THÉORÈME XXIV

215 . Lorsque plusieurs corps animés de diverses forces motrices se font mutellement équilibre , si Von vient à imprimer au système un mouvement quelconque géométrique, la somme des produits de chacune de ces forces motrices , par sa vitesse géométrique estimée dans le sens de cette force , est égale à zéro.

Cela résulte évidemment de la formule (N) trouvée («99); car alors on a par hypothèse V = o j donc le premier terme de cette formule se réduit à zéro ; donc en divisant par dt , elle se

réduit à S/tcP.mcos.zj P^=o, qui est précisément la traduction algébrique du théorème énoncé. Ce qu*il falloitprouver.

corollaire premier.

216. Toute force quelconque de pression , telle que celles qu'exercent les hommes, les ani-

ï 9 4 PRINCIPES DE L’ÉQUILIBRE maux, les ressorts, peut être évaluée par une force motrice comme un poids. De plus, nous avons vu (ifi*) que toute vitesse virtuelle appartient à un mouvement géométrique. Donc du théorème précédent suit cette proposition , qui est le fameux principe des vitesses virtuelles.

Si plusieurs forces appliquées à un système ou une machine quelconque se font mutuellement équilibre , et si cet équilibre vient à être dérangé par Vaction d’une nouvelle puissance infiniment petite ; la somme des produits de chacune de ces forces,par sa vitesse virtuelle estimée dans le sens de cette force , c’est-à-dire par la vitesse infiniment petite du point où elle est appliquée , estimée dans le sens de cette force , sera égale à zéro.

S’il n’y a que deux forces dans le système, et qu’il y ait équilibre;ces deux forces seront donc, en raison réciproque de leurs vitesses virtuelles, estimées dans le sens de ces forces.

COROLLAIRE II

21*7. Donc si un fluide incompressible sans pesanteur ni forces motrices quelconques , est enfermé de tous côtés dans un vase , et qu’ayant fait aux parois de ce vase deux ouvertures infiniment petites inégales, on y applique perpendiculairement des pistons pousses par des forces qui se fassent mutuellement équilibre; ces deux

forces seront entre elles comme les aires des ouvertures infiniment petites faites aux parois ; car il est évident que cette condition est nécessaire pour que ces forces soient en raison réciproque des vitesses virtuelles, qui auroient lieu si l’équilibre venoit à être infiniment peu dérangé.

COROLLAIRE III

218. Puisque par le théorème précédent nous avons pour le cas d’équilibre,

S/7ZZ/P cos .U P = 0.

En multipliant tout par dt, et observant que

udt est l’espace infiniment petit décrit par m et /s

udt cos. u P ce même espace estimé dans le sens de la force P ; il suit que si P est une force d’attraction entre les corps ou vers des points fixes, et que l’on nomme p la distance de m au point

dont il est attire, on aura udt cos. u P = — dp, et que par conséquent l’équation /\

Sraz/P cos. u P = o, se réduira à. SmPdp = o.

Supposant donc que l’attraction s’exerce en raison d’une fonction des distances, SmPdp sera susceptible d’une intégrale exacte fonction dep, et si l’on suppose que n soit cette intégrale exacte, c’est-à- dire, qu’on ait n =/S m P dp ; on aura n — 0 ; donc n sera un mini~ mum ou un maximum ; c’est-à-dire que lors-

ig6 PRINCIPES DE L’ÉQUILIBRE que plusieurs corps animés de forces attractives réciproques, ou dirigées vers des points fixes donnés, et fonctions des distances sont appliqués à une machine ; la position de l’équilibre est celle où la somme des produits des forces motrices par les distances des corps qui en sont animés aux points vers lesquels ils sont attirés, est un maximum ou un minimum.

La même chose auroit lieu également, si Fattraction s’exerçoit entre les corps même du système, quoique mobiles, en supposant qu’aîorsp désigne les distances des uns aux autres, parce que Faction et la réaction étant toujours égales et contraires entre eux deux à deux, la quantité SmVdp seroit évidemment toujours o comme ci-dessus. C’est ce principe qui a été donné par Maupertuis sous le nom de loi du repos. Nous y reviendrons à la fin de cet ouvrage.

COROLLAIRE IV

219. Le théorème énoncé ci-dessus peut s’appliquer au cas du mouvement 5 car alors le mouvement avec lequel chaque point tend à se mouvoir, se décompose en deux, dont l’un reste et opère le mouvement subséquent, et dont l’autre est détruit. Or ce mouvement détruit est assujéti (16g, igo) a la loi énoncée par le théorème ci-dessus ; c’est-à-dire, que quel que soit l’état de repos- ou de mouvement où se trouve un sys-

terne quelconque de forces appliquées à une machine , si on lui fait prendre lout-à-coup un mouvement quelconque géométrique, sans rien changer à ces forces ; la somme des produ its de chacune d’elles par la vitesse qu’aura dans le premier instant le point ou elle est appliquée , estimée dans le sens de cette force, sera égale à zéro .

