Question
104. — Un vase cylindrique, dont les parois sont imperméables à la chaleur, est divisé en deux compartiments par un piston fermant hermétiquement, pouvant se mouvoir sans frottement et retenu en place par un moyen approprié. Du côté gauche du piston, se trouve un kilogramme d'alcool, et du côté droit, un kilogramme d'eau. Le volume de chaque compartiment est plus grand que le volume du liquide qui y est contenu, de sorte qu'une partie de celui-ci est à l'état de vapeur. Tout l'appareU est à la même température.
A un instant donné, on lâche le piston. IL s'agit de déterminer l'amplitude des oscillations qu'il va effectuer.
A températures égales, la force élastique de la vapeur d'alcool surpasse celle de la vapeur d'eau; ainsi le piston sera d'abord poussé de la gauche vers la droite; mais h. mesure qu'il avancera vers la droite, la pression de la vapeur d'alcool ira en
décroissant, et, au contraire, la pression de la vapeur d'eau ira en croissant. H arrivera un instant où les deux pressions seront égales: à cet instant la vitesse du piston sera un maximum. Ensuite, la pression de Teau surpassera celle de Falcool, et la vitesse du piston décroîtra jusqu'à devenir nulle. Au bout de la course, le travail développé par l'expansion de la vapeur d'alcool sera égal au travail résistant développé par la compression de la vapeur d'eau.
L'expression analytique de cette égalité, réunie à l'expression analytique de la constance du volume occupé par l'ensemble des deux corps, alcool et eau, va nous fournir deux équations au moyen desquelles on pourra résoudre la question proposée.
Si l'on désigne par P la pression de la vapeur d'alcool à la température T; par V le volume du mélange alcoolique; par p la pression de la vapem* d'eau à la température t; par v le volume du mélange aqueux, et si l'on aifecte de l'indice zéro ces mêmes quantités considérées k l'origine, on aura pour première équation
à laquelle il faudra adjoindre l'équation En développant ces équations, il vient
(;ff).(^«-^»)|^-7ér+^o-r
dT \dT)
V diJ ^"
[dt {dt), \
\ dt ■/ '°
où les lettres majuscules se rapportent à T alcool et les minuscules à l'eau.
On a négligé les termes
à cause de leur petitesse.
D'après l'énoncé de la question on a
La seconde équation, exprimant la constance du volume, sera
dt ' \
St. - BoDETiT , Thermodynamique. 2. Ed. 25
Vu la petitesse des variations de 2 et de a on pourra faire
A Taide de ces deux équations, où tout est fonction de T et de t, on pourra trouver la valeur de chacune de ces deux inconnues et, par suite, le volume occuiDé , soit par l'alcool , soit par l'eau, à la fin de l'oscillation du piston; ce qui fera connaître la course du piston.
Exemple numérique.
Soient
V"%3Q12G2, O'^^Oôl,
On a
Pr
ccU = 50,09,
lu
En posant
les deux équations qui résolvent le problème deviennent
fT~-^\ (0,57131- + f CdT
V JT
-J^V0,30ri6- f '^') + fcdt = 2Q2,Vo,
Au moyen de quelques tâtonnements, on trouve qu'on satisfait h ces deux équations, en prenant T = 40 + 274 = 314, ^ = 81 + 274 = 355;
eu effet, avec ces valem-s, on obtient
dp ' '
dt
dT \
dp dt
cdt = 81,29,
J £lL ^ 0,25987,
ce qui réduit à 262,30 le premier membre de la première équation, et à 0,00538 le premier membre de la seconde équation.
Par conséquent, au point extrême de la course du piston, la température de l'alcool est tombée de 50<^ C. à 40'^ C, tandis que la température de Teau est montée de 50^ C. à 81» C.
Le volume du compartiment de gauche, qui était au commencement
Fo= r'"-;361262,
devient
h, la fin de la course du piston, tandis que le volume du comjmrtiment de droite, qui était d'abord
Vo = 0"'%dbl,
devient
V = 0"%111 k la fin de la coui-se.
Le mélange alcoolique de gauche, qui était à Forigine composé de 0*,64 de vapeur et de 0*,36 d'alcool liquide, est, à la fin de la course du piston, composé de 0*^63 de vapeur et de 0,37 d'alcool liquide; tandis que le mélange aqueux passe de la composition de 0*,079 de vapeur et 0*,921 d'eau liquide à la composition de 0*,032 de vapeur et de 0*,968 d'eau liquide.
