De tout cela, nous pouvons donc conclure ce qui suit

1 La vitesse première peut toujours se décomposer en deux autres, dont l’une est la vitesse restante , et l’autre la vitesse perdue. *

2°. La vitesse restante peut toujours se décom-

poser en deux autres, dont l’une est la yîtesse première, et l’autre la vitesse gagnée.

5 °. La vitesse perdue est la résultante de la vitesse première, et d’une vitesse égale et directement opposée à la vitesse restante.

^ 4 °. La vitesse gagnée est la résultante de la vitesse restante, et d’une vitesse égale et contraire à la vitesse première.

Tout ce que nous venons de dire des vitesses

MW, MV, MÛ, MW', MV', MU', et de leur décomposition, doit ( 4 o) s’entendre pareillement des quantités de mouvement M.MW, M.M V, M.MU, M.MW', M-MW, M.Mü 7 .

Or nous avons (26) ces diverses équations:

MW = MV.cos. M\VMV -h MÛ.cos.MW^MÛ MV = MW. cos. MW A MV + MU'. cos.’mv^MÎP MÛ = MW. cos. MW A MÜ+ MW . cos. MV‘^MU MU' = MV.cos. MV A MU' + MW'. cos. MW^ÜE M v = MW.cos. MW A MV — MÛ.cos. MV^MÜ MU = MW.cos. MW^MÛ — MV.cos. MV^MU

Et par conséquent on a de pareilles équations pour les quantités de mouvement,en multipliant tout par M.

et du mouvement.

Des forces accélératrices ou retardatrices, eU des forces motrices.

44 . Une force accélératrice ou retardatrice,, est en général (17) le quotient dW vitesse et d’un temps.

Lorsque la vitesse d’un mobile va en croissant continuellement, le mouvement est dit accéléré, et lorsqu’elle va en diminuant continuellement , le mouvement est dit retardé.

45 . Lorsque dans le mouvement accéléré, le corps gagne toujours en temps égaux des degrés de vitesse égaux, le mouvement est dit uniformément accéléré : on le dit au contraire uniformément retardé, lorsque le mobile perd toujours en temps égaux des degrés égaux de vitesse.

Dans le mouvement uniformément accéléré, on appelle force accélératrice du mobile, la vitesse qu’il gagne dans un intervalle de temps donné divisée par ce temps. Puis donc qu’en temps égaux il gagne toujours des degrés égaux

vitesse , il suit que dans le mouvement uniformément accéléré, la force accélératrice est constante; c’est-à-dire, la même pour tous les instans du mouvement.

Dans le mouvement uniformément retardé, c est la force retardatrice qui est constante.

46. Si le mouvement varie suivant une loi quelconque, on prend un intervalle de temps infiniment petit, et l’on appelle pour chaque instant, force accélératrice ou retardatrice du mobile, le rapport de l’accroissement ou du décroissement infiniment petit qui a lieu dans la vitesse , pendant cet intervalle de temps à sa durée ; c’est-à-dire, le quotient de la différentielle de la vitesse par la différentielle du temps, ou plus exactement la limite de ce quotient.

47 . On rend tout cela fort sensible, en décrivant une courbe dont les abscisses représentent les temps écoulés , et les ordonnées les vitesses ; car alors il est évident, par les définitions précédentes , que faire de la courbe représentera les espaces parcourus, et que le rapport de l’ordonnée à la soutangente représentera la force accélératrice ou retardatrice, suivant que les abscisses iront en augmentant ou en diminuant.

48. On appelleyb/re motrice, force de pression ou force morte d’un corps , le produit de sa niasse par sa force accélératrice ou retardatrice.

Nous aurons une idée claire et juste de ces sortes de forces, en considérant la pesanteur ou gravité; c’est-à-dire, cette tendance de tous les corps qui sont à la surface de la terre vers son centre. Rien de plus familier que les eifets de cette force : on prend une pierre dans sa main,

et l’on éprouve ce qu’on nomme une pression ; on suspend ce corps à un fil, et l’on tient l’autre extrémité de ce fil ; ce fil tire la main ou exerce sur elle une traction; le fil est lui-mémedans un état de tension : si ce fil vient à se casser, la pierre tombe d’un mouvement que l’expérience apprend être un mouvement uniformément accéléré. C’est la vitesse qu’il acquiert ainsi pendant un temps donné, divisée par ce temps, qu’on nomme la gravité ou la pesantenr : cette gravité ou pesanteur , est la force accélératrice ; c’est le produit de cette même gravité par la masse du corps qu’on nomme son poids et ce poids est la force motrice ou la force de pression du corps. Ces deux expressions sont synonymes ; mais celle de force motrice se rapporte plus particulièrement à l’état de mouvement du corps, et celle de force de pression , à son état de repos ou plutôt d’équilibre.

49. Une fois qu’on a l’idée nette de la pesanteur, on peut facilement .concevoir une force accélératrice double, triple, quadruple, &c., ou sous-double, sous-triple, &c. La gravité en fournit elle-même un exemple; car l’expérience prouve que quoiqu’elle soit à-peu-près de même intensité aux différens points de la surface du globe , elle diminue lorsqu’on s’éloigne sensiblement de son centre. On a reconnu que cette ten-

5 o principes de L’Équilibre dance étend sa sphère d’activité jusqu’à la lune, que c’est ce qui la retient dans son orbite, mais que son intensité y est fort affaiblie : puis en généralisant cette découverte , et s’appuyant toujours des phénomènes, on a reconnu que cette meme tendance atteign oit jusqu’aux astres les plus éloignés, et qu’elle étoit réciproque entre eux to us. C’est cette tendance générale de tous les corps de l’univers les uns sur les autres, qu’on nomme attraction, et c’est la recherche des lois qu’elle observe et des effets qu’elle produit, qui a fait le sujet principal des immortels travaux deNewton, et de ceux qui ont marché sur ses traces.

Or ce sont toutes ces forces, comparées à ce que nous avons appelé poids, qu’on nomme en général forces motrices , et toute force motrice est le produit d’une masse par une force accélératrice ou retardatrice qui peut être comparée à la pesanteur ou gravité. Et comme cette force accélératrice n’est autre chose elle-même ( 48 ) que le rapport de 1 accroissement de la vitesse pendant un temps infiniment court àcetélément du temps, il suit qu’une force motrice quelconque est le produit d’une masse par une vitesse divisée par un intervalle de temps, comme on l’a dit cidessus (17).

