THÉORÈME XXI I
203 . Lorsqu?un système de corps durs, libre ou ovpliqué à une machine quelconque sans ressort, et animé de forces motrices quelconques , change de mouvement par degrés insensibles, la force vive au bout d’un temps donné est égale à la force vive initiale , plus à la force vive qui aurait lieu , si chacun des corps du système avoit pour seule vitesse celle qu’il auroit acquise en parcourant librement la courbe qu’il a décrite; supposant d’ailleurs qu’il n’eût
été animé à chaque point de cette courbe , que de la même force motrice qu’il y éprouve réellement, et que sa vitesse initiale eût été nulle.
Ce théorème est ce qu’on appelle principe de la conservation des forces vives , dans un sys-
tême de corps durs qui change par degrés insensibles.
Si l’on conçoit que la courbe décrite par chacun des corpuscules du système soit une ligne inflexible, dans laquelle ce corpuscule soit enfilé comme un grain mobile, qu’au premier instant sa vitesse soit o , et qu’ensuite il se meuve librement le long de cette ligne inflexible , c’est-àdire^ sans être gêné par les autres parties du système^ mais qu’il reste à chaque point animé de la même force motrice qu’il éprouve effectivement à ce même point de sa courbe dans 1 état réel du système : je dis qu’alors la somme des forces vives qu’auront acquises tous les corps a la fin de leurs mouvemens, sera la même que celle qui a effectivement lieu à la fin du mouvement dans l’état réel du système. Tel est le sens de la proposition qu’il faut démontrer.
Or en conservant les dénominations de la formule (M) (199) , nous aurons Vdt = ds et par conséquent l’équation (M) prend la forme
S mVds cos. ds P — S m VdV = o.
Supposant donc, comme on vient de le dire, que la courbe décrite par m soit une ligne inflexible parcourue librement par m, comme uri grain mobile enfilé dans cette courbe, et dégagé de toute pression ou traction de la part des autres corps du système, etqu’enfin il éprouve à chaque
ET DU M OU V EM E NT. jgf)
point de cette courbe, la même force motrice P que celle dont il est animé dans l’état réel des choses. Si l’on nomme K la vitesse initiale de m , dans cet état reel, tandis qu’elle est supposée o dans la nouvelle hypothèse, et V' la vitesse de m sur l’élément ds , également dans la nouvelle hypothèse ; on aura, en intégrant l’équation précédente pour avoir l’état réel du système au bout du temps t ,
SfmVds cos. ds*V — SfmVdV = o 9 f désignant le signe d’intégration relatif à la durée du mouvement, tandis que S est le signe d’intégration relatif à la figure du système. Or S/mVdV = ^ S /7Z V°. Donc l’équation peut se mettre sous cette forme,
S/mPds cos. ds P — ^S/reV 3 + C = o ,
C étant une constante ajoutée pour compléter l’intégrale.
Pour déterminer cette constante, on observera qu’au premier instant on a
V = K, et SfmVds cos. ds P = o, puisque la force motrice n’a encore produit aucun effet. Donc C = ~ Sm K a ; donc SfmVds cos. ds P — ^S/rcV* -{-
Mais par la même raison, on voit que dans la nouvelle hypothèse , on doit avoir
SfmVds cos. ds *P — iSraV'' = o;
186 principes de L’équilibre
puisque dans ce cas, la vitesse initiale est supposée nulle, et que d’ailleurs P est la meme que dans le premier cas. Otant donc cette équation delà première, et réduisant, on aura
SmV> = SmK* + S mV'\ (P)
C e qu’il falloit démontrer.
COROLLAIRE PREMIER
204 . Si la force motrice P est o ; c’est-à-dire si le système n’est animé d’aucune force motrice, et que chacun des corps n’éprouve de changement que par la force d’inertie qui fait agir et réagir les unes sur les autres les différentes parties du système; le premier terme de l’équation précédente (M), (199) deviendra o. On aura donc V' = o, et par conséquent, la formule (P) deviendra S m V* = S ni K.* ; c’est-à-dire, que la somme des forces vives demeurera constante , ainsi que nous l’avons déjà trouvé (177).
