MF .K

78 principes de L’équilibre Ajoutant toutes ces équations, on aura

MÂ.FV+MB.F^ 7 — MC.FV —MK.fF = MF (Âô + BÏ — Ce- — KÏ),

105 . Si toutes ces forces étoient dans un même plan , le second facteur du dernier membre se réduiroit à zéro (27) $ on auroit donc

MA.F MB.Ft/— MC.f7 = MK.fF'.

C’est-à-dire que la somme des momens des forces proposées à l’égard d’un point quelconque F, pris dans le plan de ces forces , en prenant négativement celles qui comme MC tendent à faire tourner dans le même sens que la résultante autour de ce point j seroit égale au moment de cette résultante à l’égard du même point.

Iû 4 . Si les forces sont dans des plans différens, en faisant la projection de tout le système sur un plan quelconque, et considérant le point F comme la projection d’une droite ou axe perpendiculaire à ce plan ; on conclura par les memes raisonnemens, que le moment de la résultante à l’égard de cet axe est égal à la somme des momens des forces composantes à l’égard du même axe,

105 . Lorsque la résultante est o, les forces proposées se font mutuellement équilibre. Donc:

ET DU MOUVEMENT. 7 g

Dans un système quelconque de forces en équilibre autour d’un point donné , la somme des momens des forces à l’égard d'un axe quelconque mené dans Vespace, est égale à zéro , en prenant au positif celles de ces forces qui tendent à faire tourner dans un sens , et au négatif, celles qui tendent à faire tourner dans le sens contraire.

106. Ce que nous venons de dire sur les forces qui concourent vers un même point, est également vrai pour tout autre système de forces en équilibre , puisque par la seconde hypothèse , chacune d’elles est égale et directement opposée à la résultante de toutes les autres ; ce qui ramène tous les cas possibles à celui où toutes les forces concourent au même point.

107. Sur les forces parallèles. Des forces parallèles peuvent être considérées comme concourant en un même point infiniment éloigné.

D’où il suit visiblement i°. que la résultante de plusieurs forces parallèles est égale à leur somme en prenant au négatif celles qui sont dans le sens opposé à cette résultante. 2°. Que la somme des momens de toutes ces forces parallèles à l’égard d’un axe quelconque pris dans l’espace, est égale au moment de la résultante à l’égard du même axe ; en prenant au négatif celles de ces forces

8 o PRINCIPES DE L’ÉQUILIBRE qui tendent à faire tourner autour de cet axe dans un sens contraire à cette résultante.

Ainsi, par exemple , si le système se rédui-

soit à deux forces parallèles A a , Bb appliquées aux extrémités d’un levier, et en équilibre autour d’un point fixe K, la résultante de ces deux forces , qui est toujours égale et contraire à celle qui fait équilibre à ces deux forces combinées, passeroit nécessairement par ce point fixe K ; et le moment de cette résultante à l’égard de ce point K étant o, il faudroit que les deux momens

Afl.KA et Bé.KB, fussent égaux entr’eux ; c’est-à-dire, que les forces A a, B 6 fussent en raison inverse de leurs bras de levier.

108. Cette proposition , la plus ancienne que l’on connoisse sur les lois de l’équilibre, fut découverte, comme on sait, par Archimede , et a toujours passé pour un principe fondamental. Sa liaison intime avec celui du parallélogramme des forces est facile à appercevoir. En effet,

Concevons un levier FKA (fig. 10), coudé au

pointfixeK,et dontlesbrasKA, KF soient égaux. En y appliquant perpendiculairement deux forces égales A a , B B', il n’y a aucune raison pour que l’une l’emporte sur l’autre $ ainsi il y aura équilibre.

ET' DU MOUVEMENT. gl

Prolongeons^ bras du levierKA au-delà du point K, jusqu’à ce qu’il rencontre la direction FBB' de la force appliquée au point F, et supposons cette force F appliquée maintenant au point B de sa direction ^équilibre ne sera pas

troublé : ainsi les forces An, BB 7 a ppliquées aux

extrémités de A, B du levier AK.B, dont les bras sont inégaux, se feront équilibre. Cela posé,

La force B B estimée dans le sens Bé > per pendiculaire au nouveau levier,est évidemment la seulequi agisse sur le point A ; car celle que

donne BB dans le sens B b du levier, tirant sur le poitit^fixe K, est détruite par lui; donc la

force Bé qui est la première BB 7 estimée perpendiculairement aulevier, est la seule qui fasse

équilibre à la force An. Il reste donc à trouver le rapport de cette force An à la force Bé.