5 o. La pesanteur et toutes les forces (le ce genre opèrent par degrés insensibles, et nepro-

ET DU MOUVEMENT. g x

Nuisent aucun changement brusque. Cependant il paroît assez naturel de les considérer comme imprimant à des intervalles infiniment petits, des coups infiniment petits eux-mémes aux mobiles qu elles animent. Dès-lors le produit de chaque force motrice, multipliée par l’élément du temps pendant lequel elle agit sur le corps considéré , pourra être regardé comme u ne quantité de mouvement infiniment petite, imprimée tout d’un coup à ce même corps , et l’expérience confirme la justesse de cette hypothèse.

Par exemple, si g est pris pour exprimer la pesanteur, M la masse d’un corps, et dt l’élément du temps; Mgdt exprimera la quantité de mouvement infiniment petite qui pourra être censée imprimée à M, au premier instant du temps représenté par dt; et les calculs faits d’après cette supposition se trouvent toujours d’accord avec les résultats de l’expérience.

51 . Les forces accélératrices, retardatrices et motrices , se représentent, ainsi que les vitesses et quantités de mouvement, par des portions de lignes droites prises sur leurs directions et proportionnelles a ces forces, et on les soumet aux mêmes décompositions. Ainsi toute force motrice ou de pression , par exemple, peut se décomposer en deux autres, représentées tant pour leurs grandeurs que pour leurs directions par les

32 PRINCITES DE L’ÉQUILIBRE côtés d’un parallélogramme dont la diagonale adjacente exprirneroit cette force motrice.

Une force motrice, estimée dans un sens quelconque ou suivant une direction quelconque, est comme pour les vitesses (26) , le produit de cette force motrice par le cosinus de l’angle formé par cette direction avec celle de cette force motrice ; c’est-à-dire, que la force réduite est le produit de la force même proposée par le cosinus de Yangle de projection.

52 . Si cet angle est aigu, la force est dite sollicitante à l’égard de la droite proposée; parce qu’il est clair en effet qu’elle tend à mouvoir dans le sens de cette droite ; mais si l’angle est obtus, la force est dite résistante, parce qu’elle tend en effet à mouvoir dans le sens opposé à celui de la force sollicitante. Il est clair qu’un angle nul est censé aigu, et qu’un angle égal à la demi-circonférence est censé obtus.

Par exemple, si un homme fait monter un poids par le moyen d’un levier, d’une poulie , d’une vis , &c. Il est clair que la pesanteur et la vitesse du poids ou le chemin qu’il décrit, forment nécessairement entr’elles un angle obtus; autrement il est visible que le poids descendroit au lieu de monter ; mais la puissance motrice et sa vitesse forment un angle aigu : ainsi, suivant notre définition, le poids sera la force

résistante, et la force de l’homme sera sàUici tante.

Des forces mouvantes et de s.force s vives.

55. On appelle forces mouvantes , des forces motrices ou comparables à deS poids , en tant quelles Sont appliquées à des machines poufc Vaincre des résistances ou produire des mouveïnens quelconques ; et comme on emploie souvent pour cet objet des hommes , des animaux , des courans d’eau , le vent, les ressorts, l’eau réduite en vapeurs par le feu * &c. c’est à ces agens, ou plutôt aux effets qu’ils produisent immédiatement sur les corps auxquels ils sont appliqués , qu’on donne le nom de forces mouvantes. L’agent s’appelle ie moteur , et c’est la pression qu’il exerce, ou le mouvement qu’il imprime, qu’on nomme la force mouvante.

54. La mécanique ne remonte pas jusqu’aux causes premières qui produisent le mouvement ; elle n’examine pas commentla volonté de l’homme ou de l’animal fait sortir ses membres du repos* bu les y ramène spontanément : elle ne voit que le fait qui en résulte * ne considère que le mouvement déjà produit, et son objet est uniquement de rechercher comment ce mouvement une fois imprime, se conserve, se propage ou se modiHe,

54 PRINCIPES DE L’ÉQUILIBRE abstraction faite de toute nouvelle influence étrangère ; c’est-à-dire, qu’elle n’établit point ses calculs sur la force facultative du moteur, mais seulement sur la force effective qu’il déploie, et que nous venons d’appeler force mouvante.

55. On appelle force vive d’un corps le produit de sa masse par le carré de sa vitesse ; et voici ce qui a pu donner lieu à la considération de cette nouvelle espèce de quantité.

L’expérience prouve, comme on vient de l’observer, que les hommes, les animaux et autres agens de cette nature, peuvent exercer des forces comparables à celles des poids, soit en effet par leurs propres poids , soit par les efforts spontanés dont ils sont capables. Or il se présente deux manières aussi naturelles l’une que l’autre, d’évaluer l’action qu’ils exercent effectivement. L’une consiste à voir quel fardeau un homme , par exemple , peut porter, ou quel effort évalué en poids il peut soutenir, tout demeurant en repos. Alors la force de cet homme est une force de pression équivalente à tel ou tel poids, et qu’on appelle quelquefois force morte (47).

56. La seconde méthode d’évaluer la force d’un homme, d’un cheval, &c. est d’examiner l’ouvrage qu’il est en état de faire dans un temps donné} dans un jour, par exemple, par un tra-

et DU MOUVEMENT. 35.

Vai1 suivi. Sous ce point de vue, pour arriver, comme dans le premier cas, à une évaluation précise, nous pouvons encore comparer le résultat de son travail à reflet de la pesanteur * car il est ? naturel d’évaluer ce travail et par le poids qu’il peut élever dans un temps donné, et par la hauteur à laquelle il élève ce poids. C’est ainsi qu’on l’entend , lorsqu’on dit qu’un cheval équivaut , pour la force, à sept hommes ; on ne veut pas dire , que si sept hommes tiroient d’un côté et le cheval de l’autre, il y auroit équilibre 5 mais que dans un travail suivi, le cheval à lui seul élèvera, par exemple, autant d’eau du fond d’un puits à une hauteur donnée, que les sept hommes ensemble pendant le même temps. Quand on emploie des ouvriers , l’intérêt est de savoir ce qu’ils peuvent faire de travail dans un genre analogue à celui dont on vient de parler, bien plus que de savoir les fardeaux qu’ils pourvoient porter sans bouger de place. Cette nouvelle manière d’envisager les forces, est donc au moins aussi naturelle et aussi importante que la première. Et comme il est sensible qu’éJever un poids de cent kilogrammes à mille mètres de hauteur est la même chose dans cette manière d’évaluer les forces, qu’élever deux cents kilogrammes à

cinq cents mètres seulement : il suit que les forces sous ce nouveau point de vue, doivent être considérées comme en raison directe des poids à éle-

56 PRINCIPES DE L’ÉQUILIBIIË ver, et des hauteurs auxquelles il faut les porter ou autres travaux comparables à celui-là. Or c’est sur cela qu’est fondée la notion des forces vives.

