THÉORÈME XXVI
2 24. Dans tout système deforces considérées comme immatérielles, [pu abstractiojifaite de la force d’inertie) dont le mouvement change par degrés insensibles, le moment d’activité consommé dans un temps donné par toutes les forces sollicitantes , est constamment égal au moment d’activité absorbé dans le même temps par toutes les forces résistantes.
Car si l’on nomme F chacune des forces sollicitantes , V la vitesse du point où elle est appliquée , f chacune des forces résistantes, v la yî-
ET DU MOUVEMENT. 2o5
tesse du point où elle est appliquée, et dt l’élément du temps , on aura (200)
SF V cos.F V — S/V cos.jT v = o.
Multipliant par dt et intégrant pour avoir l’état du système au bout d’un temps quelconque, on aura
S/F Y dt cos.F V— Sffvdt cos./ v = o.
Mais le premier terme de cette formule , est ( 63 ) le moment d’activité consommé par les forces sollicitantes F, pendant la durée du mouvement : et le second terme, est le moment d’activité absorbé par les forces résistantes dans le même temps. Donc le moment d’activité consommé par les forces F, est égal au moment d’activité absorbé par les forces fi Ce qu’ilfalloit prouver .
théorème xxvii.
2 25 . S’il y a équilibre entre plusieurs forces appliquées simultanément à une machine , et que Von considère tant ces forces actives appliquées à la machine, que celles qui sont exercées par les obstacles même ou points fixes qui en font partie ;
i°. La somme de toutes ces forces estimées dans un sens quelconque sera égale à zéro.
ao4 PRINCIPES DE L’ÈQUILIERE
2°. La somme des mornens de ces mêmes forces, tendant à faire tourner dans un même sens , autour d y un axe quelconque pris à volonté dans l espace , est aussi égalé à zéro.
Car en substituant aux forces passives exercées par les obstacles, des forces actives comme celles qui sont appliquées à la machine, le système deviendra parfaitement libre; et l’on pourra lui appliquer les mêmes raisonnemens qui ont été faits (191 et ig 3 ). Ce qu’ilfalloit démontrer.
226. S’il n’y avoit dans le système qu’un axe fixe; toutes les forces passives exercées par cet axe n’auroient aucun moment à l’égard de ce même axe. Donc, dans ce cas, la somme des momens des seules forces actives, à l’égard de cet axe, et tendantes à faire tourner le système dans un sens donné, seroit égale à zéro.
227. Le mode qu’on suit ordinairement pour établir les lois générales de l’équilibre et du mouvement , consiste à rapporter , conformément à l’usage élégant qu’a introduit Maclaurin, le système à trois axes perpendiculaires entr’eux. Cependant j’ai trouvé plus direct pour les premiers principes que je viens d’exposer, de suivre une marche différente. Mais il est facile maintenant d’exprimer les résultats que j’ai obtenus, en les rapportant, en effet, à trois axes orthogonaux : jel’ai déjà fait( 184) pour les changmensbrusquesj
ET DU MOUVEMENT. 2o5
il me reste à le faire également pour les mouvemens qui changent par degrés insensibles. C’est l’objet des dénominations suivantes et des propositions qui viennent ensuite, et qui ne sont que des transformations des équations trouvées précédemment.
