THÉORÈME XV

l 85 . Parmi tous les mouvemens dont est susceptible un système de corps parfaitement durs agissant les uns sur les autres par un choc immédiat, ou par des machines quelconques sans ressort, de manière qu’il en résulte un changement brusque dans l’état du système :

celui de tous ces mouvemens qui aura lieu réel— lement apres l action 3 est le mouvement géo^ métrique qui est tel , que la somme des produits de chacune dès masses par le carré de la vitesse qu’elleperdra , est un minimum. C’està-dire, moindre que la somme des produits de chacune des masses par le carré de la vitesse qu’elle auroit perdue, si le système eût pris un autre mouvement quelconque géométrique.

Ainsi M représentant chacune des masses du système, yy sa vitesse avant le choc, V sa vitesse après le choc, U sa vitesse perdue par le choc, U une vitesse quelconque géométrique ; il faut prouver que/MU* est moindre lorsque M prend

PRINCIPES DE

L’EQUILIBRE

la vitesse Y après le choc, que si elle prenoit la vitesse u, ou que <L/MU a =o, <T étant le signe de la variation , lorsqu’au lieu de V on substitue une vitesse géométriques, infiniment peu différente de la première.

En effet, décomposons V en deux autres vitesses , dont l’une soit u et l’autre u'• puisque V et u sont l’une et l’autre géométriques , u! le sera aussi (1Ô2) : donc nous aurons (181),

/MUs'cos. U v!—o. (a).

Décomposons pareillement la vitesse perdue U en deux autres vitesses , dont l’une U' soit la vitesse qui seroit perdue par M , si le corps M au lieu de la vitesse V, prenoit après le choc la’ vitesse u ; je dis que l’autre sera égale et diamétralement opposée à iî} car si l’on nomme u cette vitesse, et qu’on représente (fig. ) YY

par mW, V par m Y, U par mU, u par mu , u par mu , et enfin z/par mu". Les figures mVWU, muW L , muYu\ mU'XJu", seront quatre parallélogrammes dontles diagonales seront respecti ve-

ment, mW, mW, mV, mU ; ce qui ne peut avoir lieu sansquel’on ait mu"=UU'=uY=mu .

D’où il suit que mu'= mu ; c’est-à-dire, u’— u y et sans que de plus ces deux quantités ne soient diamétralement opposées.

ET DU MOUVEMENT. ,5g

Cela posé, le triangle mW donne

U U'cos.UUm = mU' — mUcos. UwU',

qui parce que l’angle UmU' est infiniment petit, et que par conséquent son cosinus diffère de l’unité seulement d’une quantité infiniment petite du second ordre, devient

U U' cos. U U ' m =. (mU' — mU ).

Or [m \]'— mü) est la quantité dont varie U lorsqu’au lieu de V, le corps M prend la vitesse u.

Donc (ctU 7 — mü) = U ; donc l’équation devient

UU' cos. UU'm = cTU, ou u cos. xTu! = <TU.

Substituant cette valeur de u’ cos. xTu dans l’équation Ça) trouvée ci-dessus , nous aurons /MUcTU —o, ou <T/MU' = o; (K) formule qui n’est autre chose que la traduction algébrique de la proposition énoncée.

On sait que l’égalité de la différentielle ou de la variation d une quantité à zéro , n’annonce pas toujours un minimum , mais qu’elle peut désigner un maximum, et meme quelquefois un état du système, qui n’est ni un maximum ni un minimum proprement dit. La proposition précédente doit donc être entendue avec les restrictions ordinaires, et c’est la formule même (K)

160 PRINCIPES DE L’ÉQUILIBRE qui exprime sans exception la loi générale du choc des corps durs.

186. Cette formule est très-belle, car elle suffit seule pour déterminer le mouvement d’un système de corps durs après le choc , lorsqu’on connoît celui qui a lieu avant le choc , soit que ce choc soit immédiat , soit qu’il s’opère au moyen d’une machine quelconque sans ressort, puisqu’elle établit d’abord que le mouvement doit être géométrique, et qu’ensuite parmi tous ces mouvemens , elle désigne celui qui doit avoir lieu.

Que par exemple, deux globes A , B venant à se choquer obliquement, on veuille connoître leurs mouvemens après le choc.