57. En effet, soit M une masse, P son poids, o- la gravité, dt l’élément du temps, et H la hauteur à laquelle P a été élevé. Suivant cette nouvelle manière d’envisager les forces, celle qui a dû être employée pour élever P à la hauteur H, sera PH ; mais ( 17 ) H étant un espace parcouru, peut être exprimé par le produit d’une vitesse V et d’un temps T ; d’un autre côté, on a (48)

P =gNl = J et S dt est unevîtesse ( 17)-

Donc PH = MVV' donc dt et T étant

deux quantités homogènes, PH sera le produit d’une masse par le produit de deux vitesses , ou par le carré de la vitesse moyenne proportionnelle entre Y et Y' ; donc la force P H se résout en un produit d’une masse par le carré d’une vitesse, comme Uu% en nommant u la moyenne proportionnelle entre V et V'. Telle est l’origine naturelle de la notion des forces vives. Il y eut autrefois de grandes discussions sur la question de savoir si les forces des corps en mouvement doivent être évaluées par le produit de la masse parla vitesse, ou parle produit de la masse par le

carré de la vitesse. Cela se réduit, comme on le voit, à une dispute de mots. Pourvu qu on raisonne conséquemment aux définitions qu on aura une fois adoptées, les conclusions seront toujours les mêmes, puisqu’on part toujours des mêmes bases.

58. Sous le nom simple de forces ou puissances , ou de forces proprement dites , on comprend les quantités de mouvement et les forces motrices ; ou si Ton veut, les forces de percussion et celles de pression, parce qu’elles sont soumises aux mêmes décompositions et aux mêmes lois. Mais lorsqu’on veut désigner une force vive, on ajoute toujours l’épithète qui la caractérise, c’ést-à-dire le mot vive.

59 . Nous venons de voir que la force vive peut se présenter ou sous la forme Mu d une masse par le carré d’une vitesse, ou sous la forme PH d’une force motrice par une ligne. Dans le premier cas, c’est la force vive proprement dite ; dans le second, on pourroit lui donner la dénomination particulière de force vive latente .

Des momens en général, du moment d’activité , et de la quantité d’action.

60. On appelle en général moment de force > soit de pression, soit de percussion , le produit de cette force par une ligne ( 17 ) ; ainsi la quantité PH que nous avons trouvée ( 57 ) , est le moment d’une force motrice P ÿ Muh, en supposant que. M soit une masse, u une vitesse, et h une ligne, est le moment de la force ou quantité de mouvement M«.

On voit par-là que le moment d’une force mo- . trice peut toujours se résoudre en une force vive, et que le moment d’une quantité de mouvement peut toujours se résoudre en une force vive multipliée par un temps ; car h étant une ligne,, est le produit d’une vitesse par un temps. Cette espèce de produit se nomme aussi quantitéd } action de la masse proposée. Ainsi M uh est la quantité d’action de la masse M.

61. Il y a différentes espèces de momens, suivant la nature de la ligne qui sert de facteur. Ainsi , par exemple, PH qui est le produit d’une force motrice verticale P par une ligne H, prise aussi dans le sens vertical, se nommera moment d’activité consommé par la force P- et en général , j’appellerai moment d'activité consommé par une force motrice , le produit de cette force

ET DU MOUVEMENT. 5 g

par le chemin que décrit le point où elle est appliquée , estimé dans le sens de cette force ; c’està-dire, le produit de cette force par le chemin que décrit le point où elle est appliquée, et par le cosinus de l’angle de projection, ou angle compris entre la direction de cette même force , et la direction de cette même vitesse.

J’appellerai au contraire , moment d’activité absorbé par cette force motrice, le produit-de cette force par la vitesse du point où elle est appliquée y estimée dans le sens opposé à cette force, ou multipliée par le cosinus du supplément de l’angle de projection.

Ainsi, puisque deux angles supplémens l’un de l’autre ont le même cosinus avec des signes contraires, il suit que le moment d’activité consommé , et le moment d’activité absorbé par une même force motrice , ne sont qu’une même quantité prise dans deux sens diamétralement opposés ; de même que le sont l’une par rapport à l’autre, la force gagnée et la force perdue (4i).

62. Nous n’avons considéré ci-dessus qu’une force P qui est constante, à cause de l’uniforimté de la pesanteur : mais si la force motrice étoit variable, le moment d’activité consommé pendant un tempsinfinimentcourt, seroitleproduit de la force à cet instant, par l’espace infiniment petit qu’il parcourroit pendant ce temps infiniment

4o PRINCIPES DE QUILIBRE court, estimé dans le sens de cette force: et la moment d’activité consommé par cette même fprce dans un temps danné, seroit la somrpe des. momens d’activité consommés à chaque instant par cette force pendant le temps donné.

Enfin, s’il s’agissoit d’un système de forces, le moment d’activité consommé par tout le système dans un temps donné, seroit la somme des moinens d’activité consommés pendant ce temps, par chacune des forces de ce même système. IL en est de même des momens d’activité absorbés.

63. Si l’on conçoit un système de forces quel-, conques, de poids, par exemple, et qu’on lui fasse prendre un mouvement arbitraire, la somma des produits de chacune de ces forces par le petit chemin qu’elle parcourra dans un temps infiniment court, en vertu de ce mouvement imprimé, estimé dans le sens de cette force, sera le morment d’activité consommé par tout le système, pendant ce temps infiniment court, à l’égard dç çe mouvement imprimé. Supposant donc que m, exprime chacune des masses qui composent ufi système , p sa force accélératrice , et par conséquent p m sa force motrice ; u la vitesse qui lui est imprimée, k l’angle compris entre les directions de u et de p, et enfin cfc l’élément du temps.: mp *udt . cos. k sera le moment d’activité consommé pendant dt par le corps m, ou par la

force mp, à l’égard de la vitesse z/. L’intégrale Smp .udt.cos. k, où l’on suppose que S se rapporte à la figure du système, sera le moment d’activité consommé pendant le même temps par tout le système, et enfin l’intégrale S fmp . udt,cos. Jc > où l’on suppose que f se rapporte à la durée du mouvement, sera le moment d’activité consommé pendant la durée entière du mouvement par le système total.

