Cycles fermés non réversibles.') — „I

importe de remarquer que cette équation ne s'applique pas h toute espèce de cycles. La démonstration que nous en avons donnée résulte de la considération d'un cycle d'opérations où le corps qui est le sujet de l'expérience ne se trouve jamais en contact qu'avec des corps ayant une température infiniment voisine de la sienne, et oii la pression extérieure ne présente jamais qu'une différence infiniment petite, en plus ou en moins, avec celle que le corps exerce lui-même. Dans ces conditions le cycle est toujours réversible, car il suffit de supposer une modification infiniment petite dans l'état des températures des corps extérieurs, pour que ceux qui jouaient le rôle de réfrigérants jouent maintenant le rôle de soui'ces de chaleur, et vice versa; de même il suffit de modifier infiniment peu la pression extérieure pour la rendre plus faible ou plus forte que la pression intériem*e et déterminer ainsi, dans un sens ou dans l'autre, la \ marche du point figuratif de l'état du corps sur la com-be représentative des transformations.

,,Mais il peut arriver que les conditions de réversibilité ne soient pas remplies, et alors la démonstration précédente ne s'applique plus. Cher-

1) Cet article est tiré en entier de la Théorie mécanique de la chaleur par E. Verdet, t. 1., p. 187.

chons ce qu'on peut déduire dans ce cas du principe de Carnot.

„Les cycles non réversibles, dans lesquels il ne se produit que des phénomènes purement thermiques (en écartant ainsi le cas oti le corps considéré serait échauffé par le passage d'un courant électrique, par exemple), peuvent se rapporter à trois types.

,,1'^. Si, dans la série des opérations qu'il subit, le corps dont on considère les transformations emprunte de la chaleur à des corps dont la température excède la sienne d'une quantité finie, ou s'il en abandonne à d'autres d'une température notablement inférieure, la réversibilité des opérations n'existe pas.

„2o. Si le corps considéré éprouve des frottements qui occasionnent un dégagement de chaleur, le phénomène inverse est impossible.

,,3''. Enfin, si le corps se dilate sans développer un travail extériem* égal au travail de sa force élastique, c'est-k-dire, si la pression qu'il a à vaincre est notablement inférieure à sa propre pression, il n'est pas possible de le ramener à son volume primitif par une opération exactement inverse.

„La vapeur qui s'échappe de la chaudière d'une machine à haute pression, l'air comprimé qui, dans la célèbre expérience de Joule, pénètre dans un récipient où l'on a fait le vide, nous offrent des exemples de ce dernier cas, qui est le plus important.

St.-Robert, Thermodynamique. 2. Kd. 7

„Examinons successivement l'effet de chacune des circonstances que nous venons d'énumérer.

„Dans le premier cas, si on désigne comme toujours par dQ la, quantité de chaleur reçue ou communiquée par le corps, à chaque instant de sa transformation, à, la température absolue t, ^ désignant ici uniquement la température du corps et non plus celle des sources extérieures, on a toujom^s

car, de quelque manière que la chaleur arrive au corps ou s'en dégage, si la quantité reçue ou abandonnée est à chaque instant la même dans les différents modes de communication avec l'extérieur, la loi de la transformation reste aussi la même.

„Mais si, au lieu de mettre pour t dans l'équation précédente les températures du corps, on met celles des sources extérieures qu'il est souvent plus facile de connaître, le premier membre n'est plus égal à zéro; il est facile de voir qu'il devient négatif. En effet, prenons d'abord les éléments positifs de l'intégrale: un élément positif

où l'on remjDlace t par la températm-e ^ + G de la source avec laquelle le corps se trouvait en contact, quand sa température était t, devient

dQ t '

dQ

quantité plus petite 'en valeur absolue. Inversement, si, dans un élément négatif

on remplace t' par la température du réfrigérant, inférieure de 9' à celle du corps, on augmente la valeur absolue de cet élément, car il devient

Donc, en introduisant les températures des sources et des réfiigérants au lieu des températures du corps, on diminue la valeur absolue des éléments positifs de l'intégrale et l'on augmente celle des éléments négatifs. Si donc on calcule

de cette manière, on aura

„Supposons maintenant que, dans la série de ses transformations, le corps éprouve des frottements qui, pour être vaincus, absorbent, dans la période de compression du cycle, une portion notable du travail extérieur. Dans ce cas, la pression extérieure est nécessairement supériem'e à la force élastique que le corps lui oppose; par suite, elle n'est plus égale à l'ordonnée de la courbe représentative qui a pour coordonnées le volume de l'unité de poids et la pression du corps; le tra-

vail qu'elle effectue ne se trouve donc plus représenté par l'aire de cette courbe, et la démonstration précédente devient inapplicable.

