C . C'. cos. C C' = ce' -f- ce + y y
Ces formules sont très-utiles dans la théorie de la mécanique, où l’usage le plus ordinaire est de rapporter les mouvemens du système considéré à trois axes perpendiculaires entr’eux.
Nouvelles conséquences résultantes des hypothèses établies précédemment ; accord de ces résultats avec d’autres faits généralement reconnus .
119* Des lois fondamentales de l’équilibre et du mouvement sont renfermées dans les hypothèses établies ci-dessus, et nous pourrions dèsà-présent passer à la seconde partie, dont l’objet est d’exprimer ces lois par des formules algébriques; mais il paroît plus convenable de faire
d’abord , en quelque sorte, pressentir ces résultats par la comparaison de quelques nouveaux faits généralement reconnus, avec les premières conséquences qui dérivent de ces hypothèses.
En réfléchissant sur les phénomènes les plus familiers , il arrive souvent qu’on entrevoit certains principes , auxquels sans doute il seroit dangereux de se livrer, avant que d’ëtre parvenu à leur donner la précision et la rigueur mathématiques ; mais qui n’en sont pas moins des indications précieuses du but vers lequel on doit diriger ces recherches. C’est ainsi qu’ont été successivement découverts la plupart des principes les plus importans et les plus usuels de la mécanique, tels que celui des vitesses virtuelles, celui de la conservation des forces vives tant dans le choc des corps élastiques , que dans les systèmes de corps durs dont le mouvement change par degrés insensibles ; celui de la position du centre de gravité au point le plus bas possible dans les machines à poids ; celui de la moindre action dans les systèmes de corps animés de forces centrales, &c.
120. Ces principes ont été d’abord, en quelque sorte, apperçus dans le vague comme par instinct, et appuyés plutôt sur leur conformité avec les résultats particuliers, auxquels on arrivent par d autres voies, que sur des démonstra-
go principes de L’Équilibre tions générales et rigoureuses. Mais les efforts que l’on a faits pour leur donner la perfection convenable, ont été utiles, et c’est ainsi qu’on est parvenu à les approprier au calcul, et à ramener toute la mécanique à de simples questions d’analyse. Ce coup d’œil général sur ce qui doit être rigoureusement démontré dans la seconde partie de cet ouvrage, est l’objet de ce qui nous reste à dire dans celle-ci.
121 . Il paroît d’abord que nous pouvons assez facilement généraliser la loi de l’équilibre dans le levier , en l’étendant à deux forces qui se font équilibre, par le moyen d’une autre machine quelconque.
Concevons en effet une machine quelconque sans ressort (fig. i 5 ), à laquelle soient appliquées deux puissances P, Q ; supposons que celte machine soit mise en mouvement, et passe d’une manière quelconque par la position où les forces P, Q se détruisent mutuellement, ou se seroient fait mutuellement équilibre, s’il n’y avoit pas eu un mouvement imprimé d’avance à la machine.
Soient PP', QQ' les espaces parcourus pendant un temps infiniment court en vertu de ce mouvement imprimé , par les points auxquels sont appliquées respectivement ces forces P, Q; ces espaces représenteront par conséquent les
vitesses de ces mêmes points ; et si des points P', Q' on abaisse des perpendiculaires P'/7Z, Q n sur les directions PA, QB de ces forces; les lignes P m,
Qn seront évidemment les vîtesses.de ces mêmes points estimées dans le sens de ces forces.
Maintenant, à ces deux forces P, Q substituons par des poulies de renvoi A, B deux forces parallèles; par exemple, deux poids/?, q respectivement égaux à ces forces ; c’est à dire, qu’ayant pris sur les directions de ces forces des portions
déterminées PA , QB, fixons aux points A , B des poulies sur lesquelles nous ferons passer les cordons PA/r, QBy, dont les parties Aj o, B q soient verticales : puis ayant suspendu aux points p, q des poids respectivement égaux à P, Q , supprimons ces dernières forces. Il est clair que l’équilibre ne sera pas troublé ; c’est à-dire , qu’il y aura équilibre entre les deux poids p, q, de la même manière qu’il avoitlieu entre P , Q, et que la machine ne se mouvra qu’en vertu du mouvement précédemment acquis.