COROLLAIRE II
2 0 5 . Si la force P étoit produite par une attraction mutuelle exercée entre les différens corps du système, ou par des points fixes quelconques sur ces corps , quelle que fût d’ailleurs la loi de cette attraction, pourvu qu’elle ne dépendît que des distances; il est évident que la force vive qui naîtroit de cette attraction, entre ces corps deux à deux, à chaque instant, seroit
égale au produit de la ftmme de leurs masses m ultipliées chacune par la force attractive qu’elle éprouve, le tout multiplié par la quantité dont ces corps se rapprocheroient pendant cet instant. Donc cette force attractive se retrouvant par hypothèse la même à distances égales, la force vive qu’elle aura fait naître entre deux corps se retrouvera toujours la même , quand ces corps se retrouveront à la même distance l’un de l’autre, quelques routes qu’ils aient tenues d’ailleurs chacun en particulier. Donc la force vive qui naît dans le système général, ne dépend ni de la route que chaque corps tient en particulier, ni du temps qu’il met à la parcourir, mais uniquement de la position où il se trouve à l’égard des autres corps du système. Donc l’augmentation de cette force vive sera toujours la même, lorsque les corps seront partis d’une position donnée, et qu’ils seront arrivés à une autre position donnée. Et cette augmentation sera nulle, c’est-à-dire, que la somme des forces vives se retrouvera la même à la fin du mouvement qu’au premier instant, si les corps se retrouvent dans leur position primitive.
corollaire 111.
Si les corps se transmettoient leurs actions respectives par des machines à ressort, et que la pression de ces ressorts 11e dépendît que de leur
i88 principes de L’Équilibre plus ou moins grandeficontraction , et non de causes accidentelles , telles que la température ; alors la force vive que feroit naître chacun d’eux, ne dépendroit que de la quantité dont il se seroit dilate, et nullement du temps qu’il auroit employé a cela. Car la quantité de force vive que feroit naître à chaque instant sa pression , dans quelque position qu’il se trouve d’ailleurs, est le produit de cette pression par le chemin infiniment petit que font ses extrémités pour s’éloigner. Donc l’augmentation de force vive du système sera toujours la même, lorsque chaque ressort partant d’un degré de contraction donné, sera arrivé à un autre état quelconque de contraction aussi donné. Cette augmentation sera donc nulle, c’est-à-dire que la somme des forces vives se retrouvera la même, si à la fin du mouvement les ressorts se trouvent dans le même état de compression qu’au premier instant.
COROLLAIRE ir.
206. S’il y avoit tout-à-la-fois des ressorts dont la pression dépendît uniquement de leurs degrés de contraction , et des forces attractives ou répulsives qui s’exerçassent en raison de fonctions quelconques des distances, l’augmentation ou la diminution de forces vives qui auroit lieu au bout d’un temps quelconque , ne dépendroit pareillement que du degré de contraction de ces
ressorts, et des distances respectives des corps du système, mais nullement delà position absolue des unes et des autres, ni des routes qu’ils auroient pu tenir pour arriver à leurs nouvelles positions; de manière que si ces positions des corps et des ressorts se retrouvoient les mêmes qu’au premier instant du mouvement , l’accroissement ou la diminution de la force vive seroit nulle.
COROLLAIRE V
207. Si la force motrice P est constante, tant pour son intensité que pour sa direction ; si c’est, par exemple, la gravité ordinaire à la surface de laterrequeje nommerai La formule (M) (199)
deviendra, en intégrant par rapport à /,
g S / nids cos. ds g ~ { Sm V a .
Or il est clair que si l’on nomme h la hauteur dont le corpuscule m est descendu pendant le temps t>
on aura ds cos. ds g = dh. Donc la formule deviendra
gSfmdh — mV* + C == o, ou gSmh — iSmV* + C = o.