Il ne sera peut-être pas inutile de prévenir une objection qui pourroit se présenter à l’esprit de ceux qui n’auroient pas fait attention au véritable sens du mot force. Imaginons, par exemple, dira-t-on , un treuil à la roue et au cylindre duquel soient suspendus des poids-, par des cordons verticaux : s’il y a équilibre , ou que le mouvement soit uniforme , le poids attaché à la roue sera à celui du cylindre , comme le rayon du cylindre est au rayon de la roue. Mais il n’en est pas de même, lorsque la machine prend un mouvement accéléré ou retardé : il paroît donc qu’alors les forces ne sont pas en raison réciproque de leurs vitesses estimées dans le sens de ces forces ; comme il devroit suivre de la proposition. La réponse à cela est que dans le cas où le mouvement n’est pas uniforme, les poids en question ne sont pas les seules forces exercées dans le système ; car le mouvement de chaque corps changeant continuellement, il oppose aussi % chaque instant par son inertie une résistance à ce

398 PRINCIPES DE L’ÉQUILIBRE changement d’état : il faut donc tenir compte de cette résistance. Ainsi les forces exercées par les corps ne sont pas leurs poids seuls, mais les quantités de mouvement perdues par ces corps, lesquelles doivent s’estimer par les tensions des cordons auxquels ils sont suspendus. Or que la machine soit en repos ou en mouvement, que ce mouvement soit uniforme ou non, la tension du cordon attaché à la roue est à celle du cordon attaché au cylindre, commele rayon du cylindre est au rayon de la roue ; c’est-à-dire, que ces tensions qui sont les vraies forces exercées par les corps , les vraies quantités de mouvement qui se détruisent l’une l’autre, sont toujours en raison des vitesses de ces corps : ce qui est conforme à la proposition.

COROLLAIRE V

2 20. Lorsque les forces en équilibre autour d’une machine se réduisent à deux, quel que puisse être le mouvement géométrique imprimé au système, il est clair par le théorème, que l’une des forces sera sollicitante, et l’autre résistante 5 c’est-à-dire, que l’une des deux fera un angle aigu avec la direction de sa vitesse, et l’autre un angle obtus avec la sienne ; car le produit d’une force par sa vitesse estimée dans le sens de cette force , est le produit de cette même force par le cosinus de l’angle quelle forme ayec sa vî-

tesse (26). Donc la somme de ces deux produits ne peut se réduire à zéro, sans que l’un des cosinus soit négatif; c’est-à-dire sans que l’un des angles soit obtus tandis que l’autre est aigu.

COROLLAIRE VI

221 . Concevons un système quelconque de corps animés de forces motrices quelconques , appliqués à une machine : nommons m chacune des masses du système , u sa vitesse , h la vitesse initiale, p la force accélératrice de m lorsqu’elle est sollicitante, p lorsqu’elle est résistante, et dt l’élément du temps. Nous aurons donc au bout d’un temps donné,

JdtSmpu cos.p u—fdtSmpucos.p u = '-Smif — jSm£ a ;

mais le premier terme de cette équation est ( 63 ) le moment d’activité consommé par toutes forces sollicitantes; et le second j est le moment d’activité absorbé par les forces résistantes. Supposons / donc que ces momens soient M, M', l’équation deviendra,

M]yi' = S m u % — îS mh\

Et comme u % étant un carré, est toujours positive, S mu* ne pourra jamais devenir négative. Donc si l’on suppose h = o on aura nécessairement M > M' ; donc nous pouvons établir en

200 PRINCIPES DE M’ÉQUILIBRE principe, que quelles que soient les forces appliquées à un système quelconque de corps en repos au premier instant du mouvement , le moment d activité consommé au bout d’un temps donné quelconque , par les forces motrices sollicitantes , est toujours plus grand que le moment d’activité absorbé en même temps par les forces motrices résistantes.

D où il suit, par exemple, que de quelque manière qu’on applique des poids à une machine en repos au premier instant, il est impossible que le centre de gravité du système monte, lorsqu’on abandonnera ce système à lui-même.

COROLLAIRE Vil.

232 . Puisqu’en supposant qu’il naisse un mouvement quelconque, la quantité Mest nécessairement plus grande que M', il suit que si l’on peut s’assurer que M ne peut être plus grand que M', il y aura nécessairement équilibre. Donc nous pouvons établir ce nouveau principe d’équilibre qui n’est qu’une généralisation de celui que nous avons donné pour les machines à poids (211).

Pour s’assurer que plusieurs forces motrices appliquées à une machine en repos au premier instant doivent demeurer en équilibre , il suffit de prouver que si cela n’étoit pas, le moment d’activité consommé au premier instant du mouvement,par toutes les forces motrices sollicitantes ,

seroit moindre ou du moins ne seroit pas plus grand, que le moment d’activité absorbé en même temps par les forces motrices résistantes .

Ce principe est vrai sans exception, et s’applique même aux cas qui échappent à celui des vitesses virtuelles. Car soit, par exemple, (fig. 24) un poids A placé entre deux plans inclinés

RP , 11Q 5 on ne peut appliquer à ce cas le principe des vitesses virtuelles, parce qu’on ne peut déranger l’équilibre qu’au moyen d’une force finie, au lieu que le principe qu’on vient d’énoncer renferme visiblement ce cas et tous ceux du même genre.

La proposition précédente peut encore s’énoncer comme il suit.

Une machine quelconque ne peut se mettre en mouvement sans que la somme des produits de chacune des forces qui lui sont appliquées, par sa vitesse estimée dans le sens de cette force y ne soit positive et plus grande que o, au bout du premier instant .

théorème xxv.

2 23 . Si plusieurs forces motrices sont appliquées, aux diverses parties d’un système quelconque de corps parfaitement libre, le centre de gravité se meut de la même manière , que si la masse totale du système étoit réunie en ce seul point,

202 principes de L’Équilibre et que toutes les forces lui fussent immédiate ment imprimées.

Car le système n’étant, par hypothèse, géné par aucun obstacle, il recevra dans chaque sens la somme totale des forces imprimées dans ce meme sens. Mais (il5) le centre de gravité se meut toujours dans quelque sens que ce soit, avec une vitesse qui, multipliée par la masse totale du système , égale la quantité totale du mouvement dans le même sens. Donc le mouvement du centre de gravité est toujours le même , quelle que soit la figure du système, dès que ce système n’est gêné par aucun obstacle. Donc il est le même que si toute la masse du système lui étoit réunie.