64, Il est clair, d’après ce qui a été dit (5g), que S fmp. udt. cos. Je est une force vive latente % qui par conséquent peut se résoudre en une quantité de cette forme M V% ]VT étant une masse et V une vitesse. D’où il est aisé de sentir, que la notion que nous venons de donner des momens d’activité , doit se rencontrer fréquemment dans la théorie de l’équilibre et du mouvement ; soit sous la forme des forces vives proprement dites, soit sous celle des forces vives latentes.

J’admettrai, par rapport aux quantités d’ac-r tion, une distinction analogue à celle que j’ai établie ci-dessus pour les momens d’activité des forces motrices. J’appellerai donc quantité d’ac -» tion dépenséepar une force motrice à chaqueinstant,le moment d’activité consommé par cette force depuis le commencement du mouvement multiplié par l’élément du temps, et parla quan* titÇ d action acquise par cette même force, 1*

4<i PRINCIPES DE L’ÉQUILIBRE moment d’activité absorbé par cette force, depuis le commencement du mouvement multiplié par l’élément du temps.

La somme des quantités d’action dépensées ou acquises par toutes les forces du système à cet instant, sera appelée quantité d’action dépensée ou acquise par tout le système au meme instant.

Et enfin la somme des quantités d’action dépensées ou acquises à chaque instant par tout le système, pendant un temps donné, sera appelée quantité d’action dépensée ou acquise par tout le système pendant ce temps donné.

65. Nous avons observé ci-dessus, que le moment d’une force motrice ou force morte , se résout en une force vive ; tandis que celui d’une quantité de mouvement est ce qu’on nomme quantité d’action. Mais si au lieu de multiplier cette quantité de mouvement par une ligne, pour avoir cette quantité d’action, on la multiplioit seulement par une vitesse, on auroit une force vive ; c’est-à-dire , une quantité du même genre qu’un moment de force motrice. Or, comme ou a souvent à comparer ces deux quantités de même genre, je donnerai un nom particulier à ce produit de la quantité de mouvement d’un mobile par une vitesse ; je le nommerai simplement moment d’activité du mobile, pour le distinguer de ce que nous avons nommé ci-dessus

moment d’activité consommé ou absorbé par la force motrice ; mais ces deux quantités sont de même nature , et l’une et l’autre peuvent se réduire en forces vives. J’appelle donc moment d’activité du mobile à chaque instant, le produit de sa quantité de mouvement actuelle, par la vitesse qu’il doit avoir l’instant d’après , estimée dans le sens de sa vitesse actuelle.

66. Si donc le mouvement est uniforme , le moment d’activité du mobile ne diffère pas de la force vive.

Si le mouvement change, soit en vertu d’un choc, soit par degrés insensibles, le moment d’activité du mobile est égal à la quantité de mouvement actuelle, multipliée par la vitesse qui doit rester au mobile l’instant d’après, estimée dans le sens de la première ; et c’est ce que j’appellerai moment d’activité absolu du mobile.

Si le système étant dans un état quelconque de mouvement, on vient tout-à-coup à le changer d’une manière quelconque, le moment d’activité du mobile sera le produit delà quantité de mouvement actuelle, par la nouvelle vitesse que prendra le mobile en vertu du changement opéré, et c’est ce que j’appellerai moment d’activité du mobile à l’égard de son nouveau mouvement.

67 . On appellera momeBt d’activité d’un système de corps à chaque instant, la somme des

44 PRINCIPES DE L’ÉQUILIBRE momens d’activité de chacun des corps qui le

composent.

Ainsi, lorsqu’on vient à changer tout-à-coup Je mouvement d’un système quelconque, le moment d’activité du système à l’égard du nouveau mouvement, estla somme des produits de chacune des masses par sa vitesse actuelle, et par sa vitesse nouvelle estimée dans le sens de la première.

Cette notion des momens d’activité consommés , absorbés, et proprement dits, est tresimportante pour ce que nous aurons a dire dans la seconde partie de cet ouvrage.

Nous appellerons moment de percussion de chacun des corps du système, à l’égard d’un mouvement quelconque géométrique, la quantité de mouvement perdue par ce corps en vertu de la percussion , multipliée par la vitesse géométrique de ce même corps. Nous appellerons moment de percussion absolu celui de ces momens qui a lieu à l’égard du mouvement réel que prend le système après le choc.

Il est clair que ces momens de percussion sont, ainsi que les momens d’activité, de meme nature que ce qu’on appelle force vive, c est-à-dire, qu’on peut toujours réduire chacun d eux au produit d’une masse par le carré d’une vitesse.

68 . Tout le monde connoît l’expérience du levier, tout le monde sait qu’avec un» très-pe-

tite force appliquée à un grand bras de levier, on peut soutenir un poids très-considérable appliqué à l’autre bras, lorsque cet autre bras est proportionnellement plus petit. C’est ce qui a donné l’idée d’une autre espèce de moment dont on fait grand usage en mécanique. On appelle donc moment d’une force à l’égard d’un point fixe, le produit de cette force par la distance de sa direction à ce point fixe. Ainsi, par exemple , si aux extrémités d’un levier droit , on applique des poids inégaux , et qu’on place le point d’appui entre ces deux poids , de manière que le point d’application divise la longueur du levier en raison réciproque de ces poids, les momens de ces memes poids à l’égard de ce point fixe , seront égaux. Or l’expérience prouve qu’alors il y aura équilibre entre les deux poids.

Lorsque l’on considèreles momens de plusieurs forces par rapport à un même point, ce point se nomme centre des momens.

69. On rapporte aussi les momens des forces à des droites prises à volonté dans l’espace, et qu’on nomme axes des momens. Le moment d’une force à l’égard d’un axe , est le produit de cette force estimée suivant le plan perpendiculaire à cet axe , c’est-à-dire la projection de cette force sur ce même planj de cette projection, dis-je*

46 PRINCIPES DE L’ÉQUILIBRE multipliée par la distance de sa direction, au point où l’axe traverse le plan.

70. Enfin, si une force est appliquée à un point ou mobile quelconque, le produit de cette force par la distance de ce point d’application au même plan, est.appelé moment de cette force à l’égard de ce plan.

71. Quant à ce que nous avons désigné cidessus sous le nom de quantité d’action, elle donne lieu à un très-beau principe applicable principalement au cas où les forces motrices qui animent les diverses parties du système sont des forces d’attraction ou de répulsion. Ce principe, qui appartient proprement à Lagrange, se trouvera dans la seconde partie de cet ouvrage.

Des hypothèses qui peuvent être admises comme lois générales de Véquilibre et du mouvement.