COROLLAIRE VI
208. Mais si l’on nomme M la masse totale du système , et H la hauteur dont est descendu le centre de gravité, on aura (1 14 ) Smh = MH. Donc la formule devient
gMH — i S/rcV-•+■ C = o,
igo PRINCIPES DE L’ÉQUILIBRE C représentant la moitié de la force vive initiale. Supposant donc que la vitesse initiale de m soi t K, on aura C = 7 S m K a , et l'équation sera g-MH — ±Sm\' + jSffiR 8 = o, ou en multipliant par 2 et transposant,
S/ 7 *V a =SmK a + 2^.MH.
C'est-à-dire, que dans un système quelconque de corps pesans , agissant les uns sur les autres immédiatement, mais changeant de mouvemens par degrés insensibles , la somme des forces vives au bout d'un temps quelconque est égale à la somme des forces vives initiales , plus au double du poids (gM) du système total, multiplié par la hauteur dont le centre de gravité est descendu pendant ce temps.
COROLLAIRE VII
209. Soit V' la vitesse qu'acquerroit un corps qui tomberoit librement de la hauteurH, et qu'on nomme vitesse due à la hauteur H : on aura donc
VV/V' = grf H ,
ou en intégrant et supposant que la vitesse initiale soit o, on aura 7 V'* = gH, ou multipliant par 2 M , 2gM H = V'*.
Substituant cette valeur de 2gMH dans l’équation du corollaire précédent, on aura S/nV a = Sm R* + MV ,i .
C'est-à-dire, que dans toute machine à poids dont
ET DU MOUVEMENT. igi
le mouvement change par degrés insensibles, la somme des forces vives au bout d’un temps donné quelconque, est égale à la somme des forces vives initiales , plus la force vive qui auroit lieu, si la masse totale du système réunie au centre de gravit é étoit tombée librement de la hauteur qu’a eu effet parcourue de haut en bas ce centre de gravité.
COROLLAIRE V 1 I 2
210 . Si le centre de gravité est fixé, de manière qu’il ne puisse ni monter ni descendre, la hauteur H sera o. Donc on aura SmV*= SmK .\ Ainsi la somme des forces vives sera constante, comme si les corps du système étoient tous sans pesanteur.
COROLLAIRE IX
211 . Si l’on est assuré que le centre de gravité nesauroit descendre, et qu’en outre la vitesse initiale de chaque corps soit o , on aura K = o ; donc S/nV* = o. Or V a étant nécessairement toujours positive, soit que V soit elle-même positive ou négative j l’équation précédente ne peut avoir lieu sans qu’on n’ait V == o ; c’est-à-dire, sans qu’il y ait équilibre. Donc , en général, pour démontrer qu’une machine à poids abandonnée à elle-même , à laquelle on n’a imprimé aucun mouvement, doit rester en équilibre, il suffit de prouver que le centre de gravité ne descendra pas.
COROLLAIRE x.
212. Donc si le centre de gravité est au point le plus bas possible, il y aura équilibre; car on vient de voir qu il suffit pour cela de prouver que le centre de gravite du système ne descendra pas. Or comment descendroit-il, puisque par hypothèse , il est au point le plus bas possible ?
COROLLAIRE XI
210. S’il n’y avoit que deux poids dans le système, et que la machine ne pût se mouvoir sans que l’un des corps montât pendant que l’autre descendroit, et que de plus, leurs vitesses fussent alors en raison inverse de ces poids , il y auroit nécessairement équilibre, quelle que fût l’espèce de la machine. Car dans cette hypothèse, il est clair que la vitesse verticale du centre de gravité seroit o au premier instant. Donc par le corollaire vin , il y auroit équilibre.
THÉORÈME XXII r.
214 . Si un système de corps change de mouvement par degrés insensibles, et quil passe par une position où les forces motrices seules se f croient mutuellement équilibre ; la somme des forces vives à cette époque sera un minimum ou un maximum.
Car l’équation (M) (199) donne
SmYPdt cos.V^P = S/nVdV.
Mais V est une vitesse géométrique (1 53 ). Donc le premier terme (200) de cette équation est o lorsqu'il y a équilibre. Donc dans le cas d'équilibre, on a
SmVdV = o, ou ûfSm/V‘ = o.
Donc S mf\ est un minimum ou un maximum .
C'est en cela que consiste le principe d'équilibre proposé par Courtivron.
