DÉFINITION

160. Lorsqu’il y a équilibre dans un système de corps, soit immédiatement, soit par l’entremise d’une machine quelconque sans ressort , et qu’on vient à déranger cet équilibre par l’action d’une force infinimentpetite , la vitesse que prend alors chacun des corps du système , se nomme sa vitesse virtuelle , et le mouvement général du système se nomme alors son mouvement virtuel .

théorème ix.

161. Tout mouvement virtuel dans un système quelconque de corps est nécessairement géométrique.

Car ce mouvement virtuel doit par sa définition être produit par une force infiniment petite dans le système en équilibre, mais par le théorème précédent, dans un système en équilibre, une force infiniment petite ne peut produire qu’un mouvement géométrique ; donc le mouvement virtuel produit quel qu’il soit, est nécessairement de ceux que nous avons nommés mouvemens géométriques. Ce qu’il falloit prouver.

COROLLAIRE

162. Donc la recherche des mouvemens virtuels , dans un système quelconque de corps, ne dépend que des conditions de la liaison qui existe entre les parties du système, et nullement des réglés de la mécanique , elle fait partie de la science que nous avons dite (i 45 ) intermédiaire entre la géométrie ordinaire et celle de la communication des mouvemens.

théorème x.

l6^>. Dans le choc de deux corps durs, soit que Van et Vautre soient mobiles , ou qu 3 il y en ait un de fixe, la somme des produits de la quantité de mouvement perdue par chacun d eux, multipliée par sa vitesse après le choc , estimée dans le sens de cette quantité de mouvement , est égale à zéro.

Soient A et B (fig. ao ) les deux corps proposés. Je suppose que leurs vitesses avant le choc soient représentées tant pour leurs grandeurs que pour leurs directions, respectivement par

A A', li B'j que les vitesses après le choc le soient par Aa, B b, et qu’enfin les vitesses perdues par le choc le soient par Ââ', W.

La vitesse AA' sera donc la résultante de Ta

102 PRINCIPES DE L’ÉQUILIBRE et de A a, et la vitesse B B' sera la résultante de B b et de BZ>'.

De plus, puisque l’action et la réaction doivent être égales et contraires, les directions ka,

BZ/ se trouveront sur une meme ligne droite AB, et l’on aura

kTkd — — B.B6'. (A)

Mais par le principe de la vitesse relative après le choc égale à zéro pour les corps durs, comme on les suppose ici ; c’est-à-dire, de l’égalité de leurs vitesses estimées dans le sens de l’action de

l’un sur l’autre ; ka et B b , l’une et l’autre estimées dans le même sens AB, doivent être égales $ c’est-à-dire, qu’on doit avoir l’équation

Aa.cos. aka = BZ» cos. bBb'. (B) Multipliant cette dernière équation par l’équation (A), et transposant, on aura

k•ka. kd • cos. a A d 4 - B.B6.B6'.cos.&B£'=o,(C),ou (A.Aa') (Aa.cos. akd ) + (b.BZ>) (b&.cos.£BZ>')=o,(D).

Or A kd est la quantité du mouvement perdue par le corps A, et ka . cos. aka est sa vitesse estimée dans le sens de cette quantité de mouvement. De même, B.B6' est la quantité de mou-

Vement perdue par B, et Bécos. bBb' est sa vitesse estimée dans le sens de cette force. Donc cette équation (D) n’est autre chose que la traduction algébrique du théorème énoncé.

Cependant nous avons supposé dans la démonstration , que les deux corps A et B sont mobiles l’un et l’autre. Si l’un des deux , B, par exemple, étoit fixe, la réaction ne seroit plus égale et contraire à l’action, et l’équation (A) trouvée ci-dessus n’auroit plus lieu ; mais l’équation ( B) seroit toujours vraie, parce que ce corps fixe ou obstacle est supposé sans ressort. Donc à

cause de Bb = o , l’équation (C) subsisteroit encore; donc l’équation (D) auroit lieu comme dans le premier cas; donc cette équation (I>) que nous venons de voir être la traduction algébrique du théorème, a toujours lieu , soit que les deux corps soient mobiles, soit qu’il y en ait un de fixe; donc le théorème énoncé est vrai dans tous les cas possibles. Ce qu’il falloit prouver.

corollaire premier.

i 64 . Nous pouvons donner à l’équation (D) la forme suivante

A. A o (a A', cos. A'A a —A a)

-fB.BÆ (bB'. cos. B'B b — ~Bb) = o (E);

l 34 PRINCIPES DE L’ÉQUILIBRE

car AA' étant la résultante de A a et de A a t nous devons avoir (26)

Aa.cos.aAa = A A. cos. A'A a — A a 136 '.cos. ùBh' = BB'.cos,BB6 — BÂ

Substituant ces valeurs de A a , cos.aAfl\

B6 .cos. 6B6' dans l’équation (C), il viendra 1 équation (E ). Ce qu*il falloit démontrer .

