V. cos. V^U == W. cos.W A U — U
Substituant cette valeur de V.cos.V U dans la formule (F), elle devient:
fom. M U W cos.WAU —fom. M U a = o. (F")
COROLLAIRE VI
174. Il est possible encore de transformer l’équation (F) d’une autre manière5 car W étant toujours la résultante de V et U, on a
W = Vcos.w'V + U cos.WAU.
Substituant cette valeur de W dans ] a formule (F) (172), qui est déjà une transformée de la formule (F) , on aura
/om m v ; co S .W A V* +/. MVU.cos.w'V.cos.w'V
= font. MV a .
OU
Jom. M VU. cos. \vV. cos. v/u
= fom ' MV ° - oos.w\‘) =/ om . Ml- sin. W A V*. Donc
fom. M VU. cos. W"V . cos. U
= y&m. MV t .ain.'v/V*.
théorème xi r.
175. Dans le choc des corps durs, quelque soit leur nombre , et soit que le choc soit imitédicit, ou qu'lise fasse au moyen d’une machine quelconque sans ressort , la somme des forces vives avant le choc , est toujours égale à la somme des forces vives après le choc, plus la somme des forces vives qui auroit lieu , si chacun des corps se mouvait librement avec la seule vitesse qu'il a perdue par le choc.
Supposons que MA mB (fig. 22) étant un parallélogramme , la diagonale Mm représente W
lejiote MA, Vj et par conséquent, le côté
MB, ü.
ÎO
l46 PRINCIPES DE L’ÉQUILIBRE Le triangle MA m donnera
= MA + A m — 2 MA • Am . cos. MA/?z ; qui parce que l’angle M Am est le supplément de AMB, devient
]VI ttl — MA + A m + 2MA.Am.c0s. AMB.
Or AMB est Y U. Donc l’équation précédente devient
w a = V a + 2 Y. U.cos. W;
donc
fom.M. W % =fom.M.Y*-\-fom.W.\J* ^
+ 2/om.M.V.U.cos.V / U.
Mais le dernier terme de cette équation est o ( 169) 5 donc l’équation précédente se réduit à fom. MW* =/om. MV' + fom. MU a , (G)
qui est la traduction algébrique de la proposition énoncée. Ce qu’il falloit prouver.
corollaire premier.
176. Donc, lorsque plusieurs corps animés de forces quelconques se font mutuellement équilibre , soit immédiatement, soit par le moyen d’une machine quelconque sans ressort ; la somme des produits de chaque masse par le carré de la vitesse avec laquelle elle tend à se mouvoir, est un minimum , c est-à-dire moindre que ne le seroit la somme des produits de
ET DU MOUVEMENT. l4?
chaque masse par le carré de la vitesse qu 3 elle perdroit, si le système prenoit un mouvement quelconque géométrique.
Supposons, par exemple, que deux masses m, m soient appliquées aux extrémités d’un levier horizontal, dont les bras soient respectivement r, r'y nommons g la gravité , u, u les vitesses géométriques ou virtuellesque prendroient m^ri s’il naissoit un petit mouvement : puisqu’il y a équilibre par hypothèse , la vitesse avec laquelle chacun des corps tend à se mouvoir est g. Donc, puisqu’il y a équilibre , la vitesse perdue est aussi g; donc la somme des produits de chacune de ces masses par le carré de la vitesse qu’elle perd, est mg* + m'g\ Mais s’il naissoit un petit mouvement, g—u seroit la vitesse perdue par m , et #•+ u, celle que perdroit m ; donc par le principe ci-dessus, mg* -f m!g* est minimum ou moindre que m(g — u)* + m (g+ c’est-àdire, que ces deux quantités doivent différer d’une quantité infiniment petite du second ordre, pnisque le mouvement est infiniment petit. Donc on doit avoir
mg' m'g * — m(g~ùÿ + m'(g + u y,
ou en exécutant les opérations et réduisant , m u * mu* — 2 mgu -f 2 m!gu'; ou parce q ue u, u' sont infiniment petites par rapport à g ,
w gu — m'gu — o ;
l48 PRINCIPES DE L’ÉQUILIBRE ce qui donne mg : mgWu'.u , ainsi qu’on le tire du principe des vitesses virtuelles. Cette proposition peut donc être considérée comme un nouveau principe d’équilibre, ou plutôt comme une nouvelle manière d’exprimer le principe des vitesses virtuelles. Ce principe sera généralisé (i 85 ).
COROLLAIRE II
l r J r J. Si le système changeoit de mouvement par degrés insensibles, la quantité de mouvement perdue à chaque instant par chacun des corps, seroit infiniment petite. Donc alors on auroit pour chaque instant U = o ; donc U* seroit infiniment petite du second ordre. Donc fom. MU 1 s’évanouiroit auprès de fom. MV J j donc l’équation se réduiroit à
fom. MW a = fom. MV a .
C’est-à-dire, que quand un système de corps durs agissant les uns sur les autres par leur seule inertie ou abstraction faite de toute force motrice, change de mouvement par degrés insensibles , la somme des forces vives se conserve perpétuellem ent sans altération, malgré l’action et la réaction des corps les uns sur les autres, et soit que le mouvement se communique de l’un à l’autre immédiatement , ou par l’entremise d’une machine quelconque sans ressort.
