Si à cette formule, nous ajoutons l’équation identique

Sm (xdW + ydW zdfV"')

= Sm(xfdY +yfdY J + zfdY"),

nous aurons

^ AfxdV' + xd*Y) + («f ydW" + yldY')\ 2 V+ (ïzdV"' + ztU M"') J Z

ÆdxW + xfdY) + (fyW" + y£dy\

' 1 + (dzW'+ zfdV 1 ") >°

J'S m (xJV 1 + ydV" + z d V"’ )

= dSm(xfV' +jyJ'V" + zJ'V'")...(R)

où les caractéristiques d et <T sont encore employées de la même manière.

2 4 9 . Si l’on intègre cette dernière formule par rapport à d, pour avoir l’état du mouve-

ET DU MOUVEMENT. 2a5

ment aa bout d’un temps quelconque, nous aurons

SSmfÇxdV' + yW + z( l\'i')

= S m (xW+ y w + z JV) + const .

Mais s. l’on suppose que les vitesses de chaque mobile soient données au premier instant, c’esta ire, qu on ait àce premier instant J'y' = o ^ V = o , /V"' = O, la constante sera o. Et si 1 on suppose pareillement que les vitesses au dernier instant soient aussi données, le second membre s’évanouira. Donc l’éqdàtion se réduira à » *Smf(xdy', +ydV"- f zd\‘") =o.. .(S)

c e st-à-dire, que, la quantité

S>mf(xdY + ydX‘ + zdV°')

sera un minimum ou un maximum.

25o. En mettant dans cette équation , pour

dV', dV", dV” leurs Valeurs d dx , d^ ddt dt’ U dt'

elle deviendra, à cause de dt constant, i S m C’- X d ' X + + zd 'z

J dt ~°-

Intégrant par parties, elle deviendra

SSm ou

*Sm(*T+ r x- + *r) -;S>SmfVds = o.

(*±±y^±^y^ m pix'ydv^ ( is

326 PRINCIPES DE L’ÉQUILIBRE Nommons R le rayon vecteur de m , il est clair (218) que le premier terme de l’équation précé-

dente deviendra «^S/aRV cos.R V $ donc Téquation deviendra,

<TSm(RV cos.R^V — fVds) = o.

Ainsi dans le cas où Ton suppose la vitesse de chaque mobile donnée au premier instant et au dernier, la quantité qui est un maximum ou un minimum , n’est pas S m/Yds , comme lorsque ce sont les points extrêmes qui sont donnés, mais

Sm(RV cos. r'V — JYds),

R exprimant la distance de m à l’origine des coordonnées. Mais comme on est maître de prendre où Ton veut l’origine des coordonnées, la quantité précédente est un maximum ou un minimum , à Tégard de tout point quelconque pris à volonté dans l’espace.

251 . Nous avons trouvé (a 45 ) pour le cas où la somme des forces vives initiales est donnée, sans que d’ailleurs la vitesse de chaque mobile en particulier ni sa position le soient^ la formule

dxS'x + dy S'y -f- dzS'x

JStnYds = dSm —-— -^-

dSm(Y*x 4- vvy + V"'«Tz).

Mais (a 56 ) le dernier membre de cette équation

est rfS m(V/'i. cos. V^Vs). Donc nous avons dans cette hypothèse

iSmVds = </Sm(vrs. C os.vVs).

Je ne pousserai pas plus loin ces détails, qu i deviennent étrangers à mon objet.

Considérations sur l’application des forces mouvantes aux machines .

252 . Les machines en général sont les corps qu on interpose entre deux ou plusieurs puis, sances, pour transmettre l’action de l’une à l’au tre, suivant telles ou telles conditions, d’après l’objet qu’on a à remplir. 1

Les machines proprement dites sont ceux de ces corps intermédiaires que l’on considère comme dépouillés de leur masse, soit que cette masse soit en effet très-petite à l’égard des forces qui lui sont appliquées , soit que l’on considère les forces motrices et d’inertie propres à cette masse, comme de nouvelles forces qui lui sont extérieurement appliquées , et dont on tient compte dans le calcul comme de toutes les autres Cette abstraction a été imaginée pour simpli -1 fier la recherche du rapport particulier qui existe entre les forces qui sont en effet extérieurement appliquées à la machine dont la figure peut être plus ou moins compliqué