De plus , il est visible que les espaces pp\ qq décrits dans le temps infiniment court, pendant lequel les points d’application P, Q décrivent
respectivement PP', QQ', seront respectivement égaux à P m y Q n , c’est-à-dire aux vitesses de ces
points P, Q estimées dans le sens de ces forces ; car le fil étant inextensible, on a PA/? == P'A/?'. Otant de part et d’autre mAp , on aura
=PP + (P'A — mÀ) ;
mais P A et mA , ne diffèrent que d’une quantité infiniment petite du second ordre , puisque
par hypothèse P'ra est perpendiculaire à PA : donc le second terme de l’équation précédente se
réduit à pp ; donc Pm = /?/?', et par la même
raison , Q/z = qq • c’est-à-dire, qu e.pp' et q<q sont les vitesses des forces P, Q estimées dans le sens de ces forces.
Cela posé, menons les droites/?</, pq\ et soit K le point d’intersection de ces droites. Supposons que les poids p, q soient fixés aux extrémités de cette droite, il est évident qu’on pourra la considérer comme un levier fixe en K , et qui pendant le petit mouvement qui le fait passer en
P Ç i ne peut rien changer à l’action réciproque des corps/? et q. D’où il suit qu’il est indifférent que ces corps restent attachés à la première machine, ou qu’ils lesoient au levier, et qu’on peut enfin substituer l’un à l’autre sans altérer l’équilibre entre les corps /?, q.
Or par la loi de l’équilibre dans le levier, on
a P :< i : K/?y ou parce que les rayons K/?,
ET DU MOUVEMENT. g 5
kq sont proportionnels aux arcs infiniment pe-
tits pp\ qq y p\q\: qq : pp'. Donc puisque par hypothèse p = P, q = Q $ et que de plus, il a été prouvé que pp'= Pm =z . l a proportion deviendra P : Q::Q^ : P^. C’est-à-dire que les forces P, Q sont en raison réciproque de leurs vitesses estimées dans le sens de ces forces, quelle que soit la machine à laquelle ces deux forces sont appliquées.
C’est à cette proposition que revient ce qu’on nomme le principe des vitesses virtuelles, ou le principe de Galilée, du nom de son célèbre inventeur.
12 2. Ce principe étoit trop beau, pour qu’on ne cherchât pas d’abord à le vérifier par l’examen de tous les cas particuliers qui pouvoient s’offrir, et ensuite à le généraliser, en l’étendant à un nombre quelconque de puissances simultanément appliquées à une meme machine.
Or premièrement, on a pu voir aisément que l’expérience vérifioit ce principe dans toutes les machines appelées simples ; savoir , la machine funiculaire , le levier, la poulie , le treuil, le plan incliné, la vis et le coin, et les raisonnemens plausibles suivant lesquels on trouve, par d’autres considérations , la loi d’équilibre dans
g4 PRINCIPES DE L’ÉQUILIBRE chacune (Telles, ont confirmé ces résultats de l’expérience.
De-là ensuite , il a été facile de conclure, que la même loi devoit pouvoir s’appliquer à toute machine composée , à laquelle seroient appliquées deux puissances seulement, puisqu’il n’en est aucune qu’on ne puisse regarder comme l’assemblage de plusieurs machines simples, par le moyen desquelles l’action de la première force se communique de proche en proche jusqu’à la dernière.
Il ne reste donc plus qu’à savoir comment ce même principe peut s’appliquer à un système quelconque de forces simultanément appliquées à une même machine.
Concevons diverses puissances quelconques P, Q, R, S, &c. (fig. i 4 ) appliquées à une machine quelconque, et substituons comme ci-dessus, par une poulie de renvoi à chacunede cespuissances, un poids qui lui soit égal.
Soient p , q, r, s, &c. ces poids ; menons entre deux d’entr’eux, comme p , q , une droite pq
qui devienne p q par le mouvement des points d’application des forces P , Q. Il est clair, par ce qui a été dit pour le cas où il n’y a que deux
forces dans le système , que pp\ qq' seront les vitesses respectives de ces points d’application
P, Q estimées dans le sens de ces forces aussi désignées par P et Q.
Donc si l'on suppose que K soit le point d’intersection de pq , p'q' y et que les poids/?, q soient
fixes aux extrémités de cette droite/?*/, on pourra la regarder comme un levier tournant librement autour du point fixe K, et. qui ne gène en aucune manière l'action réciproque des poids p et q.
De plus, comme nous sommes maîtres de la position des poulies de renvoi appliquées à chaque force, il est évident qu'en en employant, s'il le faut, deux par chaque puissance, nous pouvons faire tomber les poids substitués à ces puissances, non-seulement dans un même plan et sur une meme ligne droite $ mais encore sur tel point qu’on voudra de celte ligne droite.
