Chapitre IV

Équations fondamentales.

24. Chaleur dépensée dans le passage d'un corps d'un état à un autre. — L'expérience de tous les instants nous apprend que lorsqu'on communique de la chaleur à un corps, par un moyen quelconque, le corps s'échauffe et en même temps se dilate, de manière à occuper un volume plus considérable que celui qu'il occupait d'abord, sauf quelques exceptions sur lesquelles nous reviendrons bientôt.

La dilatation du corps donne lieu h divers effets: 1° à un travail intérieur qui est employé h surmonter les forces provenant des actions mutuelles des molécules qui le composent; 2» à un travail extérieur qui est employé à surmonter les forces appHquées extérieurement au corps, forces qui se réduisent ordinairement h, des pressions exercées sur la surface du corps, et à la pesanteur qui agit sur toutes ses particules; 3» h. une variation dans la somme des forces vives dont les molécules de tous les corps du système sont animées. Cette

variation se produit lorsque le corps, dans ses | changements de volume, éprouve du dehors une pression qui diffère de sa propre force élastique. Dans ce cas, une partie du travail développé par l'expansion reste dans le corps et dans les corps en contact, sous la forme de force vive, correspondante aux vitesses qu'acquièrent les différents points du système.

n en résulte que la chaleur communiquée à un corps se divise en quatre parties: une première partie s'ajoute h la chaleur intérieure du corps et j reste à l'état de chaleur; une seconde partie produit un travail intérieur; une troisième partie développe un travail extérieur; enfin une quatrième partie imprime une force vive.

D'après le principe de l'équivalence de la chaleur Qt du travail, la somme du travail intériem-, du travail extérieur et de l'accroissement de la demi-force vive sera proportionnelle à la quantité de chaleur dépensée pour produire ces effets; de sorte qu'on aura la quantité de chaleur que coûte cette somme en multipliant celle-ci par l'équivalent calorifique A du travail mécanique.

Si nous désignons donc par z/Ç la quantité de chalem' communiquée à un corps; par zîll l'accroissement de la chaleur; par l'accroissement du travail intérieur; par zlW l'accroissement du travail extérieur,, y compris le travail dû à la pesanteur; par F l'accroissement de la force vive, on aura

Telle est l'équation générale de la Thermodynamique. Ce n'est qu'un cas particulier de l'équation qui exprime le principe de la conservation de l'énergie^), suivant lequel la somme de toutes les énergies possibles: travail mécanique, force vive, chaleur, lumière, électricité, etc. est une constante dans un corps abandonné à lui-même, ou dans l'univers entier.

Il s'agit maintenant d'exprimer les différents termes dont se compose le second membre.de cette équation en fonction des quantités qui caractérisent chaque corps de la natm-e.

1) "L'énergie est la capacité de produire du travail mécanique. La force vive d'un corps, considérée dans la Mécanique, est une énergie que quelques-uns appellent cinétique: elle est égale au double du travail que le corps peut effectuer, en surmontant une résistance, avant d'être réduit au repos, ou bien au double du travail qu'il faut dépenser pour le faire passer du repos à la vitesse qu'il a. La chaleur est izne énergie, ainsi que tous les agents physiques dont on faisait autrefois autant de fluides impondérables divers.

Une des plus belles conceptions de nos temps est celle qui ramène à l'unité toutes les énergies. La loi qui régit tous les phénomènes physiques peut être énoncée de la manière suivante:

1". Toutes les, énergies peuvent se transformer les unes dans les autres suivant des rapports fixes (par équivalents) ;

2". La somme de toutes les énergies d'wn système livré à luimême est constante ;i c'est-à-dire qu'elle ne peut pas être altérée par l'action mutuelle des parties du système.

Chaque énergie a son unité spéciale; mais quand des énergies diverses figurent dans la même équation, elles doivent être réduites à la même unité. Ainsi, dans les équations de la Thermodynamique, il faut que les quantités qui y entrent soient évaluées toutes en calories ou bien en kilogrammètres.