COROLLAIRE III
178. Lorsqu’il y a un changement brusque , que la valeur U de la vitesse perdue soit positive ou négative, son carré U 2 est toujours positif. Donc fom. MU 2 est toujours une quantité positive , de meme que fom. MW 2 et fom. MV*j donc en vertu de l’équation (G) (175) , fom. MW* est toujours plus grande que fom. M V* ; c’est-à-dire, qu’alors la somme des forces vives après le choc est toujours moindre qu’avant. Il y a donc toujours déperdition de forces vives dans le choc des corps durs, soit que le choc soit immédiat, ou qu’il s’opère au moyen d’une machine quelconque sans ressort ; et cette déperdition de forces vives est toujours égale à la somme des forces vives qui auroit lieu, si chacun des corps se mouvoit librement avec une vitesse égale à celle qu’il a perdue par le choc. J’appellerai ce principe loi de la déperdition de forces vives dans le choc des corps durs.
théorème xiii.
179. Dans le choc des corps parfaitement élastiques, en quelque nombre qu’ils soient , la somme des forces vives après le choc , est toujours égale à la somme des forces vives qui avoient lieu avant le choc.
Car l’effet de l’élasticité est de doubler la quan-
i 5 o principes de L’Équilibre tité de mouvement que chacun des corps du système imprime à chacun des autres ‘ c’est-à-dire que MU devient pour chacun des corps du système, double de ce qu’elle seroit si les corps étoient durs. Mais la direction de cette quantité de mouvement perdue ne change pas, puisqu’elle est toujours égale et directement opposée à la résultante de toutes les forces imprimées à M, et que celles-ci ayant toutes doublé en même temps, la direction de leur résultante ne peut
avoir changé. Donc l’angle U W est le même que si les corps étoient durs.
Or, pour les corps durs, nous avons (175)
fom. MU W cos. W U — fom MU 1 = o.
Supposant donc que si les corps sont parfaitement élastiques, la vitesse perdue soit U, et la vitesse restante V', YV restant la même , U x sera double de U ; donc U = |U'; donc la formule deviendra pour les corps parfaitement élastiques , en multipliant tout par 4 ,
a fom. MU'W cos. W* U' — fom. MU' a = o. (H)
qui à cause de W cos.W U'= V'cos. V' U'+U* devient
a fom. MU'V'cos.V' U' + fom. MU' a = 0. (H') Mais comme d’un autre côté W étant toujours
ET DU MOUVEMENT. l5i
la résultante de V' et de U', on doit avoir (175)
W* = V'* + U'* + 2 V'U'cos. V'V, et par conséquent,
fom. MW* = fom. MV'* + fom. MU ' 1
•+• 2 fom. MU' V cos.v 'V.
Si l’on ajoute cette équation à l'équation (£T ) , et qu'on réduise , on aura
fom. MW‘= fom. MV"; ( H" )
formule qui est la traduction algébrique de la proposition qu’il falloit démontrer.
corollaire 1 r.
180. Si les corps n'étoient pas parfaitement élastiques , mais tous doués d'un même degré d’élasticité représenté par tl, c'est-à-dire tel que l'action réciproque des corps au lieu d'être doublée , comme il arrive dans le cas des corps parfaitement élastiques, fût seulement cette même force multipliée par n : il est clair que la direction de chacune des vitesses perdues seroit encore /s
la même , ainsi que l’angle W U.
Cela posé, nous avons pour les corps durs ( 17 3 )
font. MUWcos. W A U — fom. MU a = o.
Supposant donc que pour le cas où le degré d'élasticité est exprimé par n } la vitesse perdue soit U'
15a principes de L’Équilibre et la vitesse restante V', on aura U' = n\J , ou
Donc la formule précédente deviendra , en multipliant par n 3
n fom. Mü'W cos. W^ü' — fom. MU /a = o.
Equation qui à cause de
W cos. W'V = V' cos. V ,/N U'+ U', devient
yb/7z.MV , U / cos.V' /S U'4*(—^^/bm.MU' a =o.(H /y )
Mais comme d’un autre côté, W étant toujours la résultante de Y' et de U', on doit avoir (17Ô),
W* = V' 1 + U'*+ 2 V' U' cos. v’V ; et par conséquent,
{fom. MW* = {fom. MV' l + {fom. MU' a
. M V'U cos. Y ,/V U'.
Si Ton ajoute cette équation à l’équation (H") et qu’on réduise, on aura
fom. MW* =f om . MV ,# — MU' 1 . (H'")
Dans le cas de la parfaite élasticité, on a n — 2$ donc alors le dernier terme de l’équation devient O, et l’équation se réduit à
fom. MW* = fom. MV'% comme dans le corollaire précédent.
ET DU MOUVEMENT. if>3
Dans le cas des corps durs, on a n = i . Donc alors l’équation se réduit à fom.MW a =fom.
comme ci-dessus (176).