Concevons donc qu’on amène, en effet, tous
ces poids sur la droite pq, et sur les points de ce levier, dont le mouvement déterminé, comme on vient de le voir par ceux des corps p, q, s'accorde avec ceux de ces nouveaux poids ; c'est-àdire, par exemple, que r tombe sur le point du levier qui ait la même vitesse dans le même sens que ce même poids r. Il est évident qu'on pourra ainsi imaginer tous les poids p, q, r, s, &c. attachés à ce même levier, dont le point fixe est en K, sans que l’action réciproque entre ces poids soit altérée. Il sera donc indifférent que ces
g6 princites de L’Équilibre poids restent attaches à la machine proposée ou au levier, et l’équilibre entr’eux aura lieu de la même manière qu’il existoit entre les forces P, Q> K.» &c. dont ils tiennent lieu.
De plus, d après ce qui a été dit pour le cas où jl u’y a que deux forces dans le système, les vitesses des poids p , q ,r, s , &c. sont respectivement égales à celles des points d’application P, Q , R , S , &c. estimées dans le sens des forces de mêmes dénominations : donc les poids étant supposés parcourir dans un temps infiniment
court les petits espaces pp', qq , rr, ss &c., ces petits espaces exprimeront les vitesses des puissances P, Q, R, S , &c. estimées dans le sens de ces forces, en prenant négativement ceux de ces espaces qui sont dirigés de bas en haut ; c’est-à-dire, qu’en nommant P', Q', R', S', &c. les vitesses respectives de ces forces estimées en effet dans le sens de ces forces , on aura
P' — pp, Q' qq, R'= rr',S' = — 17 , & c .
Mais par la loi de l’équilibre dans le levier, auquel plusieurs puissances sont appliquées simultanément, nous avons
P-PP — q-qq' + r.r /— 5.5/= 0 ,
OU P.P -f Q.Q + R.R + S.S'-f- &c. = o.
C’est-à dire, que quelle que soit la machine à laquelle peuvent être appliquées les forces P, Q,
R ’ S ’ &c - 1 ui se détruisent mutuellement au moment où la machine passe par la position donnée ; la somme des produits de chacune de ces forces par sa vitesse estimée dans le sens de cette force sera égalé à zéro ; ce qui est le principe des
IneT ' endU 4 ÜD SyS ‘ éme Con¬
que de puissances appliquées simultanément à
une meme machine. En effet, on nomme vitesses virtuelles les vitesses que prennent les points d application des puissances, lorsqu’étanten équilifcre on vient à déranger infiniment peu cet équilibré. Or ce cas est renfermé dans celui que nous venons de considérer, puisque nous avons suppose que la machine pouvoit avoir un mouyement quelconque, même fini.
Lagrange, dans sa Mécanique analytique, part du principe des vitesses virtuelles entre deux puissances seulement, comme d’une vérité fondamentale reconnue, et il entre en matière par .dre, ainsi que nous venons de le faire ma, s par la marche purement analytique qu’il a’ adoptée dans ce bel ouvrage, ce principes un système quelconque de puissances qui agissent simultanément.
P or ® u PP osons fi ue foutes les forces proposées
cun de ces S ° ient e ^ es ' m ® me s des poids : chaun de ces poids 8era , au h
du corps par la gravité. Donc la gravité étant urne
qg PRINCIPES 13 E L’ÉQUILIBRE force accélératrice commune à tous et verticale, nous pouvons, du principe précédent, conclure que dans toute machine à poids en équilibre, la somme des produits de chaque masse par sa vitesse virtuelle estiméede haut enbas dans le sens vertical, est égale à zéro. Mais on sait (116) que la vitesse du centre de gravité de haut en bas, est cette même somme divisée par celle des masses. Donc, dans le cas d’équilibre, dans une machine à poids quelconque, la vitesse virtuelle du centre de gravité estimée dans le sens vertical, est o. D’où suit le fameux principe indiqué par Toricelly , disciple de Galilée, que dans toute machine à poids eu équilibre, le centre de gravité est au point le plus bas possible ; et en elfet, si le centre de gravité est au point le plus bas possible, il ne pourra pas descendre; et comme il répugne à la nature des corps graves qu’il monte, sa vitesse sera o conformément au principe énoncé ci-dessus.
124 . Cette belle proposition étant, comme on le vient de voir, déduite des hypothèses établies ci - dessus comme lois fondamentales de l’équilibre et du mouvement , nous offre un moyen précieux de vériher l’exactitude de ces hypothèses. Car quoique cette vérité soit assez difficile à démontrer rigoureusement , elle est cependant de nature à être facilement pressentie
et à recevoir l’assentiment général par son seul énoncé , d’après les expériences journalières qui la confirment. En effet, nous voyons, par exemple , que 1 eau stagnante se tient toujours de niveau ; ce qui ne sauroit visiblement avoir lieu si son centre de gravité n’étoit au point le plus bas possible. Nous voyons qu’un corps isolé placé sur une surface courbe, cherche le point le plus bas de cette surface, et qu’il y demeure lorsqu’il y est placé. Or comme nous savons que dans le cas d’équilibre d’un système de corps on peut considérer toutes ses parties comme ne formant, pour ainsi dire, qu’une seule masse réunie au centre de gravité, nous concluons naturellement, que dans le cas d’équilibre, le centre de gravité général doit en effet se trouver au point le plus bas possible, quelle que soit la machine à laquelle les différens points du système seroient appliqués.