St.-Robeuï, Thermodynamiqtie. 2. Ed. 8

si

L'intensité relative des quatre effets produits par la communication de la chalem- varie suivant la nature des corps. Dans les corps solides, la plus grande partie de la chaleur communiquée est employée à écarter les molécules du cor]DS, et le travail extérieur est très -faible, tandis que dans les corps gazeux c'est l'inverse qui a lieu.

Il y a des corps qui font exception à la loi de dilatation et d'échauffement par la chalem'. L'eau, en passant de la température de la glace fondante à celle de 4*^ au-dessus, au lieu de se dilater se contracte à mesure qu'elle reçoit de la chaleur. Dans ce cas le travail extérieur produit par la chaleur est négatif.

La glace, arrivée h son point de fusion, reste à la même température, quelque chalem' qu'on lui communique, tant qu'elle n'est pas entièrement liquéfiée, et en même temps elle se contracte en se fondant. Ainsi tous les effets de la chaleur transmise se réduisent, dans ce cas, à un travail intériem- et à un travail extérieur négatif, réchauffement étant nul.

Nous n'avons point à [nous enquérir pour le moment de la cause de ces exceptions; il nous suffit de remarquer que les trois effets auxquels la transmission de la chaleur donne lieu, varient selon les corps et peuvent être négatifs, nuls, ou positifs.

L'accroissement de la chalem- qui se trouve effectivement dans un corps qui passe d'un état

initial ii un état final, ne dépend que de ces deux états et nullement du chemin qui a pu être suivi d'un état à l'autre. Pour le démontrer, remarquons d'abord que toutes les fois qu'un corps en partant d'un certain état initial, après avoir parcouru une série de modifications, revient à son état initial, il doit arriver que les accroissements successifs de la chaleur qui se trouve effectivement dans le corps s'entre-détruisent les uns les autres; car en supposant qu'il restât un certain accroissement de chaleur ou positif ou négatif, il en résulterait qu'un corps pourrait contenir diverses quantités de chalem- dans un même état, ce qui est absurde.

De ce qu'à chaque retour d'un corps h son état initial, la chaleur gagnée est nulle, il s'ensuit que l'accroissement de chaleur résultant d'une modification quelconque dans l'état d'un corps, est parfaitement déterminé par l'état initial et par l'état final, sans qu'on ait besoin de connaître le chemin qui aura été suivi de l'un à l'autre. En effet, si l'on conçoit qu'un corps soit amené suc- (iessivement par des chemins différents d'un état k un autre, et qu'il soit ramené toujom's par le même chemin à son état initial, il faudra que toutes les quantités de chalem- acquises le long des chemins différents soient détruites par la commune quantité de chaleur perdue dans le retour, et que par cette raison elles soient égales.

Ainsi l'accroissement de la chaleur effectivement

contenue clans un corps en passant de la pression 2\ et de la température à la pression ])y et k la température ti, sera exprimé par

H, - E, = F{p„t,) - FiPo,Q.

Le même raisonnement s'applique à l'accroissement du travail intérieur, c'est- a-dire quïl est indépendant de la manière dont les modifications d'un corps ont lieu. On aura donc aussi

II — lo = (Pl, h) — / (po, Q, / étant une fonction différente de F.

Nous réunirons souvent dans un seul ternie, que nous désignerons par U, l'accroissement du travail intérieur z/I et le travail équivalent à la quantité de chaleur sensible JH introduite dans le corps, c'est-à-dire que nous poserons

JU= JzlE + zlL

Nous donnerons à cette somme le nom à! accroissement de l'énergie interne. D'après ce que l'on vient de voir relativement à -ff et à J, on doit avoii'

Il en est tout autrement du travail extériem\ Celui-ci ne dépend pas seulement, comme nous l'avons déjà fait remarquer (7), de l'état initial et de l'état final du corps, mais des états intennédiaii'es par lesquels il a passé pour arriver du premier au second, en sorte qu'il ne peut être déterminé que quand le chemin entier des modifications est connu.

