DÉFINITIONS

136. Tout mouvement, qui imprimé à un système de corps ne change rien à Vintensité de Vaction qu’ils exercent ou pourraient exercer les uns sur les autres si on leur imprimoit d’autres mouvemens quelconques , sera nommé mouvement géométrique.

La vitesse que prend alors chaque mobile y sera nommée sa vitesse géométrique.

Ainsi, par exemple, si lorsque deux corps sont

au moment de se heurter, on leur imprime un mouvement commun , il est clair qu’on ne changera rien à l’intensité du choc qui doit avoir lieuj car ( 73 ,5 e hyp.) ces deux corps n’agissent point l’un sur l’autre en vertu de leurs vitesses absolues, mais seulement en vertu de leur vitesse relative. Or le mouvement commun qui leur a été imprimé n’altère point çette vitesse relative , mais seulement les vitesses absolues. Donc l’intensité du choc reste la même : ainsi ce mouvement commun imprimé à tout le système, est de ceux que je viens de nommer mouvement géométriques.

l57. Il en seroit de même, si les deux corps au lieu d’agir immédiatement l’un sur l’autre par choc ou par pression , se poussoient par une verge ou se tiroient par un fil : tout mouvement qui seroit commun à ces deux corps ne changeroit rien àleur vitesse relative, ni par conséquent à leur action réciproque, et seroit par conséquent un mouvement géométrique .

La même chose auroit lieu encore, si au lieu de deux corps seulement il s’agissoit d’un système quelconque de corps parfaitement libre dans l’espace ; c’est-à-dire, qui ne seroit gêné par aucun point ou obstacle fixe, et dont toutes les parties seroient emportées d’un mouvement commun. Ce mouvement commun ne changeroitrien

aux vitesses relatives des corps qui entreraient dans la composition du système, ni par conséquent à l’action qu’ils pourroient exercer les uns sur les autres , et ce mouvement commun seroit par conséquent un mouvement géométrique.

l38. Enfin, non-seulement l’action exercée par les corps du système les uns sur les autres , n’est pas changée par ce mouvement commun ; mais toute autre action qui pourroit avoir lieu entr’eux , demeureroit également indépendante de ce mouvement ; car cette action, quelle qu’elle fût, ne dépendroit toujours que des vitesses relatives. Or ces vitesses relatives ne sont point altérées par le mouvement commun. Voilà pourquoi il est dit dans la définition , Vaction que les corps exercent ou pourroient exercer les uns sur les autres. C’est qu’il ne s’agit pas seulement de l’action réellement exercée, mais encore de toutes celles qui pourroient l’être, eu égard à la disposition respective des parties du système, si on venoit à leur imprimer d’autres vitesses relatives que celles qu’ils ont. Ainsi la définition a lieu, soit que les corps agissent réellement les uns sur les autres, soit qu’ils demeurent en simple juxtaposition.

i3g. Les mouveinens communs à toutes les parties d’un système de "orps, ne sont pas les seuls auxquels, d’après la définition précédente,

ni

on peut appliquer le nom de mouvemens géométriques : il en est une infinité d’autres qui n'altèrent pas davantage l’action réciproque que les corps exercent ou pourroient exercer les uns sur les autres.

Que, par exemple, deux corps A, B soient attachés (fig. 1 5) aux extrémités d’un levier mobile autour d’un point fixe C. Si l’on imprime en même temps aux corps A , B les vitesses circulaires Aa, B b, perpendiculaires et proportionnelles à leurs bras de levier respectifs AC, BC, dans un même plan et en sens opposé; il est clair que ces vitesses ne se gêneront point l’une l’autre, que par conséquent elles ne tendront ni à augmenter ni à diminuer l’action respective qu’exercent réellement d’ailleurs , ou que pourroient venir à exercer ces deux corps l’un sur l’autre, soit en vertu de la pesanteur, par exemple , ou d’une autre manière quelconque. Donc ce mouvement de rotation du levier est de ceux que j’ai nommés mouvemens géométriques.

l4o. Que A , B soient deux corps attachés aux extrémités d’une corde qui passe sur une poulie fixe (fig. 16 ), et dont les deux cordons soient verticaux. Qu’on imprime au corps A, par exemple , une vitesse quelconque de haut en bas, et au corps B une vitesse égale de bas en haut. Il

112 Pli INC IPES DE L’ÉQUILIBRE est clair que quelle que soit, ou quelle que puisse être Paction transmise par la corde de Pun de ces corps à Pautre, cette action ne sera point altérée par les vitesses imprimées aux corps A et B. Donc ce mouvement imprimé au système sera de ceux que j’ai nommés mouvemens géométriques.

l4l . Que A, B soient deux mobiles attachés aux extrémités d’un fil qui passe (fig. 17 ) dans un anneau coulant C; qu’on imprime à ces corps des vitesses telles, qu’étant animés de ces vitesses seules, ils se mouvroicnt suivant les lignes quelconques A a , A b, telle qu’au bout d’un temps infiniment court, on auroit aC£ = ACB; le mouvement sera géométrique : car un semblable mouvement seul ne tendant ni à alonger le fil, ni à le raccourcir. ne peut ni augmenter ni diminuer sa tension , et ne change par conséquent rien à Paction que les corps pourroient d’ailleurs exercer Pun sur Pautre. Donc il est de ceux que j’ai nommés mouvemens géométriques .