COROLLAIRE II

l 65 . Pour fixer plus facilement les idées, nous distinguerons par les dénominations suivantes , les diverses quantités qui entrent dans les équations qui précèdent : nous ferons

la masse du corps A ==.A

la masse du corps B =■. B

la vitesse AA' du corps A avant le

tll0c =.. (W,A)

sa vitesse A a après le choc = ,. (V, A)

la vitesse A a! qu’il perd par le

choc = ..... ( U, A )

la vitesse qui lui est imprimée par le corps B , en vertu du choc , et qui est (4i) égale et contraire à (U, A) = . (U,B,A)

l’angle A'A a que fait sa vitesse après le choc, avec sa vitesse

avant le choc =......

l’angle A'A a que fait sa vitesse avant le choc, avec la vitesse qu’il perd par le chod = i..,.

l’angle aAa' que fait sa vitesse après le choc , avec la vitesse qu’il perd par le choc ==* « ; *..

Et pareillement,

la vitesse B B' du corps B avant

le choc = .

sa vitesse après le choc == , ... .

la vitesse qu’il perd par le choc == la vitesse que lui imprime le corps A en vertu du choc, et qui doit être égale et diamétralement opposée à la précédente == ... • .

l’angle B'B b que fait sa vitesse après le choc , avec sa vitesse

avant le choc =.

l’angle BB6' que fait sa vf'Jesse avant le choc, avec la vitesse qu’il perd par le choc l’angle 6B7>' que fait sa vitesse après le choc, avec la vitesse qu’il perd par le choc — ....

(W,A ftv.A) (W,A) A (U,A) (V,A) A (U,A)

t36 principes de L’équilibre Cela posé, il est clair que les formules (D) et (E) prendront les formes suivantes :

A. (U, B, A) (\r A) cos. (V, A) A (U, B, A)

+ B. (U,A,B) (V,B) cos. (V,B) A (U,A,B) = o, (D')

A * [(W,A) cos. (W,A) A (V,A)-(V,A)]

4 B.(V,B) [(W,B)cos. (W,B) A (V,B)-(V,B)]=o,(E'). *

Remarques.

166. On voit aisément quel est l’objet des dénominations proposées dans le corollaire pré^ cèdent. Elles seroient inutiles, si nous devions nous borner à comparer deux corps comme A et B ; mais notre but est détendre la théorie du choc à un système quelconque; et alors il y auroit trop de caractères différèns à employer pour désigner toutes les quantités qui doivent être combinées, si on ne réduisoit ces caractères à un petit nombre au moyen d’un arrangement systématique de ces caractères, propre à faire voir ce à quoi chacun se rapporte, et à mettre une sorte d uniformité dans les expressions. Cet objet peut se remplir de plusieurs manières : celle que j’ai adoptée consiste à désigner d’abord chacun des corps du système par une lettre particulière* puis en général par W, la vitesse avant le choc; par V, la vitesse après le choc ; par U, la vitesse’ perdue par le choc, en adjoignant à ce caractère

commun celui du corps auquel ces vitesses appartiennent : puis on désigne les angles compris entre ces vitesses par les expressions de ces memes vitesses, séparées par le signe a placé en haut. Par ce moyen, les mêmes formules s'étendent à nn nombre quelconque de corps , sans qu'il soit besoin de multiplier les caractères qui doivent désigner leurs vitesses et les directions de ces .vitesses.

167. Pour montrer l'usage qu'on peut faire de ces expressions, considérons (fig. 21) un système quelconque de corps A , B , C , D, E, &c. qui se touchent les uns les autres deux à deux, trois à trois, &c. d'une manière quelconque.

Les vitesses de ces corps avant le choc, seront: (W, A) , (W, B), (W,C), &c.

Leurs vitesses après le choc, seront :

Leurs vitesses perdues par le choc , seront :

Les angles que formeront entr'elles les vitesses CW, A) et (V, A), (W,B) et (V, B), (W, C) et (V, C), &c. seront:

(W,Af(V,A), (W,BMV,B), (W,C)V,C), &c.

La vitesse que A imprime à B sera ( U, A, B) j celle que B imprime à C sera (U, B, C), &c.

158 PRINCIPES DE L’ÉQUILIBRE Par conséquent la quantité de mouvement que A imprime à B sera B(U,A,B); la quantité de mouvement que B imprime à Csera C(U,B,C)j ainsi des autres.