^,0r, s'il n'y avait aucun frottement^, la pression extérieure serait égale à la pression intérieure, et l'on aurait

„Mais l'existence du frottement a uniquement pour effet de déterminer, dans la grandeur du travail extérieur, un accroissement correspondant aux frottements à vaincre, et comme cet excès de travail est entièrement transformé en chaleur déposée sur les réfrigérants, il en résulte une augmentation dans la valeur absolue des éléments négatifs de l'intégrale précédente. On a donc pour ce cas

„Considérons enfin le troisième cas, où, dans la période d'extension du cycle, la valeur de la force élastique du corps surpasse constamment d'une quantité finie celle de la pression extériem^e. Comme dans le cas précédent, l'aire de la courbe représentative n'a plus aucun rapport avec la grandem* du travail extérieur effectué, et l'expression générale du principe de Carnot, démontrée pour mi cycle réversible, ne convient plus ici."

La pression extérieure exercée sui- le corps étant moindre que la force élastique du coi-ps, celui-ci développera, dans la période de sa détente moins

de travail que si la pression extérieure ne présentait jamais qu'une différence infiniment petite avec la force élastique du corps.

Or, un travail moindre exige la consommation d'une moindre quantité de chaleur. Donc, dans ce cas, la somme des éléments positifs de l'intégrale est plus petite que lorsque la réversibilité existe, et par suite on doit avoir

„0n verrait de même que, si le corps était comprimé sous l'action d'une pression extérieure qui présente avec sa force élastique une différence finie, la valeur absolue des éléments négatifs de l'intégrale se trouverait augmentée d'une certaine quantité, ce qui conduirait encore à la même expression.

„Par conséquent, on peut dire que, dans tous les cas où le cycle n'est pas réversible, l'intégrale

est négative. L'expression générale du principe de Carnot, pour un cycle fermé quelconque, devient ainsi

dQ désignant la quantité de chaleur reçue à la température absolue t. Le signe = s'applique aux cas où toutes les modifications dont se compose le cycle fermé sont réversibles; le signe < aux cas

où il y a des modifications qui ne sont pas réversibles.

„Remarquons que, si le corps variable ne se trouve jamais en contact qu'avec des réservoirs de chaleur qui présentent la même température que lui, i\ est indifférent que t représente la température des sources extérieures où celle du corps considéré. Mais, si l'on a doimé à t cette dernière signification, il est évident, d'après ce qui a été dit , que le signe = convient encore au cas où le corps variable se trouve 'en communication avec des réservoirs de chaleur dont la température présente avec la sienne une diff'érence quelconque, pourvu que les autres conditions de réversibilité soient satisfaites."

22. Cycles non fermés. — Nous allons main- \ tenant considérer les cycles non fermés. Supposons que le corps subisse une série de changements par lesquels il arrive à un état final différent de son état initial. On pourra toujours former, au moyen de cette série de changements, un cycle fermé, en y ajoutant ceux qui sont nécessaires pour ramener le corps à son état initial. De plus, parmi l'infinité des séries de changements qu'on peut introduire entre l'état final et l'état initial, pour compléter le cycle, on pourra toujours en choisir une qui soit réversible.

Nous obtiendrons ainsi un cycle fermé auquel on peut appliquer le principe de Carnot

Or, on peut décomposer Tintégrale en deux parties, dont Tune se rapporte au passage du corps de l'état', initial à l'état final, et l'autre k son retour de ce second état au premier. Nous écrirons ces deux intégrales séparément, et nous distinguerons la, dernière par la lettre r placée en indice. De cette manière, on aura

Traçons, par le point figuratif de l'état initial (Fig. 7), la courbe Pt^M que suivi'ait le corps, si l'on en faisait varier le volume et la pression, sans lui donner ni lui enlever de la chaleur. On voit que, si le point figuratif P^ de l'état final se trouve, par rapport a P^M, du côté des abscisses positives, il faudra comprimer le corps et, par suite, lui soustraire de la chaleur, pour le ramener de Pi a Pq, et qu'au contraire, s'il se trouve du côté des abscisses négatives , H faudra dilater le corps, et, par suite, lui communiquer de la chaleur, pour le ramener a l'état initial. Il s'ensuit que, dans le premier cas, les éléments de l'intégrale

sont tous négatifs, et qu'on aura,

et que dans le second cas ils sont tous positifs et qu'on aura

Donc, dans le cas où le point figuratif de l'état final est h droite de la courbe P^M, on aura

pour l'expression du principe de Camot, appliqué à un cycle non fermé quelconque. Dans le cas où

r-ifj. 7.

le point figuratif est à gauche de la courbe PqM, on aura

23. Rendement d'une machine thermique quelconque. — Le principe de Carnot va nous fournir un moyen d'apprécier l'effet d'une machine thermique quelconque.