72. En citant, comme nous l’avons fait jusqu’ici, quelques expériences ou faits généralement connus, nous n’avons eu d’autre objet, que de montrer ce qui a pu faire naître successivement les diverses notions que nous avions à développer. Maintenant il s’agit d’établir sur ces faits, et sur les autres observations qui peuvent encore

s’offrir, des hypothèses qui se trouvent constamment d’accord avec ces observations, et que dès-lors on puisse regarder comme des lois générales de la nature. Je vais d’abord exposer ici ces hypothèses telles qu’on a cru pouvoir les induire des phénomènes les mieux constatés : je développerai ensuite les expériences et les raisonnemens qui les appuient. On pourra remarquer que ces hypothèses rentrent en partie les unes dans les autres : mon objet n’a pas été de les réduire au plus petit nombre possible; il me suffit qu’elles ne soient point contradictoires et qu’elles soient clairement entendues : car, ainsi que je l’ai déjà observé, les répétitions peuvent nuire à l’élégance ; mais elles sont peut-être plus propres à confirmer les principes, en faisant voir comment ils ne sont, pour ainsi dire, que les mêmes vérités qui reparoissent toujours sous des formes différentes.

75. Je répéterai d’abord, qu’il ne s’agit point ici des causes premières qui font naître le mouvement dans les corps , mais seulement du mouvement déjà produit et inhérent à chacun d’eux. C’est cette quantité de mouvement déjà produite dans un corps, qu’on nomme sa force ou sa puissance. Ainsi les forces, telles qu’on les considère en mécanique, ne sont point des êtres métaphysiques et abstraits : chacune d’elle réside dans

une masse déterminée; elle est le produit de cette masse par la vitesse que le corps prendroit, s'il n’étoit gêné par ceux des autres corps dont le mouvement est incompatible avec le sien. Cette incompatibilité fait perdre aux uns une portion de la quantité de mouvement qu’ils avoient ; elle en fait gagner aux autres, elle en fait naître dans Ceux qui n’en avoient pas ; chacun d’eux prend une sorte de vitesse combinée entre celle qu’il pouvoit avoir déjà, et celles qui lui sont nouvellement imprimées de toutes parts. Or c’est cette vitesse combinée qu’il faut déterminer pour chaque instant et pour chaque point du système * lorsqu’on connoît la figure des diverses parties qui le composent, leurs masses et les vitesses qu’elles sont censées avoir reçues préalablement * soit par des chocs antérieurs , soit par des agens extérieurs, de quelque nature qu’ils soient. Ainsi, en un mot, ce ne sont pas précisément les lois du mouvement en général que nous recherchons, mai3 les lois de la communication des mouVemens entre les différentes parties matérielles d’uri même système. Pour cela, nous établissons d’abord certaines hypothèses * d’après lesquelles nous supposons que s’opère en effet cette communication des mouvemens ; nous comparons ensuite les conséquences qui en résultent, avec les phénomènes, et si nous trouvons qu’ils s’accordent, nous concluons que nous pouvons con-

ET DU MOUVEMENT. 4 g

sidérer ces hypothèses comme les véritables lois

de la nature.

1 e Hypothèse. Un corps une fois mis en repos, ne sauroit en sortir de lui-même, et une fois mis en mouvement, il ne sauroit de luimême changer ni sa vitesse, ni la direction de cette vitesse.

Hypothèse. Si aux différentes parties d’un système quelconque de corps en équilibre , on imprime de nouvelles forces, qui si elles étoient seules, se feroient aussi mutuellement équilibre , l’équilibre du système ne sera pas troublé.

5 e Hypothèse. Lorsque plusieurs forces, tant actives que passives, se font mutuellement équilibré, chacune de ces forces est toujours égale et directement opposée à la résultante de toutes les autres.

4 e Hypothèse. Les quantités de mouvement ou forces motrices qui se détruisent à chaque instant dans un système de corps, peuvent toujours être décomposées en d’autres forces égales deux à deux et directement opposées , suivant la ligne droite qui joint les mobiles auxquelles elles appartiennent j et ces forces peuvent être regardées comme détruites respectivement dans chacun de cea corps par l’action de l’autre.

5o PRINCIPES DE L’É QUI LIBRE 5" Hypothèse. L’action que deux corps contigus exercent l’un sur l’autre par choc, pression ou traction, ne dépend point de leur vitesse absolue, mais seulement de leur vitesse relative.

, Celle que deux corps ne se communiquent que par des corps interposés , se transmet de proche en proche de l’un à l’autre, parle moyen de ces corps intermédiaires : de sorte qu’elle se résout toujours en une suite d’actions qui s’exercent immédiatement entre deux corps contigus.

6 e Hypothèse . Les quantités de mouvement ou les forces mortes que s’impriment réciproquement les corps par des fils ou des verges, t. sont dirigées dans le sens de ces fils ou de ces verges, et celles qu’ils s’impriment par choc ou pression, sont dirigées suivant la perpendiculaire élevée à leur surface commune au point de contact.

y® Hypothèse. Lorsque les corps qui se choquent sont parfaitement durs ou parfaitement mous, ils marchent toujours de compagnie après le choc ; c’est-à-dire suivant la ligne de leur action réciproque qui, suivant l’hypothèse précédente, est toujours perpendiculaire à leur surface commune au point de contact.

Lorsque les corps sont parfaitement élas-

tiques, ils se séparent après le choc avec une vitesse relative égale à celle qu’ils avoient dans le sens opposé immédiatement avant le choc.

Lorsque les corps ne sont ni parfaitement durs , ni parfaitement élastiques , les corps se séparent avec une vitesse relative plus ou moins grande, suivant le degré d’élasticité.

Expériences et raisonnemens sur lesquels sont fondées les hypothèses précédentes.

74 . Sur la première hypothèse. L’expérience prouve , que si sur une table horizontale parfaitement unie , on place une boule sans lui imprimer aucun mouvement, cette boule restera en repos jusqu’à ce qu’on vienne l’en tirer. Et en effet, à ne considérer la chose que sous le rapport du seul raisonnement, ou ne voit pas pourquoi ce corps prendroit de lui-méme un mouvement plutôt d’un côté que de l’autre. Nous voyons, à la vérité, des êtres qui se meuyent spontanément, niais c’est qu’ils ont en eux un principe vital dont on fait ici abstraction , ou bien ils sont entraînés par des causes externes que l’expérience apprend à connoître, comme la pesanteur. Do plus, l’analogie fait présumer que la figure du corps ne fait rien à la propriété dont il s’agit, et

5,2 PRINCIPES DE L’ÉQUILIBRE que ce qui a lieu pour un globe placé sur une table horizontale, doit s’étendre à tons les corps possibles, dans toutes les positions possibles, pourvu qu’ils soient dégagés de toute influence étrangère. La première hypothèse proposée cidessus , paroît donc être, quant au premier point, autant d’accord avec le raisonnement qu’avec l’expérience.

