THÉORÈME XIX

196. Dans le choc des corps , que ces corps soient durs ou non, et que Vaction soit immédiate , ou qu'elle se fasse par le moyen d'une machine quelconque sans ressort ou à ressort :

i°. La somme des momens de percussion de tous les corps du système à l'égard d'un mouvement quelconque géométrique , est égale à zéro.

2 0 . La somme des momens d'activité de tous les corps du système avant le choc , à l'égard d'un mouvement quelconque géométrique , est égale à la somme des momens d'activité après

le choc a l égard du même mouvement géométrique.

\ l a première partie de cette proposi-

tion n’est évidemment autre chose (67) que la

traduction de la formule /MU«cos. XJ^u — o trouvée (181).

La seconde partie n’est autre chose évidemment (67) que la traduction de la formule

/MW« cos.W^w — fM.Vu cos.V^m = o trouvée (i 83 ), ou

/MW«cos.W u=fm\ucoséV u é Ce qu’ilfalloit prouver.

En regardant la pression comme une percuss.on infiniment petite, on pourra appliquer ce théorème aux forces mortes, aussi bien qu’à celles qu’on nomme quantités de mouvement. C’est-àdire qu’alors, quel que soit l’état de repos ou de mouvement du système, la somme des momens de pression de tous les corps du système à chaque instant sera o à l’égard de tout mouvement quelconque géométrique. Ce qui n’est, à proprement parler, que le principe des vitesses virtuelles esprimé en d’autres termes.

COROLLAIRE

1 97 * H y a donc, comme on le voit par la seconde partie de la proposition précédente; il y

iy6 PRINCIPES DE L’ÉQUILIBRE a , dis-je, dans toute percussion ou communication de mouvement , soit immédiate , soit faite par l’entremise d’une machine quelconque , une quantité qui n’est point altérée par le choc. Cette quantité n’est pas , comme l’avoit pensé Descartes , la somme des quantités de mouvement : ce n’est pas non plus la somme des forces vives ; car celle-ci ne se conserve (177) ( l ue dans le cas où le mouvement change par degrés insensibles, et elle diminue toujours (178) lorsqu’il y a percussion.

Lorsque le système est libre, la quantité de mouvement estimée dans un sens quelconque, est à la vérité la même (191) avant et après la percussion ; mais cette conservation n’a plus lieu s’il y a des obstacles, non plus que celle des raomens de quantités de mouvement rapportées à différens axes (îq^). Toutes ces quantités sont altérées par le choc , ou du moins ne se conservent que dans quelques cas particuliers.

Mais il est une autre espèce de quantités, que ni les divers obstacles qui s’opposent au mouvement , ni les machines qui le transmettent, ni la dureté, la mollesse ou les différens degrés d’élasticité des corps, ni .enfin l’intensité de la percussion , ne peuvent changer. C est le moment d activité du système général à 1 égard de chacun des mouvemens géométriques dont il est susceptible.

Et si 1 on reunit cette loi qui appartient à tous tes corps, a celle qui caractérise la nature de clia cun d’eux; c’est-à-dire, qui dépend de sa qualité de corps dur, mou ou élastique, on aura dans chaque cas toutes les équations qui seront nécesproposép^ S0 u * 10n question qui pourra être

Si le choc détruisoit tous les mouvemens on auroit V — o : ainsi la formule trouvée (i 83 ), se réduiroit /mW«cos.W / 'u = o, qui nous ’ prend que ce cas arrive lorsque le moment d’activite du système général immédiatement avant le choc , est nul relativement à tous les mbuvemens géométriques dont il est susceptible.

Remarque .

198. Jusqu’ici nous n’avons considéré que ce qui arrive dans le choc des corps opéré soit immédiatement, soit par l’entremise d’une mach, ne quelconque : et commeils’agissoit dechangemens brusques, nous n’avons dû avoir aucun egard aux forces motrices, qui ne peuvent produire de mouvement effectif que dans un laps de temps. Nous allons maintenant considérer l’état du système comme changeant par degrés insensibles et par conséquent, nous devons tenir compte de l’effet des forces motrices.