Soit ZQ la somme des quantités de chaleur reçues, dans la série des opérations suivant laquelle fonctionne la machine; Uq la somme des quantités de chaleur rejetées. Le travail recueilli sera exprimé par

et la chaleur perdue par

Le rapport de la dépense calorifique utile

. 2Q-2q à la dépense totale

représente le rendement de la machine ou son coefficient économique. En le désignant par E, on aura

En vertu du principe de Carnot, les quantités de chaleur reçues et rejetées sont liées aux températures des sources correspondantes, lorsque la machine est réversible, par la relation

Soit Ti la plus haute des températm-es des sources supérieures où la chaleur est puisée, et t^ la plus basse des températures des sources infé-

rieures où la chaleur est versée, on aura évidemment

On déduit de ces deux inégalités, en ayant égard à ce que leurs premiers membres sont égaux,

ou bien

Or, le rendement de la machine étant exprimé par

on aura

OU

Par conséquent le rendement d'une machine thermique réversible quelconque est inférieur au quotient de la différence des températm^es extrêmes entre lesquelles la machine fonctionne, divisée par la plus haute des températm^es.

Si la machine ne fonctionne qu'entre deux températures, on a

et le rendement de la machine devient dans ce cas

Donc, une machine qui fonctionne entre des limites données" de température donne le plus grand effet utile quand toute la chaleur est reçue à la température la plus élevée et quand toute la chaleur est rejetée h la température la plus basse; ou, en d'autres termes, quand elle fonctionne suivant le cycle particulier que nous avons nommé cycle de Carnot.

Aucune machine, fonctionnant suivant un autre cycle, ne peut dépasser ni même atteindre ce rendement; mais il est des machines qui peuvent l'atteindre, sinon rigoureusement, au moins trèsapproximativement, dans un jeu continu, bien qu'elles y restent inférieures dans le parcours d'un seul cycle.

En effet, parmi les éléments dont se compose la quantité de chaleur absorbée 2Q, il peut en être de ceux qui sont reçus à des températures égales aux températures auxquelles sont rejetés certains éléments de la chaleur totale 2q. Alors la quantité de chaleur rejetée à ces températures peut être utilisée dans la période de réception de la chaleur, pendant une seconde opération, et diminuer ainsi la dépense de chaleur.

Supposons que toutes les quantités de chaleur Q2, Qa, Qi, . . . puisées aux sources supérieures aux températures T2/T3, T^, . . excepté la quantité Qi qui est reçue à la température la plus

élevée Ti, soient respectivement égales à toutes les quantités de chaleur q2, qa, q^, ... versées sur les sources inférieures aux températures U, fa, ti, . . ., excepté la quantité qi qui est versée à la température la plus basse tù et supposons de plus que les températures de réception soient respectivement égales aux températures de versement, c'est-k-dire supposons qu'on ait

Qi = qi,

T2 = tiy

T-i == ts, Ti = ti.

On aura, par suite,

Q2 + -\- Qi -{■•■' = q2 + qz -\- q^ -\- •

D'après cela, l'équation de Clausius se réduit à

la dépense utile de chaleur

UQ — 2q

se réduit à

Qi — qx',

et la dépense totale de chaleur est

Qy + Q. + Q, + Mais la quantité de chaleur

Q2+ Qz +

ime fois communiquée, peut servir indéfiniment au jeu de la machine. En effet, si l'on suppose que la quantité de chaleur q^, rejetée à la température ^2, soit déposée sur un corps à la même température U, elle pourra y être reprise pendant la période de réception de la chaleur. Ce sera la même chose pour chacun des couples

fe, Qè, ili, Qi), ' • •

De la sorte, la chaleur réellement dépensée se réduit h Qi, et le reste

Q2 + Qs + -

qui est absorbé dans une première opération, est restitué dans la seconde, et ne fait ainsi que voyager d'une opération à l'autre dans le jeu continu de la machine. Comme on peut concevoir une machine parfaite où ces voyages incessants s'accomplissent sans déperdition, cette quantité ne fait réellement pas partie de la dépense calorifique. Elle se trouve disponible tout entière à toute époque.

Le rendement de la machine, dans ce cas, sera donc

-p — ^1 — gi 1 A — 1 ii

c'est-à-dire^ égal au plus grand rendement que puisse donner une machine thermique.

Si la machine fonctionne suivant un cycle qui n'est pas réversible, on a (22)

En raisonnant comme pour un cycle réversible, on trouve

^ T ^ Ti '

Ti, ti étant les deux températures extrêmes. On en déduit

et, par suite,

de sorte qu'on aura

Donc le rendement d'une machine non réversible reste toujom-s inférieur h la plus grande valeur qu'il peut avoir dans une machine réversible, fonctionnant entre les mêmes limites de température.