228. Nous supposerons donc qu’un système animé de diverses forces motrices quelconques , change de mouvement par degrés insensibles 5 et qu’ayant imaginé dans l’espace trois axes quelconques perpendiculaires entr’eux pour y rapporter le mouvement , on décompose celui de chacun des corps du système, en trois autres respectivement parallèles à ces axes. Cela posé,
je désigne :
Chaque molécule du système, par.. . m
ses trois coordonnées, par. x , y t z ,
sa vitesse pour un instant donné quelconque, estimée dans le sens de ces trois axes respectivement, par.. .. V', V", V"' la force motrice au même instant, estimée dans le sens de ces memes
axes respectivement, par. P', P", p"
sa vitesse géométrique ; c’est-à-dire , la vitesse que prendroit cette molécule si l’on venoit tout-à-coup à changer le mouvement actuel en un autre mouvement géométrique j
206 PRINCIPES DE L’ÉQUILIBRE cette vitesse, dis-je, estimée de même
dans le sens des axes respectivement, par. u'y u'\ u"'
l’espace parcouru par m dans un temps
quelconque, par. s
la durée du mouvement, par. t
2 20. Cela posé, on aura pour tout le système, à chaque instant, les deux équations suivantes:
SmP'\'dt+ SmP" Y*dt + SmV ll, \"'dt = S SroVW + SmV"'</V , "..(M')
SmP'u'dt + SmV"u"dt+ SmP'"u"'dt — Sraz/rfV' + Smu"dY" + Smu"'dV"'.. (N')
En effet, ces formules ne sont autre chose que les formules ( M), ( N) trouvées (1 99 ), et transformées convenablement pour qu’on puisse rapporter le mouvement aux trois axes proposés.
Car d’après ce qui a été dit (118) , on a
YdV = V'rfV' + Y"dV" + V'"dV "' 9 et PV cos.p'V = P'V' 4- P" V" + p"' V"'.
Substituant donc ces valeurs dans la formule (M), on aura la première (M') des deux formules cidessus.
Par le même principe, comme u est arbitraire,
fs
quoique V varie, ud(Y cos.w V) est la même chose que
d {u V cos. if v) , ou d (u'V'+u"\'"+u"'V ur ) ,
dans laquelle u , u\ u!" doivent être traitées comme constantes ; donc on a
ud (V cos. u V) = udV'+ u ,, dY , + u°'dX f \ et par la même raison ,
Pu cos.P^w = PV + PV+ P'V".
Substituant donc ces valeurs dans la formule (N) (199), on aura la seconde (N') des deux formules ci-dessus. Ce qu’il falloitprouver.
250 . Dans le cas d’équilibre, on a V=o, dV = o : ainsi l’équation (M') se réduit à 0 = 0, et l’équation (N') se réduit à SmP'u + SmPV+ SmP'V" = o , (N")
qui est la formule générale de l’équilibre rapportée à trois axes perpendiculaires.
231 . Cette formule générale peut se tirer immédiatement du principe des vitesses virtuelles 5 car chacune des forces motrices mP\ mP ", mP"' est ici animée d’une vitesse géométrique u , u", ou u dirigée dans le même sens ; de manière que l’angle compris entre chaque force et sa direction étant O, son cosinus est 1, ce qui fait disparoître tous ces cosinus.
232 . De cette même formule générale de l’équilibre, on peut ensuite aisément déduire celles
208 P 11 I N C I P E s DE L’ÉQUILIBRE du mouvement (M')> (N'), car la force motrice de ni dans le sens de x étant mV la quantité de mouvement que m tend à prendre en vertu de cette force pendant dt, est mV'dt; mais par hypothèse, il prend seulement la quantité de mouvement md .\'. Donc il perd par l’action et la réaction des corps mVdt — mdY dans le sens de x. Par la même raison, il perd dans le sens de y la quantité de mouvement mV 'dt — mdV", et dans le sens dez, la quantité de mouvement mV" dt—• md\ u '. Donc ces forces sont celles qui sont détruites pendant l’instant dt , ou qui se feroient mutuellement équilibre si elles étoient seules. Ce sont donc celles qu’il faut substituer dans la formule générale (N") de l’équilibre trouvée ci-dessus, à la place de P', P", P'" $ et alors cette formule reprend la forme (N'), laquelle contient comme cas particulier la formule (M’), puisque les vitesses V', V", Y'" sont des vitesses géométriques, les premières en ordre.