La quantité Qi — de chaleur reçue de l'exté-

rieur ou émise au dehors par un corps passant d'un état à un autre, comprenant la chaleur consommée par le travail extérieur, ne dépendra pas seulement des conditions aux limites, mais aussi de la nature du chemin parcouru entre l'état initial et l'état final. Il en résulte que l'équation (J) ne pourra être intégrée qu'autant qu'on aura une relation entre deux des trois quantités p, v, t, indiquant le chemin des modifications entre les deux limites.

Tant qu'on a cru a la matérialité du calorique, il était naturel d'admettre que la chaleur reçue de l'extérieur ou émise au dehors par un corps passant d'un état à un autre, ne dépendait que de ces deux états. C'est ce qu'admettaient les Laplace, les Poisson, avec tous les physiciens et les géomètres de leur temps. Aujourd'hui qu'il est bien prouvé que tout travail coûte de la chaleur, on comprend que l'accroissement de chaleur doit dépendre, en outre, du travail mécanique accompli par les changements graduels de volume qu'éprouve le corps pendant son passage d'un état à un autre, et que par conséquent on ne saurait exprimer la valeur de Q en fonction de deux des quantités p, v, t, sans donner une relation entre elles qui indique le chemin parcouru par le corps pom- arriver d'un état à l'autre.

Si l'on ne peut exprimer la valeur de Q en fonction de deux variables, on peut cependant exprimer la valeur de l'intégrale

lorsqu'il s'agit d'un cycle réversible. En effet, en vertu du principe de Carnot, on a

clQ

pour tout cycle réversible fermé. En raisonnant de la même manière que pour la chaleur sensible, on en conclut que

pour un cycle non fermé, est parfaitement déterminé par l'état initial et par l'état final. Ainsi, entre deux états difterents d'un corps, caractérisés par les indices zéro et un, on aura

dQ

= fpi — ^0!

oii cp sera une fonction de deux des variables v, t, p.

Par conséquent

dQ

est une différentielle exacte, et le factem-

rend intégrable l'équation

dQ = AdU + AdW à laquelle se réduit l'équation (J) lorsque les accroissements sont infiniment petits, et la force vive

nulle, comme elle doit l'être dans un cycle réversible.

L'application des deux principes fondamentaux de la Thermodynamique aux changements de volume des corps va nous fournir plusieurs équations fort importantes.

25. Application du principe de Mayer. — Prenons un corps quelconque dont nous déterminerons le volume spécifique v par les valeurs des deux variables indépendantes t et p. Si, la pression demeurant d'abord constante, la température s'accroît de c?^, il faudi-a pom- produire cette modification, une quantité de chaleur

{Qp)t clt,

suivant la notation convenue dans le Chap.. 1 (10).

Si maintenant, la température demeurant invariable, on donne à la pression un accroissement dp, la quantité de chaleur nécessaire pour produire cette modification sera

{Qèp dp.

La quantité de chaleur nécessaire pour produire dans l'état du corps une modification représentée par les variations simultanées dt et dp sera donc

iQp)t dt + {Qt)p dp, en négligeant une quantité infiniment petite du second ordre.

Maintenant, le travail élémentaire extérieur que cette modification produit est exprimé par

pdv,

ou bien

dv , dv j

puisque v est une fonction de t et de ^j.

Si Ton retranche ce travail du travail équivalent a la chaleur communiquée au corps, on aura ce que nous avons appelé l'accroissement de l'énergie interne, c'est-à-dire

J (Qpl —PTt\^^~^[^ ^^^^ ~ 1^]

L'accroissement de l'énergie interne ne dépendant que de l'état initial et de l'état final du corps, il faut que le second membre soit une différentielle exacte, et que par suite la condition d'iatégrabilité

^ [J{QÀ -PTt\ = dt L'^(^')- - dp

soit satisfaite.

Si l'on effectue les différentiations indiquées et si l'on observe que

d'^v dH

dt dp dp dV

il vient l'équation

d{Q,)t ^iQt)p__ jdv

dp dt ^dt ^^>'

en faisant comme à l'ordinaire

Telle est l'équation qu'on déduit immédiatement du principe de l'équivalence et qui établit une rela-

tion entre les propriétés thermiques d'un corps et l'équation qui le caractérise.