Mais quelle que soit cette complication des machines, il est aisé de sentir qu’on peut toujours les considérer comme l’assemblage d’une multitude de corpuscules séparés par des lils ou des verges au moyen desquels l’action se transmet de proche en proche, d’une puissance à l’autre : ainsi toute machine peut se ramener à la machine funiculaire ou au levier , et meme à 1 une seulement de ces deux machines j mais on a coutume d’appeler simples, non seulement ces premières, mais encore la poulie , le treuil, le plan incliné , la vis et le coin. Mon intention n’est pas de rechercher les propriétés particulières à chacune d’elles, ce qui est comine je l’ai déjà observé, l’objet des traités suivis de mécanique ; mais d’offrir quelques considérations sur celles de ces propriétés qui sont communes à toutes les machines.

Suivant qu’unemachine est en équilibre OU en mouvement, les forces qui lui sont appliquées produisent deux sortes d’effets de natures fort différentes ; parce que dans les machines en mouvement , il entre une considération de plus à avoir que dans les machines en repos ; savoir, la vitesse du point d’application de chacune de ces forces. Dans le cas d’équilibre, on n’a à considérer que l’intensité de ces forces ; mais dans celui du mouvement, il faut de plus avoir égard au chemin que chacune a à parcourir. Ainsi, par exemple,

une force telle que celle d’un homme qui exerce son action sur un poids parle moyen d’un treuil, produit deux effets de natures différentes suivant qu’elle a seulement aie soutenir, ou qu’elle a à l’élever à telle ou telle hauteur.

Cependant ces deux effets doivent être et sont réellement liés d’une manière intime , car l’un n’est qu’un cas particulier de l’autre ; le cas d’équilibre n’est autre chose que celui du mouvement , lorsque la vitesse se réduit à o, c’est-à-dire, qu’il en est proprement la limite. Aussi dans le cas de mouvement comme dans celui d’équilibre, les deux forces sont toujours en raison réciproque de leurs vitesses respectives, estimées dans le sens de ces forces ( 219 )j mais dans le cas de mouvement, c’est des vitesses réelles qu’il s’agit, au lieu que dans le cas d’équilibre, c’est seulement des vitesses virtuelles , c’est-à-dire , des vitesses infiniment petites que prendroient ces puissances si l’une venoit à l’emporter, et à faire naître ce petit mouvement.

253. Cette propriété fondamentale , et en quelque sorte commune aux deux cas, fait en même temps connoître ce qui cependant les distingue et les caractérise Car il en résulte, qu’une force très-petite peut bien soutenir en équilibre un poids très considérable, mais que s’il s’agit de l’élever à une hauteur donnée comme d’un mètre,

2 3o PRINCIPES DE L’ÉQUI LIBRE il faudra que la puissance descende d’un nombre de mètres d’autant plus grand , qu’elle sera ellemême plus petite par rapport au poids. Si par exemple cette puissance ou force mouvante n’est que la centième partie du poids, elle pourra bien le soutenir au moyen du treuil ci-dessus ; mais si elle veut le mouvoir, il faudra qu’elle descende de cent mètres pour faire monter le poids d’un seul mètre.

Et comme il est nature M’évaluer l’effet d’une puissance appliquée à une machine en repos, par le poids qu’elle soutient ; et celui d’une puissance appliquée à une machine en mouvement, nonseulement par ce poids en lui-même , mais encore par la hauteur à laquelle on l’élève, on voit qu’il en résulte deux effets de natures très-différentes. Que dans le cas d’équilibre, la machine peut centupler l’effet de la force, tandis que dans la machine en mouvement, celui d’une puissance capable d’une certaine intensité donnée et d’une vitesse aussi donnée, est invariable, c’està-dire toujours le même quelle que soit la forme de la machine, et toujours égal au produit de cette force par le chemin qu’elle parcourt, estimé dans le sens de cette force.