75. Maintenant, si l’on vient à mettre la boule dont il s’agit, en mouvement sur la table, l’expérience prouve qu’elle continuera ensuite à se mouvoir uniformément et en ligne droite, à moins qu’on ne vienne à la déranger par quelque nouvelle impulsion.

Ce fait s’explique par les mêmes observations que le précédent, mais avec un peu moins d’évidence. Si le corps une fois mis en mouvement dévioit de sa première direction , on ne voit pas pourquoi ce seroit à droite plutôt qu’à gauche. Quant à ce qui regarde la vitesse, on ne voit pas non plus pourquoi elle diminueroit plutôt que d’augmenter. A la vérité, on sait que tout mouvement tend à s’affoiblir par degrés, et finit toujours par s’anéantir totalement. Mais on remarque bientôt, que cette déperdition de vitesse est l’effet des frottemens et de la résistance de l’air. Cela se confirme , en suspendant sur un pivot “bien pointu un balancier horizontal, portant à

ses extrémités deux corps égaux taillés en lentilles pour mieux fendre l’air j car alors le mouvement circulaire une fois imprimé , se conserve très-long-temps $ et la conviction devient entière lorsqu’on réfléchit que les astres qui parcourent des intervalles immenses avec des mouvemens si rapides, n’en ont sensiblement rien perdu depuis tant de siècles qu’on les observe. Nous sommes donc autorisés à regarder encore cette seconde partie de l’hypothèse proposée ci-dessus, comme fondée tout-à-la-fois sur l’expérience et sur le raisonnement.

Cette hypothèse est le principe connu sous le nom de loi d’inertie; et on l’exprime ordinairement , en disant que tout corps persévère dans son état de repos ou de mouvement uniforme et rectiligne, jusqu’à ce qu’il reçoive l’action d’une puissance étrangère.

76 . Sur la seconde hypothèse. La seconde hypothèse porte le caractère de la presque évidence \ car si d’une part plusieurs corps se font mutuellement équilibre , leurs mouvemens se trouvent anéantis par leur action réciproque ; donc deux ou plusieurs actions de cette nature exercées simultanément doivent se détruire par parties, comme si elles avoient lieu isolément, par conséquent leur résultat doit être l’équilibre. Ce raisonnement paroît du moins conforme

54 PRINCIPES DE L’ÉQUI LI B RE à la simplicité qu’on remarque dans toutes le» opérations de la nature, et il est en effet confirmé par l’expérience.

77. On peut conclure de-là, par exemple, que si plusieurs forces se font équilibre, et que l’uned’entre elles, comraeB (fig. 5 ), tire le point A par un cordon AB; on pourra appliquer cette force B à tout autre point desa direction comme C, sans altérer l’équilibre. Car si l’on ajoute au cordon deux forces égales et directement opposées C, D, l’équilibre subsistera d’après la seconde hypothèse ; ensuite si l’on supprime les deux forces égales et opposées B, D, l’équilibre subsistera encore par la même hypothèse. Donc l’équilibre n’aura point été dérangé, en substituant la force C à la force B.

78. Sur la troisième hypothèse. L’expérience prouve que si un globe A en repos est frappé tout-à-la-fois par d’autres globes B, C, D, E, F (fig. 6), et qu’il en résulte équilibre, la résultante des quantités de mouvement de tous «es corps choquans est o; et que par conséquent, chacune de ces quantités de mouvemens est égale et directement opposée à la résultante de toutes les autres.

L’expérience prouve également, que si plusieurs forces mouvantes m, n,p,q (fig. 7), se

font mutuellement équilibre autour d’an point A en le tirant par des cordons, la résultante de toutes ces forces sera o ; et que par conséquent, chacune d’elles est égale et directement opposée à la résultante de toutes les autres.

*79. Ces expériences s’expliquent par des raisonnemens plausibles, et en les généralisant par induction , nous établissons la troisième de nos hypothèses.

En effet, nous avons appelé en général force résultante de plusieurs autres appliquées au même point, celle qui estimée dans un sens quelconque , est égale à la somme de toutes les autres estimées dans le même sens.

Concevons donc que plusieurs forces appliquées au point K (fig. B) se fassent ^mutuellement équilibre, et soit Ka l’une de ces forces. Menons par le point K une droite quelconque

km, et supposons qu’à la place de K a on en substitue deux autres qui en tiennent lieu, 1 une

Ko 7 dirigée suivant KM, l’autre Ka" perpendiculaire à cette première. Si l’on conçoit une semblable opération pour toutes les forces qui se font équilibre autour du point K, 1 équilibre subsistera, et il n’y aura plus dans le système que deux sortes de forces, les unes dirigées suivant

fa droite KM, les autres perpendiculairement à

56 principes de L’Équilibre cette même droite. Mais comme ces dernières ne favorisent pas plus celles qui tirent dans le sens

KM, que celles qui tirent dans le sens opposé : on pourra les supprimer sans que l’équilibre soit troublé. Il ne restera donc que les forces dirigées

sur la ligne KM, qui devront se faire équilibre. Or cela ne peut avoir lieu sans que la somme de celles qui tirent dans un sens ne soit égale à la somme de celles qui tirent dans le sens opposé. Il reste donc à savoir ce que c’est que chacune de ces forces.

Or puisque K a" estimée dans le sens KM est o, il est clair qu’elle n’entre pour rien dans la force

K a estimée dans le même sens. Donc cette force

Ka, estimée dans le sens KM, ne sera ni plus grande ni plus petite que la force partielle seule K a estimée dans le même sens $ c’est-à-dire que les points a et a doivent se trouver sur la même

droite perpendiculaire à KM, ou ce qui revient au même , K d doit être la projection de K a, ou enfin cette même force K a estimée dans le sens

KM. Et comme le même raisonnement a lieu pour toutes les autres forces du système, il suit

que les forces dirigées sur la droite KM, ne sont autre chose que les forces même proposées, toutes

ET DU MOUVEMENT. 5j

estimées dans le sens de KM. Donc puisqu’il doit y avoir équilibre, la somme de toutes ces forces dirigées suivant KM doit se réduire à o ; c’est-à-dire que la somme des forces proposées toutes estimées dans le sens de KM, se réduit à zéro j et que par conséquent chacune d’elles est égale et directement opposée à la somme detoutes les autres.