125 . En examinant ce principe avec plus d’attention encore, on demeure de plus en plus convaincu de sa justesse et de son importance : car voici le raisonnement très-plausible qui se présente à ce sujet, directement et sans remonter aux principes fondamentaux.
Imaginons une machine à laquelle il n’y ait d’autres forces appliquées que des poids : je la suppose d’ailleurs d’une forme et d’une cons-
loo PRINCIPES DE L’ÉQUILIBRE truction quelconque, mais sans qu’on lui ait imprimé aucun mouvement. Cela posé, quelle que soit la disposition des corps du système, il est clair que s’il y a équilibre , la somme des résistances des points fixes ou obstacles quelconques estimées dans le sens vertical contraire à la pesanteur, sera égale au poids total du système. Mais s’il naît un mouvement quelconque, une partie delà pesanteur sera employée à leproduire, et ce n’est qu’avec le surplus que les points fixes pourront se trouver chargés. Donc, dans ce cas , la somme des résistances verticales des poids fixes sera moindre au premier instant que le poids total du système ; donc de ces deux forces combinées , savoir le poids total du système et la charge verticale des points fixes, il en résultera une seule force égale à leur différence, et qui poussera le système de haut en bas comme s’il étoit libre ; donc le centre de gravité descendra nécessairement avec une vitesse égale à cette différence divisée par la masse totale du système ; donc si le centre de gravité ne descend pas, il y aura nécessairement équilibre. Donc en général, Pour s’assurer que plusieurs poids appliqués à une machine quelconque doivent se faire mutuellement équilibre , il suffit de prouver que si Von abandonne cette machine a elle - même , le centre de gravité du système ne descendra pas %
ET DU MOUVEMENT. iot
126. La conséquence immédiate de ce principe vrai sans exception, est que si le centre de gravité du système est au point le plus bas possible, il y aura nécessairement équilibre; car suivant cette proposition, il suffit, pour le prouver , de faire voir que le centre de gravité ne descendra pas ; or comment descendroit-il, puisque par hypothèse, il est au point le plus bas possible ?
127. On peut remarquer qu’il ne seroit pas exact de dire, que réciproquement toutes les foi^ qu’il y a équilibre , le centre de gravité est nécessairement au point le plus bas possible ; car il pourroit se faire qu’il fût au contraire au point le plus haut, ou que même il ne se trouvât ni au point le plus haut, ni au point le plus bas : ce sont, comme l’on sait, des exceptions assez ordinaires dans la théorie des maxima et minima. Mais le principe, tel que nous l’avons énoncé cidessus , a l’avantage de n’être sujet à aucune exception.
128. Comme ce principe s’offre en quelque sorte de lui-même à l’esprit, on doit le regarder comme très - important, attendu qu’avec une légère réflexion , on voit qu’il indique trés-clairement le principe des vitesses virtuelles, qui est avec raison regardé comme fondamental, et contenant en quelque sorte à lui seul toutes les
102 PRINCIPES DE t’ÉQUILIBRE lois de l’équilibre et du mouvement. Or ce principe n’est guère que celui du centre de gravité placé au point le plus bas possible dans les machines à poids légèrement modifié. Ce dernier principe est donc très-précieux, en ce qu’il met sur la voie des recherches qui doivent être faites pour trouver et constater celui des vitesses virtuelles, puisqu’en effet, pour ramener toute machina quelconque à une machine à poids, il n’y a qu’à substituer un poids à chacune des autres forces, au moyen d’une poulie de renvoi. Le centre de gravité sera alors au point le plus bas possible, ou plus exactement, il sera dans une position telle, que quelque mouvement infiniment petit qu’on imprime à la machine, le centre de gravité ne descendra pas. Donc la somme des produits de chacun de ces poids par le chemin vertical qu’il décrira, sera égale à zéro. Mais il est visible (122) que chacun de ces produits est égal à celui de la force dont ce poids tient lieu , multipliée par sa vitesse estimée dans le sens de cette force. Donc la somme des produits de chacune des forces proposées, multipliée par sa vitesse estimée dans le sens de cette force, est égale à zéro ; ce qui est précisément le principe des vitesses virtuelles appliqué à un nombre quelconque de forces.