233 . En vertu des vitesses V', V", V'", le corps m parcourt pendant dt les espaces dx, dy , dz respectivement dans le sens des coordonnées x , y , z. Donc dans les équations précédentes, on peut, au lieu de V', V", V"', subsdx dy dz ,
tltUCr dt 9 dt 9 dt’ 6 * al ° rS 1 equatlou ( M ) de ~ viendra , en multipliant tout par dt,
ET DU MOUVEMENT. 2 üQ dt(SmV'dx -f SmP% + SniV^dz)
== S m dx d —— Smdyd— 4 - S mdz~ dt dt dt 9
ou en supposant dt constant, et divisant par cette constante
S m P 'dx + S m P "dy + Sw V'dz /dxd'x •+- dyd*y+ dzd*z\
Sm(V'dx 4 - P"dy + V"'dz) md~.
dt *
234 . Supposons de même, qu’en vertu des vitesses géométriques quelconques u', u", u"\ chaque corps m parcourût dans un temps quelconque infiniment court donné qui n’a rien de commun avec dt , les espaces respectifs S'x , Jy, J'z , dans le sens des coordonnées x , y, z ; nous pourrons substituer ces quantités à la place de u , u\ u\ dans la formule ( N' ) , et alors nous aurons, en multipliant par dt,
dt(SmV’£x + SmV’S'y -f- S/nP' 7 z )
= S mS'xd —h S mS'yd r~ •+• S m^zd^dt dt fa*
ou en supposant dt constant, et divisant par cette constante,
S m {P'ix + P" J'y -f P "'fz)
= S*(^-V* + ^jy + ^>.. ( n")
On peut encore arriver aux mêmes résultats , en envisageant la chose un peu différemment, comme il suit.
Les forces exercées par chacun des corps d’un système , sont en général de deux sortes, savoir la force motrice et la force d’inertie. Si l’on décompose chacune des premières mP en trois autres mP',mP% m P"' parallèles à trois axes
donnés, et de même chacune des autres ——
en trois autres —m
dV' dt ’
dV° dt ’
dV
dt dV' dt ;
respectivement parallèles aux mêmes axes , on pourra appliquer à ce système général de forces le principe des vitesses virtuelles , en prenant sur la direction de chacun d’elles un point fixe; et égalant ensuite a o la somme des produits de chacune d’elles par la variation de cette distance.
De plus, comme ces points fixes sont abitraires, nous pouvons les prendre tous dans les trois plans fixes même qui contiennent les axes auxquels on rapporte ce mouvement. Ainsi chacune de celles de ces forces qui sont dirigées dans le sens des*-, sera censée appliquée au point où sa direction traverse le plan fixe des y et z :
ET DU MOUVEMENT. 2ll
ainsi des autres. Donc par le principe des vitesses Virtuelles, nous aurons
— Sm(— \ dt
Sm(P'<fx + P n £ y 4.
fd\' . dV" dt
Ce qui revient au même que ci-dessus.
Dans le cas d’équilibre, cette équation se réduit évidemment à
Sm( P'cT* 4- P"jy -f = o.
2 . 15 . J’appellerai position fictive du points, celle où il se trouveroit, si au lieu de parcourir dx, dy, dz respectivement dans le sens de a:
Z > 11 P arcour °it *y, fz, et je nommerai la distance de sa position réelle à sa position fictive, la variante de ce même point. Cette variante sera par conséquent l/<Lr a + Sy a + f z % tandis q ue l ’élément de la co urbe réellement décrite est V~dx*+ dy* -f- dz\
25 G. Cela posé, concevons que le système parte d’une position donnée que je désigne par (A) pour arriver à une autre position donnée désignée par (B). Supposons maintenant qu’il vienne à dévier infiniment peu de cette route , et qu’il passe dans sa route nouvelle par la position que j’ai appelée ci-dessus sa position fictive. Les JV, Sy, fz, qui répondront à cette position, seront
212 PRINCIPES DE L’ÉQUILIBRE alors ce que dans le calcul des variations on nomme les variations dex,y, z. Quant à la variation fs de la courbe , il faut bien la distinguer de ce que nous avons nommé ci-dessus la variante ; cette variante étant V J\v a -+-Jÿ a 4-<JV, tandis que la variation fs est ffV dx 1 + dy a + dz % ce qui est fort différent. Et si Ton nomme cette variante fs , il est clair (118) qu’on aura
dsf's cos. d* fs = dxfx + dyfy + dzfz , ou Y fs cos .vV* = Yfx + Y'fy + Y'fz, et pareillement,
PtT's cos. V*fs — Yfx + Y'fy + Y'fz.