Ces forces motrices pouvant être considérées

1 7 8 PRINCIPES DE L’ÉQUILIBRE comme des degrés infiniment petits de quantité de mouvement imprimés à chaque instant, sont soumises aux mêmes lois que les quantités de mouvement que nous venons de considérer. Si donc à un système de corps en repos, on vient à appliquer des forces motrices quelconques, comme, par exemple,si un systêmede corps pesans, maintenant en repos jusqu’à un instant donné , est tout-à-coup abandonné à l’action de la pesanteur ; le mouvement initial devra se déterminer par les formules trouvées pour le cas où le changement est brusque ; parce qu’en effet il est tel par rapport à son état primitif, quel petit que soit ce mouvement initial, puisque le mouvement passe du zéro à l’existence. Mais lorsque le mouvement est commencé, le changement qu’il éprouve à chaque instant étant infiniment petit par rapport au mouvement précédent, est le résultat des forces motrices d’une part, et de la force d’inertie de l’autre, qui se combinent et produisent les incrémens instantanés ou les différentielles des quantités de mouvement. Il faut donc avoir égard à ces forces motrices, qui d’ailleurs étant assujéties aux mêmes lois que les quantités de mouvement finies, font de la théorie qui nous reste à examiner, un cas particulier de celle qui vient d’être établie en général pour le choc des corps ; mais comme il s’agit maintenant de considérer pour chaque instant l’état variable du système,

ET du MOUVEMENT • *79

ce e application exige nécessairement l’emnloi des quantités infinitésimales. *

théorème xx.

199 . Lorsqu’un système de corps durs libre ou appUque à une machine quelconque sans ressort, et animé de forces motrices quelconques, change de mouvement par degrés in sensibles; si pour un instant quelconque du mouvement, on nomme m chacun des corpuscules du système , V sa vitesse, P sa force motrice, u la vitesse qu’il prendrait, si suppri. mant tout-a-coup le mouvement actuel, on lui substituait un autre mouvement quelconque géométrique; dt l’élément du temps : o„ aura les deux équations suivantes :

SmVdV — SmVPdt cos. v'p = 0 . ^

S w(vcos./V) -SronPtftcos./p-o,

En effet i'. PA cos.V^P est visiblement la Vitesse que la force motrice P auroit fait naître dans m pendan t ^ dans le sens de V, si ce eorps eut ete libre. De plus , dv est la vitesse qu’il reçoit réellement dans ce même sens pendant l e

même temps. Donc P dt cos.V^'p jy ,

vitesse perdue par m pendant dt dans folens de V, en vertu de l’action réciproque des corps C est donc cette quantité qu’il f aut mettre pour

180 PRINCIPES DE L’ÉQUILIBRE U cos.lTv, en même temps que m pour M dans

la formule SMUVcos.U V = o trouvée (169).

Or cette formule devient par cette substitution ,

S mV dY —SM V Pcos.Y P = o.

Ce qu’ ilfalloit premièrement démontrer.

2°. ¥ dt cos. u P est la vitesse que la force motrice P auroit fait naître dans m pendant dt dans le sens de u , si ce corps eût été libre. De

plus, V cos. V u étant la vitesse de/ra dans le sens

de u , d (v cos. V u) est celle que gagne ce corps dans le sens de u pendant dt ; donc

¥dtcos.u P — c?(Vcos.V u) est la vitesse que perd m pendant dt dans le sens d eu, en vertu de Faction réciproque des corps. C’est donc cette quantité qu’il faut mettre pour U cos. U u , en même temps que m à la place de

M dans la formule générale S MU u cos.U zi=o trouvée (181). Or cette formule devient par cette substitution,

Smud{\cos.Y u) — SmuVdtcos-u P = o.

Ce qu 9 il falloit secondement démontrer .

Ces deux formules (M) , (N) renferment toutes les lois de l’équilibre et* du mouvement dans un système de corps durs qui change par degrés insensibles. Elles sont, comme l’on voit,

fort simples, et ont l’avantage de ne renfermer que des différentielles du premier ordre.

COROLLAIRE

200. Lorsqu’il y a équilibre , les termes de l’équation (M) s’évanouissent, ainsi que le premier terme de l’équation (N). Cette équation se réduit donc, en divisant tout par dt , à

S m P. u cos. u P = o, (N) qui est le principe général de l’équilibre dans un systemequelconque.de force, motrices mP.

Comme u représente ici toute vitesse géométrique possible, et que (161) les vitesses virtuelles sont des vitesses géométriques ; il suit que nous pouvons prendre pour u une vitesse quelconque virtuelle.

D’un autre côté, mP peut représenter toute force mouvante F. Donc l’équation (N') peut se mettre sous cette forme :

S F. u cos. u F = o, (N"), u représentant la vitesse virtuelle de F. Or cette formule est visiblement l’expression du fameux principe des vitesses virtuelles. Nous reviendrons sur ce principe (21 5 et suiv.).