2.54. Comme on est maître de ses définitions, on peut donner le nom d’effet d’une puissance à autre chose que ce que nous venons de désigner

ET DU MOUVEMENT. s 3 l

ainsi. Mais en se conformant autant que possible aux acceptions reçues dans la pratique des arts , il semble qu’on ne puisse guère entendre par l’effet d’une puissance en équilibre autre chose que le poids qu’elle soutient : que pour évaluer celui d’une puissance en mouvement, il faut au contraire , non-seulement avoir égard à la masse élevée, mais encore à la hauteur à laquelle on l’élève. Car un cheval, par exemple, est censé deux fois aussi fort qu’un autre, lorsqu’il élève la meme quantité d’eau à une hauteur double dans le même temps, ou une quantité d’eau double à la même hauteur : c’est-à-dire , que sa force est censée en raison composée du poids qu’il élève dans un temps donné, et de la hauteur à laquelle il l’élève ; et c’est ainsi également qu’on évalue le travail des ouvriers et qu’on paye leurs salaires.

255. De là est né ce grand principe, que dans toute machine en mouvement, on perd toujours en temps ou en vitesse ce quon gagne en force .

Pour bien saisir le sens de ce principe fondamental , considérons un effet quelconque à produire , par une machine en mouvement, par exemple, un poids donné P à élever à une hauteur donnée H ; effet qui sera par conséquent d’après ce qu’on vient de dire, représenté par PH.

Soit F la force employée à produire cet effet,

PRINCIPES DE

M’équilibre

V sa vitesse estimée dans le sens de cette force, T le temps pendant lequel s’exécute l’opération ; et supposons, pour plus de simplicité, que le mouvement soit uniforme. Je dis que quelle que soit la machine employée pour produire cet effet, on aura toujours F VT = PH.

En effet, nous avons va ( 224 ) que dans tout système dont ce mouvement change par degrés insensibles, le moment d’activité produit dans un temps donne par toutes les forces sollicitantes, est constamment égal au moment d’activité absorbé en même temps par toutes les forces résis tantes.

Or ici quelles sont les forces sollicitantes et les forces résistantes ? Il est clair qu’il n’y en a qu’une de chaque espèce ; que F est la force sollicitante et P la force résistante. 11 y a bien, à la vérité, une autre force résistante qui est la force dV'

d inertie exprimée par/m— (99), m exprimant

la masse de chacun des corpuscules du système tant du poids P et de la force F qui est toujours résidente dans un corps, que de la machine ellemême , qui est aussi toujours matérielle ; mais nous faisons,quant à présent, abstraction de cette force d’inertie, parce que le mouvement étant supposé uniforme, on a c?V = o. Nous n’avons donc à rechercher que les niomens d’activité de ces deux dernières forces F et P, lesquels doivent

ET DU MOUVEMENT. 255 être égaux, par la proposition citée. Mais ( 62 ) le moment d’activité d’une force est le produit de cette force par le chemin qu’elle décrit, estimé dans le sens de cette force : donc puisque le mouvement est supposé uniforme , et que V est la vitesse de F estimée dans le sens de cette force , VT sera le chemin qu’elle décrira dans ce sens et par conséquent , F VT sera le moment d’activité produit par cette force pendant le temps T. Pareillement il est clair que PH sera le moment d activité absorbe par P $ donc nous avons en effet F V T = P H ; et cette équation a lieu , quelle que puisse être la forme de la machine.

256. Par la même raison , si en employant soit la meme machine, soit une autre, on vouloit produire le même effet PH, au moyen d’une autre force/’, mue avec une vitesse qui estimée dans le sens de/, seroit u, pendant un temps t, on auroit pareillement/^* = PH.

Donc pour produire l’effet PH , il faut toujours que le moment d’activité de la force employée F ou/, se trouve égal à cet effet, et que l’on aitF.V.T = f.u.t.