257. Si l’on suppose que p soit la distance du corps m à un point fixe quelconque pris sur la direction delà force P ; de sorte qu'il puisse être regardé comme tirant ce point fixe. Que dp soit par conséquent la quantité dont il s’éloigne de ce point fixe, et fp celle dont il s’en éloigneroit, ei m parcouroit fx , fy, fs dans le sens des x, y, z j au lieu de parcourir dx, dy, dz ; il est évident (11 ) qu’on aura
P 'dx + P ‘dy + P "dz = — p dp
vsx + p"jy + p"'** = — p
Donc les formules précédentes (z 33 ) peuvent prendre les formes qui suivent,
zSmPdp + Swc?.V a =o.
SmVJp+Sm + J + J **) = o.
258 . Dans ces équations, on regarde P comme une force unique agissant sur m , ou comme la résultante de toutes celles qui lui sont appliquées; et comme P dp , P $p sont les momens d’activité consommés par la force motrice P , et que le moment d’activité consommé par la résultante de plusieurs autres est égal à la somme des momens d’activité consommés par toutes ces forces (27, 65 ) , il suit que si au lieu d’une seule force ttzP, on en suppose plusieurs mP, mQ , mR , &c. sur les directions desquelles soient pris des points fixes éloignés de m des quantités py q, r, &c. on aura ces deux équations,
2 Sm ( P dp + Qdq + Rdr 4 - &c.) + Smd . V e = o.
Srn (P Sp 4. Qfq 4- R<JV4- Sic.)
+Sm (ÿ^ + + £^)=°-(N")
239. Le dernier membre des formules (N"')> (N ,v ) trouvées (204 et 258 ) , est susceptible d’une transformation remarquable ; car si l’on différencie la quantité dxJ'x + dyty + dzfz, on aura
d{d vcT* dyty 4- dzâ'z)—(d*x£x+d i yS'y 4- tfzfz) + ; <P( dx* 4- dy* + dz*) y
214 principes de L’Équilibre
ou en transposant et divisant par dt', d'xSx -f d'yty ■ +■ d'zS'z d(dx^x 4 * dyS'y + dzS'z)
dr ' " ~dt'
. t(d*x + dy'+ dz") .
2 dr * * * ^ '
ou à cause de dx' + dy' -f dz' = ds', d'x d'y d'z.
~dF^ x+ df^ + dF S ' 2
d {dxS'x + d yS'y + dzSz) Sds*
dt' 2 dt'
Substituant donc cette valeur de^-^ Sx + Sy
dt' dt' y
■J" z dans le dernier membre des formules (N"'), (N IT ), elles deviendront
Sm(P'<T* + P "S'y + V"Sz)
, dxSx 4- dyS'y + dzSz SSmds'
- CL O 171 -——- f n v, \
d? 2 dt' >
Sm(VS-p + Q<fy + Rrfr+ &c.)
i , lü ~dxSx-\-dy&y -\-d.zSz JSmds* ,
+ dSm - — -^-j- = o.(n'>)
Il faut se rappeler (208) que dans la première de ces deux formules, la force motrice rn P est supposée la résultante de toutes les forces motrices qui agissent sur m; au lieu que dans la seconde , ces forces motrices partielles sont exprimées par m P, mQ , /rcR, & c .
