On voit que la vitesse du jet sortant de la partie de la chaudière occupée par l'eau n'arrive pas au quart de la vitesse du jet sortant de la partie occupée par la vapeur.
II nous faut trouver maintenant la composition du jet sortant de la chaudière.
Pour le cas de l'orifice au-dessous du niveau de l'eau, on a
c'est-à-dire que le jet sortant de la chaudière, au moment où il arrive à la pression extérieure, est un mélange composé de 0*,089 de vapeur et de 0*,911 d'eau liquide.
Dans le cas de l'orifice au-dessus du niveau de Teau, on a
En substituant les valeurs numériques précédemment déterminées, il vient
Le jet sortant de la chaudière est donc composé de 0*,9125 de vapeur et de 0,0875 d'eau liquide.
C'est un fait connu depuis longtemps qu'on peut mettre sans danger la main dans le jet de vapeur sortant d'une chaudière à haute pression. Il faut pour cela que la vapeur soit sèche et n'entraîne pas avec elle de gouttelettes liquides: car un jet de vapeur sèche n'échauffe pas plus la main qu'un courant de gaz chaud, et l'on peut, sans inconvénient, plonger la main dans un courant d'air à 100» ou 150" C, tandis que des gouttelettes liquides à pareille température brûleraient énergiquement. Cela paraît en contradiction avec le résultat précédent^ où nous voyons que sur 1* de vapem* à 150";, il s'en condense 0*,0875 en sortant de la chaudière et en entrant dans l'atmosphère. Mais on doit remarquer que le jet de vapeur humide s'élargit rapidement au delà de la section contractée et que, par conséquent, en vertu du principe d'égal débit, la vitesse diminue de même rapidement à partir de cette section. L'extinction graduelle de la force vive, due à cette vitesse, amène une production de chaleur équivalente qui détermine la vaporisation des particules aqueuses, si bien qu'à une petite distance de la section contractée, on n'a plus qu'im jet élargi de vapem* parfaitement sèche et transparente, à laquelle on peut exposer la main sans être brûlé.
Il arrive ici à peu près la même chose que quand on laisse se répandre de la vapeur d'un vase dans un autre où la pression est moindre. Au commencement il y a liquéfaction d'une partie de la vapeur, par suite de la soustraction de la chaleur qui se transforme dans la force vive des molécules de la vapeur; mais à mesure que cette force vive s'éteint^ tant par le frottement réciproque des molécules que par leur choc contre les parois du vase, la chaleur qui avait disparu reparaît et la vapeur finit par devenir surchaufiee quand tout est réduit au repos, comme nous l'avons fait vok plus haut (52).
On expliquait autrefois ce phénomène en admettant que la dilatation de la vapeur donne lieu à l'absorption d'une gi-ande quantité de calorique, lequel devenant subitement latent, produit aussitôt un abaissement notable de température dans la vapeur.
Si l'on fait attention que la vapeur ne brûle la main que lorsqu'elle est mêlée de gouttelettes d'eau liquide, et ne produit au contraire sur la main, quand elle est surchauffée, que la sensation de douce chaleur que l'on éprouverait avec un gaz sec et chaud, on se convaincra que ce n'est point dans l'abaissement, mais plutôt dans l'élévation de la température de la vapeur qu'on doit chercher l'explication du phénomène.
63. Cas où, pendant l'écoulement, on communique au fluide la quantité de chaleur néces-
saire pour en entretenir la température constante. — La chaleur à fournir h, un corps pour en entretenir la température constante, pendant que la pression varie de 6st exprimée par
{Qt)p dp.
En appliquant le principe de Carnot, nous avons trouvé (26)
On aura donc
P^ Po
JQ = - At J p^dp = At f% dp.
Po P
Au moyen de cette équation, on pourra calculer la chaleur à fournir pour entretenir la température constante;, quand l'équation caractéristique du corps sera donnée.
Quant à la variation de l'énergie interne /lU, puisque la température reste constante, elle se réduira a la variation du travail intérieur. Ainsi, la force vive du fluide qui s'écoule aura pour expression, dans le cas de la température constante,
Po
^ = Po% — pv + t J^j^dp — z/Z
Appliquons cette formule à un gaz parfait. On a d'abord pour un pareil corps
puisque la températui-e est constante. De plus le travail intérieui- y est nul, pendant le passage d'un état h un autre. Par conséquent la formule pour l'écoulement se réduira à,
On a, pour les gaz parfaits.
Et P
d'où l'on tire
dt p
En substituant et en intégrant, il vient ou bien
On trouve de même
Si l'on désigne par -wo le poids de l'imité de volume du gaz à la température et sous la pression jPo, c'est-à-dire si l'on pose
on a pour la formule qui donne la vitesse de l'écoulement
C'est la formule connue et généralement employée pour calculer l'écoulement des gaz. On voit qu'elle présuppose qu'on fait passer de l'extérieur au gaz la quantité de chaleur exprimée par
afin d'en maintenir la températm^e constante pendant qu'il se dilate.
64. Cas où, pendant l'écoulement, on soustrait une quantité de chaleur telle que le volume du fluide reste constant. — Si le volume du fluide, dont on veut déterminer l'écoulement, est considéré comme étant invariable, ainsi qu'on peut l'admettre dans le cas des liquides qui sont fort peu compressibles et dont la dilatation, pom- de petites variations de température, est négligeable, on am'a
Vq = V et dv = 0.
Dans ce cas, la formule générale qui donne la demi -force vive de 1* de fluide sortant du réservoir, se réduit à
lorsque
n nous faut maintenant déterminer les valeurs de et de JU relatives au cas où le volume reste constant.
En continuant à désigner par {Q„),dt la chalemk transmettre du dehors à im corps pour en élever
la température de dt, pendant que son volume reste constant, on aura
^Q = JiQvldt.
to
Toutes les fois que la chaleur spécifique à volume constant nous sera connue en fonction de t et de nous pourrons déterminer la chaleur ^Q, en effectuant l'intégration par rapport à i et en considérant v comme constant.
La variation de l'énergie interne est donnée par l'expression
/lU = JJQ — J pdv.
Dans notre cas, puisqu'on a
dv = 0,
il viendra
to
Par conséquent, la \'itesse de l'écoulement sera donnée par l'expression
2 g = 'VoiPo—P)-
C'est la formule connue de Torricelli pour l'écoulement des liquides. Elle implique nécessairement une soustraction de chaleur égale à
to
J'mtdt.
Si l'on suppose que la chaleur spécifique h
volume constant soit constante et égale a C;, la soustraction de chaleur h. faire pour entretenir le volume du fluide constant, se réduit à
c {fo — t).
Sans cette soustraction de chalem-, le fluide ne pourrait sortir par Torifice d'écoulement sous le même volume spécifique, ou, en d'autres termes, avec la même densité qu'il avait dans l'intériem* du réservoir; car il est impossible de le faire passer, à volume constant, d'une pression donnée à une pression moindre sans lui enlever de la chaleur.