Si donc, par exemple, on veut que/ne soit que moitié de F, c’est-à-dire, si l’on veut élever le meme poids P à la même hauteur H, en employant une force sous-double, il faudra , ou que u devienne double de V, ou que t devienne

234 PRINCIPES 1)E L’É QUILIBRE double de T, ou enfin qu’en général ut devienne double de VT.

257. On voit par réquation FVT = PH, trouvée ( 261 ), qu’il est inutile de connoître la figure d’une machine, pour savoir quel effet peut produire une puissance qui lui est appliquée , lorsqu’on connoît celui qu’elle pourroit produire sans machine. Supposons, par exemple, qu’un homme soit capable d’exercer un effort continuel de 12 kilogrammes en se mouvant continuellement lui-même avec une vitesse d’un mètre par seconde. Cela posé, lorsqu’on l’appliquera à une machine, le moment d’activité F VT que consommera cet homme pendant le temps T, sera la 111 *, i® 6 *- T ; c’est-à-dire, qu’on aura FVT= ia kil i mii T ; donc à cause de F VT = PH, on aura PH= i 2 kiI i mét - T,

quelle que puisse être la machine. Donc l’effet PH est absolument indépendant de la figure de cette machine, et ne peut jamais surpasser celui que la puissance est en état de produire naturellement et sans machine. On ne peut en inventer aucune par laquelle il soit possible avec le même travail, c’est-à-dire, la même force et la même vitesse employées pendant le même temps, d’élever le poids donné P à une plus grande hauteur que H ou un poids plus grand à la même

£T DU MOUVEMENT. 2 5l>

hauteur , ou enfin le meme poids à la même hauteur, dans un temps plus court.

208 . L’avantage que procurent les machines, n est donc pas de produire de grands effets avec de petits moyens, mais de donner à choisir entre diffërensmoyens qu’on peut appeler égaux, celui qui convient le mieux à la circonstance présente. Pour forcer un poids P à monter à une hauteur proposée , un ressort à se fermer d’une quantité donnée, un corps à prendre par degrés insensibles un mouvement donné, ou enfin tel autre agent que ce soit, à absorber un moment quelconque donné d’activité, il faut que les forces mouvantes qui y sont destinées, consomment elles-mêmes un moment d’activité égal au premier j aucune machine ne peut en dispenser.

Mais comme ce moment résulte de plusieurs termes ou facteurs, on peut les faire varier à volonté , en diminuant la force aux dépens du temps , ou la vitesse aux dépens de la force ; ou bien , en employant deux ou plusieurs forces au lieu d’une j ce qui donne une infinité de ressources pour produire le moment d’activité nécessaire. Mais quoi qu’on fasse, il faut toujours que ces moyens soient égaux, c’est-à-dire que le moment d’activité consommé par les forces sollicitantes , soit égal à l’effet ou moment absorbé en même temps par les forces résistantes.

269. Ces réflexions paroissent suffisantes pour désabuser ceux qui croient qu’avec des machines chargées de leviers arrangés mystérieusement, on pourroit mettre un agent, si foible qu’il fût, en état de produire les plus grands effets : l’erreur vient de ce qu’on se persuade qu’il est possible d’appliquer aux machines en mouvement, ce qui n’est vrai que pour le cas d’équilibre; de ce qu’une petite puissance, par exemple, peut tenir en équilibre un très-grand poids , beaucoup de personnes croient qu’elle pourroit de même élever ce poids aussi vite qu’on voudroit ; or, c’est une erreur très-grande, parce que, pour y réussir , il faudroit que l’agent se procurât à lui-même une vitesse au-dessus de ses facultés, ou qui du moins lui feroit perdre une partie d’autant plus grande de son effort sur la machine, qu’il seroit obligé de se mouvoir plus vite. Voilà pourquoi l’effet des machines en mouvement, est toujours tellement limité , qu’il ne peut jamais surpasser le moment d’activité consommé par l’agent qui le produit.

260. C’est sans doute faute de faire une attention suffisante à ces différens effets d’une même machine considérée tantôt en repos & tantôt en mouvement, que des personnes auxquelles la saine théorie n’est point inconnue , s’abandonnent quelquefois aux idées les plus chimériques y

tandis qu’on voit de simples ouvriers , faire valoir, par une espèce d’instinct, les propriétés réelles des machines, et juger très-bien de leurs effets. Archimède ne demandoit qu’un levier et un point fixe pour soulever le globe de la terre ; comment donc se peut-il faire, dit-on qu’un homme aussi fort qu’ ^ 4 rchimède , ne puisse pas, quand meme il seroit muni de la plus belle machine du monde, élever un poids de cent Üvçes en une heure de temps, à une hauteur médiocre donnée ? C’est que l’effet d’une machine en repos, et celui d’une machine en mouvement, sont deux choses fort différentes , et en quelque sorte hétérogènes. Dans le premier cas , il s’agit de détruire, d’empêcher le mouvement $ dans le second , l’objet est de le faire naître et de l’entretenir ; or il est clair que ce dernier cas exige une considération de plus que le premier ; savoir, la vitesse réelle de chaque point du système. Mais on pourra sentir encore mieux la raison de cette différence , par la remarque suivante.