ET DU MOUVEMENT, 2 i 5
24 0. Multiplions par dt l’équation (ri"), et intégrons par rapport à d, pour avoir Tétât de mouvement du système au bout d’iin temps quelconque , nous aurons
fdtSm(P'S x + P"<f> + P "'Sz) dxSx- f- dySy 4- dzSz SfSmds*
==Sm -—¥ - J -^dr +const -
Si nous supposons que la position du système au premier instant soit donnée , on aura pour ce premier instant, Sx = o , Sy — o , Sz = o.
Donc la constante sera o.
Si nous supposons de plus que la position du système au dernier instant soit aussi donnée, on aura de même pour ce dernier instant Sx— o, Sy = o, S z — o ; ce qui réduira le premier terme du second membre à zéro.
24 1. Donc si Ton suppose que la position du système soit donnée au premier instant et au dernier, la formule se réduira, en multipliant par dt, à
dt/dtSm(P'Sx + P"Sy+P'"Sz) -b SifSmds>= o ou dtfdtSm(P ^x-\-P"Sy 4-P"'^)4- /SmdsdSs=o m ,
ou en divisant par dt supposé constant, et observant que ds = V dt, on aura fdtSm(P'S x +P"Sy+P"'Sz)i-fSm'VdSs = o.
Cet le dernière formule revient à celle que pro.-
pose Condorcet ( Problème des trois corps) comme principe fondamental; il est exact, comme l’on voit; mais il suppose, conformément à ce qui vient d etre dit, que les points extrêmes de la courbe décrite soient donnés, c’est-à-dire, qu’on ait au premier instant et au dernier,
Sx = o , jy = o, z = o.
242 . Mettons dans la formule ( n v ) que nous venons de trouver à la place de ds* } sa valeur dx* + dy* + dz', et exécutons l’opération indiquée dans le dernier membre de cette équation par le signe S' ; la formule deviendra
dtfdt$m(V'fx + P "jy + p " r £ z )
+ /Sm ( dxdS'x + dy dS'y 4- dzdS'z) = o ;
ou en divisant par dt , et observant que = V',
dy (lz
dt 9 dt V 9
fdtSm(P'J"x -b P "Sy 4. p"\Tz)
+ fSmiXdS'x + V'dfy + Y"’dfz) = o; ce qui suppose toujours que les points extrêmes de la courbe décrite par chacun des mobiles soient donnés.
Dans la même hypothèse, la formule (n y ) peut aussi s’exprimer simplement (236) comme il suit :
ET DU MOUVEMENT. zi 7
dlfdtSmVys cos. P f's -f- S'±fSmds* = o, ou fdtSmP f's cos. P <P's -{-fSmVdJ's = o.
243 . Les formules (N'") , (N IT ) , trouvées ( 354 , 358 ) s’appliquent visiblement d’une manière spéciale au cas où les points fixes pris sur les directions des forces seroient des points attirans en raison d’une fonction quelconque des distances. Dans cette hypothèse, s’il y a équilibre, ces équations se réduisent à
Sm(PS'p 4- -f R dr -f &c.) = o.
Cette dernière formule relative à l’équilibre, auroit également lieu, si non-seulement les corps etoient attirés vers des points fixes, mais qu’ils s’attirassent eux-mèmes les uns les autres en désignant alors par p > q , r, &c. les distances respectives de ces corps soit entre eux, soit aux points fixes , puisqu’alors en considérant ces corps deux à deux , ils devront s’éloigner l’un de l’autre, des quantités c ?p, fq, J'r , &c. En concevant donc un point fixe pris à volonté sur la direction de leur attraction mutuelle , et supposant que ces forces d’attraction qui entre ces deux corps doivent être égales, à cause de l’égalité qui a toujours lieu entre l’action et la réaction , soient exprimées par h ; que la distance de l’un des mobiles au point fixe soit//, et celle de l’autre p , on aura pour la somme des 1110-
218 PRINCIPES DE L’ÉQUILIBRE mens d’activité qu'ils consomment en s’éloignant de la quantité J'p, kÇ^p'+fp") ou kS'p. Mais la somme des quantités fp") est zéro ; donc
la somme des quantités k S'p sera aussi zéro.