80. Le raisonnement confirme donc l’expérience d’une manière très - plausible, lorsque toutes les forces proposées se réunissent en un meme point. Maintenant soit (fig. 9) une machine funiculaire à plusieurs noeuds A , B , C : ce que nous avons dit du point K dans la figure précédente , pourra s’appliquer à chacun des nœuds A, B, C en particulier : ainsi la résultante

des forces Am, An, A 0, sera égale à la tension du cordon AB et dirigée suivant BA : et pareillement la résultante des forces Cs, Ct, sera égale à la tension de CB et dirigée suivant BC : donc la résultante de toutes les forces du système passera par le point B, et ce cas sera ramené au cas précédent 5 de sorte que chacune des forces B p ,

B ç, Br, sera, par ce qui a été dit ci-dessus, égale et directement opposée à la résultante de toutes les autres.

Or, comme il est aisé de sentir que ce qu’on vient de dire de la machine funiculaire proposée peut s’appliquer à tous les systèmes possibles de force, il est évident que notre troisième hypothèse peut être admise comme une loi générale de la nature.

81. Il suit évidemment de là , que s’il n’y a que trois forces dans le système en équilibre, chacune d’elles pourra être représentée par une droite égale et directement opposée à la diagonale du parallélogramme formé sur les droites qui représentent les deux autres puissances : principe important, et connu sous le nom de parallélogramme des forces.

82. Sur la quatrième hypothèse . L’expérience prouve, que soit qu’on veuille tirer un corps de son état de repos , soit qu’on veuille l’arrêter lorsqu’il est en mouvement, soit qu’on veuille seulement le détourner de sa route, ou modifier sa vitesse d’une manière quelconque, on éprouve toujours une résistance d’autant plus grande, que le changement qu’on veut opérer est plus considérable. Si l’on frappe un corps avec la main , on éprouve de sa part un coup semblable dans le sens contraire. Si on le tire avec un fil, ce fil est également tendu des deux côtés. Si on chasse une bille sur une table, le bâton dont on se sert est repoussé en arrière par le choc, en

ET DU MOUVEMENT. St)

même temps que le corps part pour aller en avant. Si l’on met sur la table un autre corps qui attire le premier comme l’aimant attire le fer, le premier corps attirera le second d’autant, et chacun fera une partie du chemin pour se rapprocher de l’autre.

Si le corps est parfaitement dur, et si un autre corps également dur et égal à lui en masse et en vitesse vient à sa rencontre en sens directement opposé, les deux mouvemens seront anéantis.

Si l’on double en même temps la masse de l’un et la vitesse de l’autre, il y aura de même équilibre. La même chose aura lieu, si l’on triple la masse de l’un et la vitesse de l’autre, et en général, tant qu’on augmentera, on diminuera cette masse et cette vitesse dans un même rapport.

L’explication de tous ces faits est très-naturelle ; car les lois de la nature devant être les mêmes pour toutes les parties de la matière placées dans des circonstances semblables, on ne voit pas, par exemple, pourquoi dans le choc des corps égaux et animés de vitesses égales et contraires dont nous venons de parler, il arriveroit à l’un ce qui n’arriveroit pas à l’autre : pourquoi le premier l’emporteroit sur le second.

83.11 n> est pas, à la vérité, également clair que l’équilibre doive subsister lorsqu’on augmente

6o principes de L’Équilibre

ou diminue en même raison la masse de l’un et la vitesse de l’autre.

Néanmoins on conçoit, que si un corps double d’un autre en masse vient à le choquer, il doit agir sur celui-ci comme deux corps égaux chacun a ce dernier : et que si celui-ci a à son tour une vitesse double de celle du premier , il doit aussi agir comme deux corps réunis qui n’auroient chacun que la moitié de la vitesse du total, et qu’alors il n’y a aucune raison pour que l’un l’emporte sur l’autre. L’équilibre doit donc avoir lieu dans ce cas-ci comme dans le cas précédent: ce qui étant confirmé par maintes expériences, ne laisse plus aucun doute.

84 . 11 paroît donc certain qu’en général toutes les fois qu’un corps imprime du mouvement à un autre, il en reçoit à son tour une meme quantité dans le sens contraire; du moins tant que le choc est direct et s’exerce entre deux corps seulement. Mais l’analogie nous porte à penser qu’il doit en être de même en quelque nombre que soient ces corps , et quelles que soient les directions de leurs mouvemens ; et tous les phénomènes de la nature confirment cette loi importante , qu’on exprime ordinairement, en disant que la réaction est toujours égalé et contraire à l’action.

Cette loi, comme l’observe très-bien Maclau-

rin, n’est en quelque sorte qu’une généralisation de la loi d’inertie contenue dès la première hypothèse donnée ci-dessus ; c’est-à-dire, que suivant les expressions de cet illustre géomètre, « non-seulement un corps isolé ne change jamais » son état de lui-même; mais que lorsqu’il y a » plusieurs corps qui agissent les uns sur les au- » très, l’un n’acquiert aucune force nouvelle qui » ne soit perdue par un autre dans la même di- )) rection ; d’où il suit, que quoique par le choc )) le mouvement passe de l’un à l’autre, cepen- » dant la somme de leurs quantités de mouve- » ment, estimée dans une direction donnée, est » toujours la même , et qu’elle est inaltérable par » leurs actions mutuelles. Ainsi cette loi de l’égaï) lité entre l’action et la réaction , sert à rendre )) la loi d’inertie plus générale, et à l’étendre à » un nombre de corps quelconque. Car, comme » par celle-ci, un corps persévère dans son état » de repos ou de mouvement uniforme en ligne droite, jusqu’à ce qu’il soit affecté de quelque » cause externe; de même, par la loi de l’égalité » entre l’action et la réaction, la somme des quan- » tités de mouvement d’un nombre quelconque » de corps, estimées dans une direction donnée, » persévère la même, malgré les chocs ou l’ac- » tion mutuelle des corps particuliers, jusqu’à » ce que quelque influence externe vienne à les » déranger ».

85 . Quelque compliqué que soit le système, et quand même le mouvement seroit transmis d’un corps à l’autre par une machine ou par une suite de corps intermédiaires , Faction réciproque de toutes les parties du système, ne s’en résoudroit pas moins en un système d’actions et réactions partielles , égales et directement opposées deux à deux ; car alors l’action qui s’exerce entre les corps éloignés, passe de proche en proche par l’action immédiate qui s’exerce entre les corps contigus considérés deux à deux.