Ainsi (U, A ), par exemple, qui est la vitesse perdue par A, et qui par conséquent est égale et diamétralement opposée à sa vitesse gagnée, sera aussi égale et diamétralement opposée à la résultante de toutes les vitesses qui sont imprimées au corps A par tous les autres corps du système. Mais ceux de ces autres corps qui impriment du mouvement à A , se réduisent (i 46 ) à ceux qui sont contigus ; c’est-à-dire dans la figure examinée ici, aux trois B, G, L. Donc nous aurons (26),

(U,A) cos. (U,A) A (V,A)=— (U,B,A) cos. (U,B,A) A (V,A) —(U,G,A)cos. (U,G,A)^ (Y, A) —(U,L,A) cos.(U,L,A) A (V,A)

De même, nous aurons pour le corps F, par exemple :

(U,F) cos. (Ü^V.F) r= - (U,B,F) cos. (U,B,F) A (V,F)

— (U,C,F) cos. (U,C,F) A (V,F)

— (U,H,F) cos. (U,H,F; A ( V,F) —(U,I,F) cos. (U,I,F) A (V,F) —(U,K,F)cos. (U ; K.F) A (V,F)

Equations qui signifientsimplement que la vitesse 1

ET DU MOUVEMENT. i5 9

perdue par le corps A, estimée dans le sens do la vitesse qui lui reste après le choc, est égale et diamétralement opposée à la somme des vitesses qui lui sont imprimées simultanément par les corps B, G, L auxquels il est contigu, toutes exprimées dans le même sens de cette vitesse qui lui reste ; que pareillement, la vitesse perdue par F, estimée dans le sens de la vitesse qui lui reste après le choc , est égale et diamétralement opposée à la somme des vitesses qui lui sont imprimées simultanément par les corps B,C, H, ï, K auxquels il est contigu , toutes exprimées dans le meme sens, de cette vitesse qui lui reste; ainsi des autres.

théorème xi.

l68. Dans le choc des corps durs , en quelque nombre qu’ils soient dans le système, et soit que tous soient mobiles ou qu’il y en ait de fixes, la somme des produits de la quantité de mouvement perdue par chacun de ces corps , multipliée par sa vitesse apres le choc , estimée dans le sens de cette quantité de mouvement perdue 9 est égale à zéro.

Cette proposition n’est autre chose que le théorème énoncé (iB 3 ) étendu à un nombre quelconque de corps, et se démontre facilement au moyen de celui-ci. En effet,

Soient tant de corps qu’on voudra.

l4o PRINCIPES DE L’EQUILIBRE entre lesquels il survient un choc. La figure explique assez ceux de ces corps qui sont contigus, et entre lesquels seuls par conséquent, il s’exerce une action immédiate. Cela posé par la remarque précédente (ififi), on voit que nous avons cette série d’équations , en meme nombre qu’il y a de corps dans le système. ;

A(U,A)(V,A)cos.(U,A) A (V,A) r =—a (U,B,A) (V,A)cos.(U B,A) A (V,A)

— A (U,G,A) (V,A)cos.(U,G ; A) A (V,A) | — A(U,L,A)(V,A)cos.(U.L,A) A (V,A) 3

B(U,B) (V,B)cos.(ü,Bf(V,B) = B(U,A,B) (V,B)co».(ü,A,Bf(V ; J3)

- B (U,C,B) (V.B)cos. (U,C,Bf(V,B) 1 — B (U,F,B) (V,B)cos. (U,F,B) A ( V,B)

— B (U,G,B) (V,B)cos.(U,G,Bf (V,B)

C(Ü,C) (V,C) cos. (U, cf (V, G)=—C(U,B,C) (V,C)cos.(ü,B,C) A (y,C)

- C (U,D,C) (y,C)cos.(ü,D,cf(V,C)

— C (U,E,C) (V,C)cos.(ü,E,cf (V,C)

— C (U,F,C) (V,C) cos. (ü,F,cf(V,C)

D(CJ,D) (V,D)cos.(U,D) A V,D)=—D(ü,C,D)(V,D)cos.(ü,C,Df(V,U)

E ( lT » K ) ( V >E) cos.(U,E A ( V,E)= — E(U,C,E) (V,E)cos.(U,C E) A (V,£)

F ( U > F ) (V,F) cos. (U,Ff(V,F) = — F(U,B,F) (V,F)cos. (U,B,F) A (V ; F)

— F(LT,C,F) (V,F) COS. (U,C,F) A (V f)

— F [U,H,F) (y^F)cos.(U,H^*') A (V,f) F (^»I>F) (V,F) cos. (U,I,F) A ( V,f)

“F (U,K,F) (V,F) cos.(U ; K,F A (y,F)

et du mouvement. l4l G (U,G)(V,G)cos.(U ; G)V,G)=-G{U,A,G)(V,G)co s (U > A 1 G) A (V,G)