Or les triangles semblables BB'é, BKF donnent

BB' : Gb ::BK FK, ou BB'.FK = BÏ.BK; mais

—Aor, etFK=KA;doncAû!.KA = BA.BKa

C’est-à-dire, que les deux forces A a, B b, qui s 0 font mut„ell emen t équilibre aux extrémités du levier droit BK.A , doivent être en raison inverse de leurs bras de levier.

109. Ce que nous venons (te dire de deux forces parallèles seulement appliquées au levier, s’étend visiblement à un nombre quelconque de forces parallèles en équilibre autour de ce même levier ; car la résultante de toutes ces forces passant nécessairement par 1e point fixe , son moment à l’égard de ce point fixe sera nul, et par conséquent, en rapportant tous tes momens à ce point fixe, la somme des momens de celtes de ces forces qui tendent à faire tourner ce levier dans un sens , sera égale à la somme des momens des forces qui tendent à faire tourner dans 1e sens contraire.

3 IO. Concevons plusieurs corps A, B ,C, &c.

(fig. il), animés de différentes forces, toutes parallèles entr’elles. On voit par tes principes exposés ci-dessus , que pour trouver la résultante des deux forces A, B, il faut diviser la droite AB au point m en parties réciproquement proportionnelles à ces forces 5 que cette résultante sera A + B, qu’elle passera par 1e point m , et qu’elle sera parallèle aux premières. Cette résultante trouvée, on n’aura par la même raison , qu’à diviser la droite mC au point n , en raison réciproque de cette résultante A-f-B et de la force C : et si par 1e point 72, on mène une parallèle aux forces données, elle sera la direction de la résultante des trois forces A, B, C, et

ET DU MOUVEMENT. g-

cette résultante sera A + B + C. En continuant «le pareilles opérations sur les autres forces du système, on déterminera le point Q par lequel doit passer la direction de la résultante générale : cette résultante sera la somme de toutes les forces composantes et parallèles à ces mêmes forces.

Or il faut observer que la construction indiquée ci dessus ne dépend nullement de la direction des forces , mais seulement de leur grandeur et de leur parallélisme. Ainsi, les points 771 > 71 » ° ? P ? Q seroient toujours les memes, si les forces restant les memes , changeoient seulement de direction en demeurant parallèles. Ces points sont nommés centres des forces parallèles jc’est-àdire, que le centre des forces parallèles A, B est m; celui des forces parallèles A , B, C est n, &c. et qu enfin Q est le centre des forces parallèles , du système général.

lll. Concevons que de chacun des points A , B, C , &c. m , n, o, p, &c. on abaisse des perpendiculaires A a, BZ>', W, & c . sur un plan quelconque. Il est aisé de voir, que puisque les

ïnomens A.A m, B Bm sont égaux à l’égard du point m , on devra avoir à l’égard d’un point

quelconque m 0 pris sur la direction de AB, A.Am +B.B/7&" = (A+B )mm“; car on a

Am = Am^rrirn ", Bm = mm '— Bm.

84 PRINCIPES DE L’ÉQUILIBRE Substituant ces valeurs dans l’équation A Am

— B B m = o que donne l’égalité des momens à l’égard du point m , on aura

A. A m ' 1 -f B. B m" = ( A + B) mm".

On pourroit par un semblable raisonnement, en regardant la résultante A + B de A et B, comme une seule force appliquée au point m, et nommant n, o',p, q\ &c. les points où tomberoient les perpendiculaires abaissées sur le même plan, des points n, o,p, q , &c. ; on prouveroit, dis-je, qu’on doit avoir

A-Aa'-f-B.B&'-f-C.Cc'-f-D.DcT == ( A-f-B-f-C-f-D) od f

ainsi de suite. C’est-à-dire qu’en général,

Dans un système de forces parallèles , la somme des momens de ces forces à Végard d’un plan donné, ou la somme des produits de chacune de ces forces par la distance du point où elle est appliquée à un plan quelconque donné , est égale à la somme de toutes ces forces multipliée par la distance de leur centre général au même plan.