Puisque les forces motrices sont, par hypothèse , des forces d’attraction assujéties à des lois régulières ; en raison des fonctions des distances, il suit que Sm(Vdp + Qdq + R dr + &c.) est susceptible d’une intégrale exacte. Soit n cette intégrale ; nous aurons donc
S/rc(P<l> -4- Q <f q -f- R JV -f- &c.) = «T n / donc puisque le premier membre de cette équation vient d’ètre trouvé égal à zéro 5 le second l’est aussi. Donc on a ^rr = o 4 c’est-à-dire, que n est toujours un minimum ou un maximum dans le cas d’équilibre. C’est ce principe qu’on a nommé loi du repos (218), et qui n’est, à proprement parler, comme on le voit, que le principe des vitesses virtuelles.
244 . Dans la meme hypothèse, que les forces motrices sont toutes des forces d’attraction ou de répulsion proportionnelles à des fonctions quelconques des distances, on trouve aussi pour le cas du mouvement une formule remarquable > en ce qu’elle est indépendante des forces motrices.
En effet, nous avons vu (205) qu’alors le moment d’activité consommé par les forces motri-
ET DU MOUVEMENT. 2ig
ces pour faire passer le système d’une position donnée à une autre position donnée, est toujours la meme, quelle que soit la route tenue par chacun des corps. Donc le moment d’activité consommé par le système pour passer de la position donnée (A) (a 56 ) à sa position actuelle, diffère de celle qu’il faudroit consommer pour le faire arriver à sa position fictive, d’une quantité égale à celui qu’il faudroit consommer pour le faire passer directement de sa position actuelle à sa position fictive. C’est-à-dire,
S/tz(P'<T* + P "S'y + P'"« Pz).
D’usn autre côté, le moment d’activité consommé pour faire passer le système de sa position (A) à sa position actuelle est égal à la moitié de l’augmentation des forces vives de la première position à la seconde, et celui qu’il faudroit consommer pour le faire passer à sa position fictive est pareillement la moitié de l’augmentation des forces vives qui auroit lieu si le système s’y rendoit en partant de sa position donnée (A), au lieu de se rendre à sa position réelle. Donc la différence de ces deux momens d’activité est égal à la variation SwVA r , de la force vive. Donc on a
SmVJ'V = SmC&fx + P /; <i> + P '"«T*).
Cette formule auroit visiblement lieu également, quand même le système partiroit d’une autre position (A ) que celle donnée (A), pourvu que la
22 Ü PRINCIPES DE L’EQUILIBRE somme des forces vives fût la même dans les deux positions (A), (A'), puisqu’alorsle moment d’activité à consommer pour aller de (A) à (A') qui est toujours exprimée par la moitié de la différence des forces vives dans les deux positions, seroit alors zéro.
Supposant donc qu’en effet cette somme de forces vives soit donnée au premier instant, et mettant pour le second membre de l’équation que nous venons de trouver d’après cette hypothèse , sa valeur tirée de l’équation (n") trouvée ci-dessus ( 23 q), nous aurons
SmVS'V = dSm **+<»»+** dt a
Multipliant tout par dt, observant que Vdt = ds, transposant le dernier terme dans le premier membre • et réduisant, on aura
J'SmVds = dSm
dxJ'x - 4 - dySy -f- dzS'z
Equation absolument indépendante des forces motrices.
245 . Si l’on intègre cette équation par rapport à. d, pour avoir l’état de mouvement au bout d’un temps quelconque, on aura
SSmfVds = Sm + C0D5f
Si Ton suppose comme ci-dessus (a 4 i) que la position du système au premier instant est donnée , on aura pour ce premier instant, S'x = o , S y = o , J'z — o j donc la constante sera zéro.
Si Ton suppose de plus que la dernière position du système soit aussi donnée, on aura de même pour cette dernière position, S'x = O , — ° ? Sx = o; donc le second membre de Téquation s’évanouira ; donc il restera simplement <TS rn/Vds = o. ..(Q) c’est-à-dire, que la quantité S mfVds sera un minimum ou un maximum .