- G (U,B, G) (V,G)oos.(ü,B,G) A (V,G) — G(U,H,G)(V,G)cos.(ü,H,G) A (v,G)

(G,II) ( V,H)cos.(U,H) (V,H) = — H (ü,F,H)(V,H)cos.(U,F,G) A (V,H) —H(U,G,H) (V ,H)cos. (U,G,H A ; V,H)

j — H(ü,I,H)(V,H)cos.(U,I,H) A (V,H)

(Ü > 1 ) (V, I ) cos. (U, I ) A (V, I) = -1 (U, F, 1) (V, I) cos. (U, F, lf(V, I ) -1 (U,II, i) (V,l) cos. (U,H, I) A (V, I)

- I (U,K,I) (V,I) cos. (U,K,lf (V ,I)

K (G,K)(V,K)cos.(U,K) (V,K)=-K(U,F,K)(V,K)cos.(ü,F,K) A (V jK ) K (U,I,K) (V,K)cos. (U,I,K) A (V,K)

‘‘(Ü ) L)(V ) L)cos.(ü,L A (V,L) = L(U,a,L)(V,L)cos.(ü,A,L) A (V,L).

J ajoute ensemble toutes ces équations , et je vois aisément, que tous les termes du second membre se détruisent deux à deux, en vertu du théorème énoncé (i 63 ) 5 car, par exemple, le premier terme du second membre de la première équation, exprime évidemment (i64) la quantité de mouvement imprimée à A par B, estimée dans le sens de la vitesse de A après le choc, et pareillement, le premier terme du second memb re de la seconde équation est la quantité de mouvement imprimée à B par A, estimée dans le sens de la vitesse de B après le choc. Or, par la proposition que nous venons de citer, la somme de ces deux quantités est o, comme on le voit

l4a PRINCIPES DE L’ÉQUILIBRE par la formule (D') (i65) , qui est la traduction de cette proposition , et qui est la somme meme dont nous venons de parler.

Par la même raison, on voit que lé second terme du second membre de la première équation , et le premier terme du second membre de la septième , doivent faire ensemble une somme égale à zéro ; de même, le troisième terme du second membre de la première équation, et le premier terme du second membre de la onzième; de même, le second terme du second membre de la seconde équation , et le premier terme du second membre de la troisième équation : ainsi de suite* Donc tout le second membre de l’équation résultante de la somme de toutes les autres s’évanouit; donc la somme des premiers membres est aussi zéro.

Or la somme de ces derniers est visiblement la somme des produits de la quantité de mouve-* ment perdue par chacun des corps du système* multipliée par sa vitesse après le choc, estimée dans le sens de cette quantité de mouvement* Donc cette somme est égale à zéro ; ce qui est précisément l’énoncé de la proposition. Ce qufit falloit démontrer.

COROLLAIRE PREMIER

169. Représentons par M la masse de chacun des corps du système, par Vf sa vitesse avant le

choc, par Y sa vitesse après le choc, par U la vitesse qu’il perd par le choc , par le signe /n en général, interposé en haut entre les expressions de deux lignes quelconques, l’angle qu’elles forment ; et enfin par fom. la somme de toutes les quantités du même genre. Nous aurons donc pour

tout le système : fom. M.U. V.cos.l/Vrsro/F).

COROLLAIRE II

170. Cette proposition ayant lieu , quels que soient le nombre des corps et leur disposition respective ; et soit que ces corps soient tous mobiles, ou qu’il y en ait de fixes (i 63 ), doit aussi avoir lieu évidemment, soit que le choc entr’eux soit immédiat, soit qu’il s’opère par l’intermédiaire d’une machine quelconque sans ressort,

COROLLAIRE 1 1 I

171. Pour chacun des corps qui sont fixes, on a V = o. Ainsi le terme qui lui appartient s’évanouit, et par conséquent il n’entre dans la formule précédente, que les parties mobiles du système. Donc si la communication des mouve— mens s’opère par l’entremise d’une machine qui ait des parties fixes, ou s’il se rencontre des obstacles immobiles et parfaitement durs , toutes ces parties immobiles n’entreront pour rien dans la formule.

172. On peut donner à la formule trouvée une autre expression 5 car on a (26)

U. cos. U A V = W. cos.W^V— V.

Substituant cette valeur de U.cos. dans la formule trouvée (F) , elle deviendra

fom. M. W. V.cos. Y—fom. M.V a = o, ou fom. M. W. V.cos.W A V =fom. M. V\ (F)

COROLLAIRE V

175. On peut encore donner une nouvelle expression à la formule (F) (169)5 car puisque W est la résultante de V et de U, nous aurons , en évaluant les trois vitesses dans le sens U,