Question

96. — Un cylindre horizontal d'une longueur indéfinie, ouvert à une de ses extrémités, contient au fond une quantité donnée d'air à la pression de n atmosphères. Un piston, retenu par un moyen quelconque, sépare l'air comprimé de l'air extérieur. A un instant donné on lâche le piston qui est lancé en avant de la même manière que la balle dans un fusil à vent. On demande quel est le point où le piston a la plus grande vitesse, ainsi que la température et la pression de l'air correspondantes. On demande aussi la distance extrême à laquelle le piston parviendra dans le cylindre, ainsi que la température et la pression de l'air correspondantes. On fait abstraction du frottement et de la force vive acquise par les molécules de l'air tant à l'intérieur qu'à l'extérieur du cylindre.

Dans chaque point de sa course;, le piston est sollicité, sur sa face antérieure, par la pression constante de l'atmosphère et, sur sa face postérieure, par la pression variable de l'air renfermé au fond du cylindre, pression qui diminue à mesure que le piston avance. Le mouvement de celui-ci,

St. - RoiîiniT, Tliormoflynaniique, 2. Ed. 23

d'abord accéléré, se ralentit ensuite;, jusqu'à un certain point d'où il rebroussera chemin, en repassant par tous les points avec les mêmes vitesses, en sens contraire, que dans son mouvement direct. Le piston effectuera ainsi un nombre indéfini d'oscillations isochrones. Sa plus grande vitesse correspondra au point où les deux pressions qui le sollicitent sur ses deux faces sont égales entre elles; c'est-à-dire au point où la pression sur la face postérieure devient égale à la pression atmosphérique.

Soient Vq, v les volumes occupés par F air comprimé à l'origine et à un point quelconque; soient ^oj V les pressions correspondantes: t^, t les températures.

On a entre ces quantités les relations (42)

A l'instant où p est égal à la pression atmosphérique, on a, d'après les données du problème.

Ainsi le volume qui correspond au maximum de vitesse sera donné par l'expression

Si l'on désigne par l^^ la hauteur du cylindre occupé par l'air comprimé à n atmosphères, et par

l la hauteur du cylindre dont le volume est on aura

l = kn^.

La température sera donnée par l'expression

t = ton .

Pour trouver le point extrême auquel le piston parvient^ il suffît d'égaler le travail résistant développé par la pression atmosphérique extérieure au travail moteur développé par la détente de Tair intérieur. On aura de la sorte (43)

X étant la distance de ce point extrême au fond du cylindre, a la section du cylindre. Or^ on a

ax = V , alo - Vq]

il vient donc, en divisant par PqVq,

En posant

il viendra

Cette équation transcendante a une racine égale à 1, qui correspond à la position initiale du piston, et une seconde racine comprise entre

1 et

En effet la valeur

où 03 est une quantité fort petite, substituée dans l'équation, donne le résultat négatif

— G)(n — 1) + etc.; tandis que la valeur

donne le résultat positif

A Faide de quelques tâtonnements;, on trouvera la racine comprise entre ces deux limites, et l'on en déduira les inconnues du problème, au moyen des expressions

^ — hy )

Exemples numériques.

Soit

il viendra

Ainsi la longueur du cylindre, qui donnerait la plus grande vitesse au piston, serait d'environ 5 fois la hauteur de la partie du cylindre, qui est occupée par l'air à l'origine. On trouvera

et par suite

Soit encore

c'est la force élastique présumée des gaz engendrés par la charge de poudre dans les canons. On trouve pour ce cas

c'est-à-dire qu'un canon devrait avoir une longueur d'âme égale h, environ 153 fois la hauteur de la charge poui- donner le maximum de vitesse. La températm-e des gaz en ce point serait donnée par

On am-ait dans ce cas, pour la position extrême du piston,

p = 0,00001368) i?o = nêfjn-