261. Les points fixes et obstacles quelconques , sont des forces purement passives, qui peuvent absorber utl mouvement, si grand qu’il soit, mais qui ne peuvent jamais-eir faire naître un , si petit qu’on veuille l’imaginer, dans un corps en repos : or , c’est improprement que clans le cas d’équilibre-, on dit d’une petite puis-

PRINCIPES DE

L’EQUILIBRE

sance, qu’elle en détruit une grande : ce n’est pas par la petite puissance que la grande est détruite ; c’est par la résistance des points fixes : la petite puissance 11e détruit réellement qu’une petite partie de la grande, et les obstacles font le reste. Si ^ 4 rchimède avoit eu ce qu’il demandoit, ce n’est pas lui qui auroit soutenu le globe de la terre, c’est son point fixe ; tout son art auroit consisté, non à redoubler d’effort pour lutter contre la masse de ce globe, mais à mettre en opposition les deux grandes forces, l’une active, l’autre passive, qu’il auroit eues à sa disposition : si au contraire il eût été question de faire naître un mouvement effectif, alors Archimède auroit été obligé de le tirer tout entier de son propre fonds ; aussi n’auroit-il pu être que très-petit, même après plusieurs années: n’attribuons donc point aux forces actives, ce qui n’est dû qu’à la résistance des obstacles, et l’effet ne paroîtra pas plus disproportionné à la cause dans les machines en repos, que dans les machines en mouvement.

262. Quel est donc enfin le véritable objet des machines en mouvement ? Nous l’avons déjà dit, c’est de procurer la faculté de faire varier à volonté les termes de la quantité F VT, ou momentum d’activité, qui doit être consommé par les force» mouvantes. Si le temps est précieux,

ET DU MOUVEMENT. ^ que l’effet doive être produit dans un temps trèscourt, et qu’on n’ait cependant qu’une force capable de peu de vitesse mais d’un grand effort, on pourra trouver une machine pour suppléer la vitesse nécessaire parl’intensité de la force : si au contraire on n’a qu’une faible puissance à sa disposition, mais capable d’une grande vitesse, on pourra imaginer une machine avec laquelle l’agent sera en état de compenser par sa vitesse la force qui lui manque. Enfin si la puissance n’est capable ni d’un grand effort ni d’une grande vitesse, on pourra encore, avec une machine convenable, lui faire produire l’effet désiré, mais alors on ne pourra se dispenser d’employer beaucoup de temps ; parce qu’enfin on ne peut pas sortir de ce cercle , qu’il faut absolument que le produit F VT soit toujours égal à l’effet qu’on veut produire; et c’est en cela précisément que consiste ce principe si célèbre et si important, que dans les machines en mouvement, on perd toujours en temps ou en vitesse ce qu’on gagne en force.

263. Au reste, je n’ai ici considéré que le cas le plus simple, celui où il n’y a qu’une force employée à produire l’effet proppsé. S’il y en avoit plusieurs F, F', F", &c. dont les vitesses estimées dans le sens de ces forces fussent V, V' y 0 & c et qui fussent en action pendant les durées res-

2io PRINCIPES DE L’EQUILIBRE pectives T, T', T", &c. ce seroit la somme FVT + F'V'T' + F"V"T", & c .

qui se trouveroit égale à Teffet qu’on doit produire.

264 . Et si, déplus, le mouvement de chacune des puissances F, F', &c. étoit variable, ce seroit la quantité f(FVdt + F 'Y dt -4- &c.'),/désignant l’intégrale relative à la durée du mouvement qui seroit égale à l’effet qu’oii doit produire.