Su pposons que la vitesse A estimée dans le sens AB de la ligne des centres , soit avant le choc a et après le choc a. • que celle de B estimée suivant la même direction, soit avant le choc b et après le choc fi. Que de plus, celle de A estimée perpendiculairement à cette ligne des centres, soit avant le choc a et après le choc ; et qu’enfin celle de B aussi estimée perpendiculairement à cette ligne des centres, soit avant le choc b' et après le choc fi'.

Par notre proposition , le mouvement devant être géométrique, il faut d’abord qu’on ait * =t= fi> Ainsi la vitesse perdue par A suivant AB, sera

ET DU MOUVEMENT. , 6l

a et j et celle de B perdue dans le même sens sera b — $ ou b — a..

De plus, dans le sens perpendiculaire à la ligne des centres, la vitesse perdue par A sera a a , et la vitesse perdue par B sera b '— /3' $ donc les vitesses totales perdues respectivement par A et par B , seront

\/(a —*)'+(&'—a')* et \/

Donc par le théorème, on doit avoir

S.(Al(a — „)*+ (a'—«')'])

+ B[(6— «)> + (£' ^)>] = 0 ou *

( Aa A«t) <P a. + (B6 —B*) JV

+ (Aa'— A*')JV.f (B£' —

Equation dans laquelle les variations , JV, ^ / 2 ', sont absolument indépendantes Tune de l’autre 5 ce qui ne peut avoir lieu sans que le coefficient de chacune d’elles ne soit o. Donc on a

ces trois équations aW,

Ce qu’il fallait trouver .

187. Cette loi s’étend avec les modifications convenables aux chocs qui peuvent avoir li eu dans un système de corps parfaitement élastiques, ou même doués d’une élasticité quelconque constante ; c’est-à-dire, qui soit la même pour tous les corps du système.

162 principes de L’Équilibre

Car si nous supposons que U' représente alors la vitesse perdue par M, on aura dans le cas des corps parfaitement élastiques , U' = 2 U, et en général pour un degré d’élasticité exprimé par n 9

U' — n U, ou U = - U'. Substituant dans la n

formule <f/MU a =o, elle deviendra S'f -^MU' s =o. Donc si n est constante ou la meme pour tous les corps, on aura <T/MU' 4 = o, ou «T/MU'*==o.

Ainsi cette formule appartient à tout système de corps dont le degré d’élasticité est le même.

Mais il faut observer, qu’alors U devenant 7iU, le Corps M rejaillit en sens contraire avec cette vitesse tzU, moins la vitesse U. Donc la vitesse avec laquelle lecorpsrejaillit, est(/z— i)Uj donc la vitesse relative après le choc, est à la vitesse relative avant le choc , comme tz — 1 est à 1. C’est-à-dire que la formule <Ty'MU*=o aura toujours lieu , mais que la variation doit être prise , en supposant que la vitesse relative après le choc est égale à la vitesse relative avant le choc, multipliée par n —1 , et prise en sens contraire. Ainsi, dans le cas des corps durs ou mous, c’est-à-dire quand 72= 1, la vitesse relative après le choc doit être supposée o, ou ce qui revient au même , le mouvement doit être supposé géométrique. Lorsque les corps sont parfai-

tementélastiques, c’est-à-dire lorsque n==2 Vitesse relative après le choc doit être suppôt égalé a la vitesse relative avant le choc et prise en sens contraire : ainsi des autres. ?

donnif; Si I 1 ’ 0n SUPP ° Se qUe pendant »" temps ’ Cha<1Ue cor P ! M eût parcouru l’espace

X avec la vitesse U, on aura U= Donc ]a

formule peut être mise, en divisant par * qui est

Je meme pour tous les cor™ a V

jy'jy/j 0 ps y sous cett© forme

Maupertuis appelle, dans son Essai de Cas-

9Uanl “ e d ’ aclion (* 7 ) le produit d’une masse par sa vitesse et par le chemin qu’elle par court. Ainsi MUX es, une quantité d’action^t il avance en principe, que la quantité d'action necessaire pour produire un changement dans