Donc si l’on nomme A, B , C, D , &c. plusieurs forces parallèles appliquées à des corps quelconques; a , h , c , d , &c. les distances de ces corps à un plan quelconque 5 p la distance du

centre général de ces forces au meme plan , on aura

donc

__A.Æ-|-B.£-fC.c- 4 - &c.

112. Sur le centre de gravité. Si tous les corps sont liés entr’eux d’une manière invariable , la construction indiquée ci-dessus (no) pour déterminer le centre des forces , sera évidemment toujours la même , quelque position qu’on donne à ce système, pourvu que les forces restent toujours les mêmes qu’auparavant , et parallèles à leurs premières directions. Donc ce centre de forces conservera toujours la même position à l’égard de chacun des corps du système.

113 . Supposons que les forces considérées soient les poids des corps A, B, C, D , &c. le centre des forces sera alors ce qu’on nomme le centre de gravité du système.

Donc dans un système de corps dont toutes les parties sont invariablement liées entr’elîeè, le centre de gravité ne change point à l’égard des diverses parties de ce système, quelque position qu’on lui donne dans l’espace.

Et puisque la gravité est constante, c’est-àdire, puisque les poids sont proportionnels aux

masses , la distance de ce centre de gravité à un plan quelconque, sera égale à la somme des produits de chacune de ces masses par sa distance au plan proposé, divisée par la somme des masses.

114. Donc si le système change de position en général, ou si les diverses parties de ce système changent de position entr’elles , le chemin qu’aura fait le centre de gravité pour se rapprocher de ce même plan , sera égal à la somme des produits de chacune des masses, par le chemin qu’elle aura fait pour se rapprocher de ce plan , divisée par la somme de ces mêmes masses ; et si parmi ces corps quelques-uns s’éloignoient au lieu de se rapprocher, il faudroit faire entrer négativement ces éloignemens dans l’égalité précédente.

11 5 . Donc la vitesse du centre de gravité d’un système quelconque de corps , soit que les diverses parties en soient liées ou non entr’elles;. cette vitesse, dis-je, estimée dans un sens quelconque, est égale à la somme des produits de chacune des masses par sa vitesse estimée dans ce sens , divisée par la somme de ces masses, ou par la masse totale du système.

116. Donc la somme des quantités de mouvement des différentes parties d’un système de corps y estimées dans un sens quelconque , est égale a la masse totale du système , multipliée

par la vitesse du centre de gravité , estimée dans le même sens, soit que les corps soient invariablement liés entr’eux ou non.

117. Concevons un système quelconque de corps auxquels soient appliquées des forces quelconques. Décomposons chacune de ces forces en trois autres parallèles à trois axes donnés , perpendiculaires entr’eux ; le système général des forces se trouvera ainsi réduit à trois systèmes de forces parallèles, et Ton pourra appliquer à chacun d’eux , ce que nous avons dit en général des propriétés d’un système quelconque de forces parallèles entr’elles.

Soient A , B, C, D , &c. ces forces ; imprimons à chacun des corps qu'elles animent un mouvement quelconque; nommons A', B', C', &c. les vitesses respectives de chacun de ces

corps, et de plus , désignons par A A , B B', C C', &c. les angles compris entre la direction de la force de chaque mobile, et la direction de sa vitesse ; c’est-à-dire, que la forme A A' est prise pour exprimer l'angle compris entre les directions de A et A', ainsi des autres.

Enfin nommons a, a, « les trois forces dans lesquelles A est décomposée parallèlement aux trois axes donnés, et par a', a\ les trois vitesses dans lesquelles on peut décomposer la vitesse A' parallèlement à ces mêmes axes $ ainsi des autres.

88 principes de L’Équilibre

ll8. Il est prouvé en géométrie, que lorsque deux droites se croisent sous un angle quelconque, si Ton fait les projections de ces deux droites sur chacun des axes, le produit de ces deux droites par le cosinus de l’angle compris , est égal à la somme des trois produits de leurs projections sur chacun de ces axes.

Donc nous aurons

A. A .cos. A A'~ aa'-f-aa'-f- état', et pareillement

B. B'.cos. B' S B' = bh' + b 6 / +/ 20 '