C’est dans cette formule que consiste le fameux principe de la moindre action, lorsque le mouvement change par degrés insensibles. Voici l’énoncé de ce principe tel qu’il est donné par Lagrange dans sa Mécanique.
Dans le mouvement d 3 un système quelconque de corps animés par des forces mutuelles d 3 attraction , ou tendantes à des centres fixes , et proportionnelles à des fonctions quelconques des distances ; les courbes décrites par 'les dif— férens corps et leurs vitesses , sont nécessairement telles , que la somme des produits de chaque masse par l'intégrale de la vitesse multipliée par Vélément de la courbe, est un maximum ou un minimum , pourvu qu'on regarde les premiers et les derniers points de chaque courbe comme donnés.
La quantité S m/Yds, qui est un minimum , est la même chose que S mf\*dt ou fdtSm \*- 9 donc cette quantité augmente à chaque instant dt 9 de la quantité dt S 77 zV a , qui n’est autre chose que la force vive totale du système multipliée par cet instant, c’est-à-dire, que la quantité qui se trouve minimum est l’accumulation des produits de la force vive qui a lieu à chaque instant par la durée de ce même instant.
Or(aoi) SmY*= nfmYPdt cos. V P, et par
conséquent, dtSm\ T *=z zdtfmWdt co&.Y^ P , c’est-à-dire, que cette quantité ûftS/wV a dont l’intégrale est un minimum , n’est autre chose ( 64 ) que le double de la quantité d’action dépensée pendant dt par toutes les forces motrices , pour mettre le système en mouvement. Donc la quantité f dt S / 7 zV a qui est minimum , est la
même chose que afd tSmV P dt cos. P^V ; c’està-dire, deux fois la quantité d’action dépensée par toutes les forces motrices du système, pour opérer son passage d’une position donnée à une autre position donnée. De-là vient le nom de pri ncipe de la moindre action donnée à la formule trouvée ci-dessus. C’est donc cette dépense de quantité d’action que semble économiser la nature dans les cliangemens quelle produit , et c est par cette considération que plusieurs Savans ont cru qu’on pouvoit regarder le principe
ET DU MOUVEMENT. 22 5 dont il s’agit comme un résultat des causes finales.
Nous avons vu (200) que lorsque le système passe par la position de l’équilibre, on a à ce moment S/rcVPcfrcos.P V = o , et par conséquent, en multipliant par dt ,
dtSmVPdt cos. p'Y == o ; c’est-à-dire, que la quantité d’action dépensée par toutes les forces du système pendant l’instant où le système passe par la position de l’équilibre , est égale à zéro. Ainsi cette même quantité qui est zéro dans le cas de l’équilibre, devient un moindre dans le cas du mouvement.
246 . On peut tirer de la formule (P) (244) d’autres conséquences intéressantes • en effet, ds' étant la même chose que dx* + dy*-\-dz *, il est clair d’abord que cette formule peut s’écrire ainsi,
«TS m ( V' dx + Y"dy + V"'dz )
= dSm(\'^x + Y'£y + V'S'z )... (P')
formule dans laquelle les caractéristiques d et J' jouent absolument le même rôle.
2^7 • Exécutons les operations indiquées, nous aurons
Sm ( £xdV , +\'dï x y£ y dV''+Y l dê-y+hdV ,, '+V"'dï z )\
mais comme par les principes du calcul des
2^4 PRINCIPES DE L’ÉQUILIBRE variations on peut intervertir l’ordre des caractéristiques d, £ , il est clair que les 2 e , 4 e et 6 e termes du premier membre détruisent les 2 e , 4 e et 6 e tei mes du second respectivement. Donc la formule se réduit à
S m ( ïxd\' + Jyd\" -+- fzdV"')
= Sm(dx*Y + dySV + dzW')... (P")
On voit que dans cette formule, les caractéristiques d, <T, jouent encore le même rôle.