ZZ°c eWent C ° rpS ’ tou i° urs on minimum. Ce principe doit être regardé comme l’énonce dont1 équation précédente est la traduction algébrique. Maupertuis fonde ce principe sur les causes finales; mais comme Us causes

finales s.nterpretentarbitrairement, qu’on l eur

ait dire tout ce qu’on veut, on n’en tireroit au cune conséquence précise, si on ne les appuv J de démonstrations mathématiques. Maupertu a prouve qu’en effet son principe avoit il dans le choc direct de deus corps libres parfaitement

l64 PRINCIPES DE L’ÉQUILIBRE durs, et dans celui de deux corps parfaitement élastiques ; mais il n’a point été au-delà, et son principe, quoique très-beau, n’a pas été plus approfondi par lui, ni par les autres Géomètres, en ce qui regarde les changemens brusques : du moins je ne sache pas que personne eût entrepris de le démontrer généralement avant la première édition de cet ouvrage, où j’établis le principe équivalent donné ci-dessus (i 85 ); mais seulement pour les corps durs. La démonstration que je viens de donner ici est plus générale, puisqu’elle embrasse les corps doués de divers degrés d’élasticité; mais elle prouve en même temps combien sont caduques celles qu’on voudroit baser sur les causes finales, puisqu’elle fait voir que le principe n’est point général ; mais restreint au cas où tous les corps du système sont doués du même degré d’élasticité. Au reste , le théorème tel que je l’ai donné (i 85 ), me paroît plus simple et plus facile à employer que celui de la moindre action, où l’on introduit inutilement l’espace parcouru. Mais il n’en est pas moins vrai, que d’après l’explication qui vient d’être donnée, il ne reste plus rien de vague dans le principe de Maupertuis, et qu’il est rigoureusement et mathématiquement démontré.

théorème XVI.

18g. Dans un système quelconque de corps , que ces corps soient durs ou non , qu'ils agissent immédiatement les uns sur les autres , ou par le moyen d’une machine sans ressort ou à ressort, pourvu que la compression et la restitution soient supposées faites en un instant indivisible : s’il survient un choc, ou action quelconque entre les diverses parties du système ; et si au moment où le choc va s’opérer , on imprime à ce système , outre le mouvement avec lequel il tend à se mouvoir , un autre mouvement quelconque géométrique ; rien ne sera changé pour le premier instant du mouvement a l’action réciproque des corps , et la somme des produits de la quantité de mouvement perdue par chacun deux , multipliée par sa vitesse géométrique , estimée dans le sens de cette quantité de mouvement , sera égale à zéro .

Car en vertu du mouvement géométrique imprime au système, les corps qui agissent l’un sur l’autre , ne tendent ni à se rapprocher ni à s’éloigner. Donc d’abord il n’y aura rien de changé dans l’intensité de l’action réciproque de ces corps j donc puisque les actions réciproques se détruisent les unes les autres, parce qu’on suppose la restitution des ressorts s’il y en a , faite dans un instant invisible, il est clair que si toute»

i66 principes de L’Équilibre

les parties du système étoient dures, et qu’il ne fût animé que de ces seuls mouvemens qui se détruisent, il y auroit équilibre. Donc (168) la, somme des produits de la quantité de mouvement perdue par chacune des masses , multipliée par sa vitesse géométrique, estimée dans le sens de cette quantité de mouvement, seroit égale à zéro. Mais ces quantités de mouvement sont , comme on le vient de voir, les mêmes que celles quise détruisentdansle système proposé, quoique les parties n’en soient pas supposées dures, et les vitesses géométriques sont aussi les mêmes dans les deux cas. Donc dans le premier comme dans le second, la somme des produits de la quantité de mouvement perdue de chacune des masses ^ par sa vitesse estimée dans le sens de cette quantité de mouvement, est égale à zéro. Ce qu’ib falloit démontrer.

COROLLAIRE PREMIER

190. Ainsi la formule /M Ua cos. üA = o, trouvée (181) pour les corps durs, a lieu également pour toutes espèces de corps de quelque nature qu’ils soient. Ce qui caractérise les corps durs, c’est la loi de déperdition de forcesvives; cette loi (178) n’ayant pas lieu pour les corps, doués d’élasticité. Si les corps sont parfaitement élastiques, il n’y a aucune déperdition de forces, vives; si l’élasticité est imparfaite, il y a déper-

dition plus ou moins grande. Les corps parfaitement durs d’une part, et les corps parfaitement élastiques de l’autre, forment les limites entre lesquelles tous les autres sont compris. Mais tous ont une propriété commune exprimée par la

formule y^MUwcos. U u = o , qui donne elle seule, en attribuant successivement à u toutes les valeurs dont elle est susceptible, toutes les équations nécessaires à la solution du problème, sauf celles qui dépendent de la nature des corps, et les distinguent les uns des autres , telle qu’est pour les corps durs l’équation

/Muv cos .u A y=o,

ou/M¥ J = /MV J +/MU*j et pour les corps parfaitement élastiques, l’équa* lion /M W* =. /M V\