14a. Qu’on ait une vis verticale avec son écrou 5 qu’on fasse monter uniformément cet écrou delà hauteur d’un pas de la vis,^Tendant qu’on feia faire aussi uniformément un tour entier à la barre qui traverse la vis. Ces deux mouvemens s’accorderont de telle sorte, qu’ils ne pourront se gêner Pun par l’autro. Donc ils ne pourront altérer en

ET DU MOUVEMENT. lj5

aucune manière l’action quepourroient d’ailleurs exercer l’un sur l’autre l’écrou, et le mobile qu’on auroit attaché à l’extrémité de la barre. Donc le mouvement imprimé au système est de ceux que j’ai nommés mouvemens géométriques .

l45. Enfin supposons qu’à tous les angles d’un polygone ABCDE (fig. ,8), plan ou gauche , soient appliqués des corps A, B , C D E unis soit par des verges, soit par des fils /représentés par les cotés de ce même polygone, et mobiles autour des sommets des angles comme autour d’une charnière. Si l’on fait prendre à ce polygone une forme abcde infiniment peu différente de la première , mais telle que chacun des cotes conserve toujours exactement sa longueur,^est-à-dire^telle que l’on ait toujours

== ab, BC = bc, &c. ce mouvement sera géométrique ; c’est-à-dire, que les vitesses représentées par ~ka, ^Bb , (h?, lùd, Be, ne changeront rien a l’action réciproque que les corps du système peuvent dlilleurs exercer les uns sur les autres. Car le corps A, par exemple, ne peut avoir d’action immédiate que sur les corps B, E placés aux angles voisins , et cette action 'sur chacun d’eux ne dépend que de leur vitesse relative. Mais puisque par hypothèse on a AB

AE = aey l es vitesses relatives de A et B ne

Ïl4 PRINCIPES DE L’ÉQUILIBRE changent pas, non plus que celle de A et E.Dond Faction de A sur B, et celle de A sur E, ne changent pas non plus. Il en est de même de tous les corps du système comparés deux à deux, lorsqu’ils ont l’un sur l’autre une action immédiate. Quant aux actions respectives qui ne sont point immédiates,telles que celle de A sur C,il est inutile de les considérer ; car Faction de A sur C se transmet toujours ( 73 ) de l’un à l’autre par une suite d’actions immédiates; savoir, d’un côté, par Faction immédiate de A sur B, puis par celle de B sur C, et de l’autre, par Faction immédiate de A sur E, puis par celle de E sur D ; puis enfin par celle de D sur C. L’action de A sur C se résout donc toujours en une suite d’actions directes; et par conséquent, lorsqu’on a tenu compte de toutes celles-ci, il est inutile de considérer les autres. Donc enfin le mouvement qui résulte du changement de forme du polygone 7 tel qu’il est indiqué ci-dessus, ne tend en aucune manière, ni à augmenter ni à diminuer l’intensité de Faction respective des corps du système; donc ce mouvement est de ceux que j’ai nommés mouvemens géométriques.

l44„ Il me semble que par ces explications, la nature des mouvemens que je nomme géométriques , doit être parfaitement entendue. Elle s’applique sans distinction à toutes les espèces de

ET DU MOUVEMENT. Ij( ^

corps durs, mous, élastiques , solides ou fluides. Cette dénomination de mouvemens géométriques , est fondée sur ce que les mouvemens dont il s’agit n’ayant aucun effet sur Paction qui peut s’exercer entre les corps du système, sont absolument indépendans des réglés de la dynamique. Car si l’on conçoit un système dont toutes les parties soient en simple repos, et non en équilibre ; c’est-à-dire tel qu’il n’y ait entre les parties contiguës qu’une simple juxta-position, sans choc, pression ou action quelconque de l’une sur l’autre ; alors quelque mouvement géométrique qu’on fasse prendre au système, ce mouvement Réprouvera aucune altération, puisque si une portion quelconque de ce mouvement étoit détruite, ce ne pourroit être que parce que les corps ne pourroient le prendre sans se gêner les uns les autres 5 c'est-à-dire , sans exercer les uns sur les autres une action quelconque. Or cela est Contre l’hypothèse, puisqu’il est de la nature des mouvemens géométriques de ne faire naître aucune action des corps les uns sur les autres. Ces mouvemens sont donc absolument indépendans des réglés de la dynamique : ils ne dépendent que des conditions de la liaison entre les parties du système, et peuvent par conséquent se déterminer par la seule géométrie ; c'est pour cela que je l es nomme mouvemens géométriques.

jl6 PRINCIPES DE L’ÉQUILIBRE

3 45. La théorie des mouvemens géométriques est très-importante 5 c’est, comme je l’ai déjà observé ailleurs [Géométrie de position , page 337 ) , une espèce de science intermédiaire entre la géométrie ordinaire et la mécanique. C’est la théorie des mouvemens que peut prendre un système quelconque de corps sans qu’ils se gênent réciproquement, sans qu’ils exercent l’un sur l’autre aucune action ni réaction quelconque. Cette science n’a jamais été traitée spécialement : elle est entièrement à créer, et mérite, tant par sa beauté en elle-même que par son utilité, toute l’attention des Savans ; car les grandes difficultés analytiques qu’on rencontre dans la mécanique, et sur - tout dans l’hydraulique, viennent uniquement de ce que la théorie des mouvemens géométriques n’est point faite. Je me bornerai ici à rechercher les principales propriétés de ces mouvemens , en tant qu’elles me sont nécessaires pour l’ouvrage que j’ai entrepris.