THÉORÈME XVIII

193. Dans un système de corps parfaitement libre, que ces corps soient d y ailleurs de nature quelconque , s 3 il survient un choc :

i°. La somme des momens de rotation des quantités de mouvement perdues par tous les corps du système , à Végard d 3 un axe quelconque pris à volonté dans l 3 espace, et tendantes à tourner dans un même sens autour de cet axe y est égale à zéro.

2 0 . La somme des momens de rotation des quantités de mouvement perdues par une portion quelconque des corps du système dans un sens donné autour de cet axe , est égale à la somme des momens des quantités de mouvemens gagnées en même temps et dans le même sens autour de cet axe, par tous les autres corps du système.

3 °. La somme des momens de rotation des quantités de mouvement effectives après le choc dans un sens donné autour de l'axe , reste La même qu'avant le choc.

En effet, i°. puisque par hypothèse le système est parfaitement libre, et que par conséquent il n ? y a aucun point lixe ni obstacles quelconques* on peut imprimer à tout le système un mouvement de rotation autour de Faxe proposé, sans rien déranger aux positions respectives des par-

ties de ce système, et ce mouvement sera géométrique ( 13 g), puisqu'il ne change rien aux \itesses relatives. Soit donc u la vitesse géométrique, qui résultera pour chaque masse M de ce mouvement géométrique, et R son rayon de circulation, c’est-à-dire sa distance à l’axe donné. Ces vitesses useront visiblement entr’elles comme les rayons R; c’est-à-dire qu’on aura U= a R, a étant une quantité constante, ou la même pour tous les corps du système. Donc la

formule /M U u cos. \Tu = o trouvée (i8r), deviendra

a/MUR cos. U cir. R = o ; c est-a-dire, que la somme des momens de rotation des quantités de mouvemens perdues par le choc autour del axe donné dans le sens du mouvement imprimé, est égale à zéro. Ce qui est la première partie de la proposition.

a . Puisque la quantité de mouvement perdue par un corps est égale à la quantité de mouvement gagnée par cemêmecorps en sens contraire, il est évident que la quantité/MUR cos.U cir. R est la même chose que la somme des momens de quantités de mouvement perdues pris dans le sens du mouvement de rotation imprimé par une portion quelconque des corps du système, moins la somme des momens de quantités de mouve-

DE

L’EQUILIBRE

ment gagnées dans le même sens par tous les autres ; ce qui est visiblement la seconde partie de la proposition.

3 °. Enfin, puisque W est la résultante de V et de U, on a (27)

U cos.U cir.R=Wcos.W cir.R—Vcos.V cir.R.

Substituant cette valeur de U cos. U cir. R dans l’équation ci-dessus, elle deviendra, en divisant tout par a et transposant,

/MWRcos.W cir.R =/MVRcos.V cir.R.

Formule qui est évidemment la traduction algébrique de la troisième partie de la proposition. Ce qu’ilfalloit démontrer.

COROLLAIRE PREMIER

194. La même démonstration auroit lieu évidemment, si le système, au lieu d’être parfaitement libre comme on le suppose, étoit obligé détourner autour d’un axe fixe donné; car alors en rapportant le moment de rotation à cet axe, on arriveroit à la même formule que ci-dessus. Mais cette formule n’auroit lieu que pour cet axe seul.

corollaire 11.

195 . Considérons l’aire balayée par le rayon vecteur, mené de chaque mobile perpendiculairement à l’axe de rotation, ou plutôt la projec-

et DU MOUVEMENT. 1? 5

tion de cette aire sur un plan quelconque perpendiculaire à cet axe, c’est-à-dire la surface comprise sur ce plan entre deux rayons vecteurs menés du point où il est traversé par cet axe aux points de projection de ce mobile. Si l’on nomme dt l’élément du temps, et qu’on multiplie par dt l’équation trouvée ci-dessus (ig3), on aura

fMWdt. Rcos.W /N cir.R= fMVdt. cos.V^ir.R.

Mais il est clair que W dt est l’élément du chemin qui auroit été parcouru par le mobile M s’il eût été libre $ et que par conséquent

W<ftcos.W cir. R

est le chemin estimé dans le sens de la circonférence qui a pour centre le point où l’axe traverse le plan, ou ce qui revient au même , l’arc infiniment petit compris entre les deux rayons vecteurs qui répondroient l’un au commencement l’autre à la fin de l’instant dt. Par la même rail

son , Vdt cos.V cir. R est l’arc infiniment petit compris entre les deux rayons recteurs qui répondent réellement, à cause du choc, l’un au commencement, l’autre à la fin de l’instant dt.

Cela posé, il est évident que ces arcs multipliés par R représentent le double des aires compris respectivement entre ces rayons vecteurs Donc la somme des produits de chacune des masses par l’aire que balaye son rayon vecteur dans

174 PRINCIPES DE L’ÉQUILIBRE dans un temps infiniment court, est. le meme que} s’il n’y avoit point eu de choc ; et comme la même chose a lieu pour tous lesinstans, on peut dire que quels que soient les chocs qui surviennent dans un système de corps libre, ou forcé de tourner autour d’un axe donné, la somme des produits de chacune des masses, par l’aire que balaye son rayon vecteur dans le sens perpendiculaire à cet axe, est le même pour un temps donné quelconque , que si les corps fussent tous demeurés libres* Celte loi s’appelle principe des aires. Elle a été trouvée par d’Arcy. Elle s’applique évidemment comme cas particulier à celui où le mouvement change par degrés insensibles.