129. Donc si plusieurs masses M animées chacune d’une force accélératrice/? se font mu-
OJ
tuellement équilibre autour d’une machine quelconque sans ressort, que V soit la vitesse de M en vertu du mouvement acquis, z l’angle compris entre les directions de p et V, la force motrice pM représentera chacune de celles qui sont appliquées à la machine ; V cos. z 3 sa vitesse estimée dans le sens de cette force 5 et par conséquent suivant le principe des vitesses virtuelles , on aura/pMV cos. z = o : formule dans laquelle la caractéristique / signifie l'intégrale ou la somme de.
130. Cette formule n’est pas seulement applicable aux forces motrices ou de pression , mais elle doit l’être pareillement aux forces de percussion , puisque les unes et les autres sont soumises aux mêmes lois, et de-là pourront se déduire les lois generales du choc des corps.
En effet, supposons que plusieurs corps durs viennent à se choquer d’une manière quelconque, soitMlamasse dechacun d’eux ,W sa vîtesseavant le choc,V sa vitesse après le choc, U la vitesse qu il perd par le choc, et z l’angle compris entre V et U.
Les forces qui se détruisent, et qui dans la formule précédente étoient exprimées par pM, le seront dans ce cas-ci par MU 5 donc la formule deviendra pour tout le systême/MUV cos. z = o.
131. Maintenant, comme W est la résultante de V et de U, ces trois vitesses seront représen-
loi principes de L’Équilibre
tées par les trois côtés d’un triangle dont l’angle opposé à W est le supplément de z : donc on aura
^ = ^ ^ "t" 2 V U cos. z. Multipliant tout
par M, et intégrant, on aura
/MW* =/MV’ +/MU- + a/MUVcos. z.
Mais on vient de voir que Je dernier terme de cette équation est o ; donc elle se réduit à /MW*=/MV l + /M U a ; propriété qui doit appartenir à tout système de corps durs, soit qu’ils se choquent immédiatement ou par l’entremise d’une machine quelconque sans ressorts.
l32. Cette dernière formule nous fournit de nouveaux moyens de vérifier les hypothèses d’où nous l’avons tirée ; car d’abord, si nous l’appliquons au choc direct de deux corps durs, nous trouverons les résultats d’accord avec les faits constatés par les raisonnemens les plus directement applicables à ce cas particulier.
Ensuite si nous supposons qu’il s’agisse d’un système quelconque de corps durs dont le mouvement change par degrés insensibles , nous voyons que U étant alors infiniment petite, U* est infiniment petite du second ordre; d’où il suit que la formule se réduit à /MW*= /M V a ; c’est-à-dire, qu’alors la somme des forces vives n’est point altérée ; principe fameux découvert par Huyghens, et que les phénomènes ont tou-
jours confirmé long-temps ayant qu’on en eût la démonstration générale.
lôô. Enfin, en observant que dans le choc des corps durs, la quantité de mouvement MU absorbée par le choc , est restituée par les ressorts dans le sens contraire, lorsque les corps sont parfaitement élastiques, on entrevoit que dans ce dernier cas, /M V a doit être plus grande que dans le premier, de cette même quantité /MU*, qui détruite dans le premier cas, est restituée dans le second; c’est-à-dire, qu’au lieu d avoir comme dans le cas des corps durs,
/M V* =/M W a — /M U a , on devra avoir pour les corps élastiques,
/MV a =/MW a .
Donc dans le cas des corps parfaitement élastiques, il ne doit y avoir aucune déperdition de forces vives , en quelque nombre que soient d’ailleurs les corps du système. Or on connoît depuis long-temps ce fait par analogie, d’après ce qui a lieu entre deux corps seulement, quoiqu il n’y en eut pas de démonstration générale.
l34. Ces résultats de nature si différente en apparence, et cependant tous concordans avec les hypothèses proposées, doivent nous donner dans la justesse de ces hypothèses, une confiance aussi entière qu’il est possible de l’espérer, dans une science qui est nécessairement fondée en
106 PRINCIPES DE L’É QUILIERE partie sur l’expérience. Nous regarderons donc désormais ces hypothèses, et les raisonnemens qui les appuient, comme confirmés les uns par les autres, et comme pouvant servir de bases à la théorie de l’équilibre et du mouvement. Et en nous fondant sur ces bases avec tous les Géomètres , nous essaierons de démontrer en rigueur les conséquences dont nous venons de donner l’apperçu , et nous en déduirons les formules analytiques de l’équilibre et du mouvement.
