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95. — Un ballon aérostatique d'un volume invariable, muni d'une petite ouvertui'e inférieure pour empêcher que la pression intérieure ne puisse surpasser la pression atmosphérique extérieure, est rempli d'air à une température supérieure à celle de l'air extérieui-. Déterminer la hauteur à laquelle le ballon demeurerait en équilibre, dans l'atmosphère, s'il y parvenait sans vitesse acquise.

On suppose que la densité de l'air décroît dans l'atmosphèro proportionnellement à l'accroissement de la hauteur.

A mesure que le ballon s'élève dans l'atmosphère, il pénètre dans des couches d'air plus raréfié; l'air intérieur se dilate et sa température baisse. L'ouverture laissée libre à la partie inférieure maintient la pression intérieure égale à la pression externe.

Soit V le volume total du ballon; F' son volume interne; P son poids, non compris l'air intérieur; j9o, Go la pression et la température de l'air atmosphérique au point de départ; to la température de l'air intériem- du baUon k l'instant du départ.

Outre ces données du problème, désignons par jj, D la pression et le poids spécifique de l'air atmosphérique a une hauteur x; p, â la pression et le poids spécifique de l'air dans le ballon.

Le ballon cessera de monter, s'il n'a pas de vitesse acquise, h l'instant où le ix)ids de l'air déplacé devient égal à son poids total. A cet instant l'on aura

VJ) = F-{- V'ô .

Or, d'après l'hypothèse admise dans renoncé de la question, on a

D = Do{l —ax), JD^i étant le poids spécifique de l'air en bas de la colonne aérienne qui a x pour hauteur et a la raison dans laquelle la densité de l'air décroît dans l'atmosphère.

De plus, l'équilibre de cette colonne exige qu'on ait l'équation

dp = — Ddx = — Do (1 — (i^) dx; d'où l'on tire, en intégrant,

p=Po — Do[x g- j •

A mesure que le ballon s'élève l'air intérieur se dilate, sans addition ni soustraction de chaleur, suivant la loi donnée par l'équation (42)

^0 \iV

En substituant ces valeurs de et de dans l'équation exprimant l'équilibre du ballon, il vient

vD = p+ râo^i-^(x — ^,

Maintenant, puisque la pression interne égale l'externe, on a

Po = Bâoto = BDoQo-

D'après cela, l'équation précédente devient

i-ax = + rjiL / 1 j /-^ ^ \ 1 ^.

Cette équation permettra de trouver la valeur de X au moyen de quelques tâtonnements.

Exemple numérique.

Soient

P = 1152% V= 3418'"'', V = 3416""^, joo = 10333*, 00 = 2740 + 20" = 294», = 2740 | 3140 5880^

jB = 29,172, ;^=1,41, « = 0,00008.

On trouve

X = ôOOO'".