86. Il résulte donc de tout ce qui vient d’être dit, que la quantité de mouvement gagnée par un corps quelconque, est la résultante des quantités de mouvement partielles, qui sont censées lui être imprimées par tous les autres corps du système , et que la quantité de mquvement perdue estla résultante de toutes celles qu’il est censé imprimer lui-même à chacun de ces autres corps.

Donc la résultante de toutes les forces qu’il imprime est toujours égale et directement opposée à la résultante de toutes celles qu’il reçoit.

87» Cette loi a non-seulement lieu pour les corps durs, mais pour ceux de toutes espèces. L’élasticité peut augmenter la quantité de mouvement que les corps s’impriment respectivement. Mais comme ils se débandent avec la même énergie dans les deux sens opposés, la somme

totale reste la même dans chaque sens. Enfin, dit encore Maclaurin, «nous ne connoissons dans » un corps d’autre façon de perdre sa force, qu’en » la communiquant à un autre ».

88. Il peut paroître d’abord que cette loi doit souffrir exception dans le cas où il y a des points fixes dans le système : mais le fait est, que dans la nature il n’existe réellement aucun point véritablement fixe : ces points regardés comme fixes, pour la facilité des calculs, ne sont que des masses très-considérables, et qu’on regarde comme infinies à l’égard des autres corps du système. Ainsi le point d’appui sur lequel tourne un levier, est lié au globe de la terre, il est censé ne faire qu’un avec elle, il paroît fixe et ne l’est pas, et les quantités de mouvement perdues par les corps suspendus à ce levier, sont gagnées par le globe même de la terre, où elles deviennent insensibles et inappréciables pour nous. Ce qui fait que nous regardons ce point d’appui comme réellement fixe et capable de détruire les forces qui lui sont imprimées, et qu’on est Obligé, en mécanique, de tenir compte de ces forces comme si elles dérogeoient en effet à cette égalité constante entre l’action et la réaction en sens contraire.

89. Sur la cinquième hypothèse. L’expérience prouve, que si quand plusieurs corps agissent

64 PRINCIPES DE L’É QUILIBRE les uns sur les autres, le système général est emporté d’un mouvement commun dans un sens quelconque, que par exemple, si c’est une table comme celle d’un billard, placée sur un vaisseau qui voyage, les résultats seront les mêmes que ci-dessus $ c’est-à-dire que les corps se comporteront l’un à l’égard de l’autre, comme si la table étoit fixe.

En effet, il paroît tout simple que l’intensité du choc entre deux corps ne dépende pas de leur mouvement commun, mais seulement de la rapidité avec laquelle ils tendent à se rapprocher l’un de l’autre. Ils ne se heurtent ou ne se tirent que parce qu’ils sont animés de mouvemens incompatibles. On ne voit donc pas pourquoi ces mouvemens se modifieroient au-delà de ce qui est strictement nécessaire pour que les corps cessent de se gêner, et leurs mouvemens d’être incompatibles ; c’est-à-dire , donc que conformément à la cinquième hypothèse , les quantités de mouvement que s’impriment réciproquement les corps qui agissent l’un sur l’autre, en se poussant ou en se tirant, ne dépendent point de leurs vitesses absolues, mais seulement de leurs vitesses relatives.

Quant à la seconde partie de l’hypothèse, qui considère l’action qu’exercent l’un sur l’autre par choc, pression ou traction, deux corps qui sont séparés par d’autres corps , l’expérience

apprend que Faction n’est pas dirigée suivant la droite qui les joint, comme pour ceux qui agissent immédiatement l’un sur l’autre ; mais qu’elle passe d’abord de ceux-ci dans ceux qui leur sont contigus, et qui peuvent en absorber une partie ; qu’ensuite ceux-ci transmettent ce qui reste aux autres corps avec lesquels ils sont en contiguïté; ainsi de suite, depuis le premier jusqu’au dernier des deux corps considérés, de manière que l’action se résout toujours en une suite d’actions immédiates. Il est naturel de penser que cela doit être ; car si l’on supprimoit les corps intermédiaires entre le premier et le dernier, il n’y auroit plus d’action réciproque, puisque l’impénétrabilité ne les empêcheroit plus de suivre chacun son impulsion. Il faut donc quecette action soit reçue d’abord par les corps intermédiaires les plus voisins, et qu’elle passe ensuite de proche en proche du premier jusqu’au dernier.

Sur la sixième hypothèse. Si deux globes, au lieu de se choquer directement, se clioquoient obliquement, c’est-à-dire de manière que leurs vitesses ne fussent pas dirigées suivant la ligne des centres, l’équilibre n’auroit pas lieu, quelles que fussent ces vitesses.

On sent en effet que quand deux corps viennent à se choquer , la quantité de mouvement ou la force morte que chacun d’eux imprime à l’autre, doit être dirigée perpendiculairement à

66 TR INC IP ES DE ÉQUILIBRE leur surface commune au point de contingence ; car on ne voit aucune raison pour qu’elle soit inclinée à cette perpendiculaire, plutôt dans un sens que dans l’autre. L’action réciproque entre les deux globes, doit donc être dirigée suivant la ligne des centres ; et puisque les vitesses ont une autre direction , les quantités de mouvement respectivement imprimées ne peuvent détruire ces vitesses. On peut donc induire de cette expérience comme du seul raisonnement, que conformément à l’énoncé de la sixième hypothèse , les quantités de mouvement que s’impriment respectivement les corps par leur choc , sont toujours dirigées perpendiculairement à leur surface commune au point de contact.

QO. Sur la septième hypothèse. L'expérience prouve , comme on l’a vu ci-dessus, que quand deux corps durs viennent a la rencontre l’un de l’autre en sens opposés , avec des quantités de mouvement égales, il y a équilibre. Elle prouve aussi, que si ces corps sont animés de quantités de mouvement inégales, l’équilibre n’aura pas lieu ; mais que ces corps n’en marcheront pas moins de compagnie après le choc.

On ne voit pas, en effet, ce qui pourroit obliger ces corps à rejaillir en sens contraires. Il est naturel de penser , qu’il n’y a que la restitution des ressorts lorsqu’il y en a, qui puisse produire

cet effet, et que par conséquent les corps étant supposes parfaitement durs, ils ne doivent agir 1 un sur l’autre qu’autant qu’il est nécessaire pour que leurs mouvemens respectifs soient anéantis : et en suivant cette présomption par analogie, on sera porté à penser que dans le choc des corps durs , et par la même raison , dans le choc des corps mous, qui sont également sans ressort , en quelque nombre et de quelque forme qu’ils soient, leur vitesse relative après le choc, c’est-à-dire, estimée dans le sens de leur action réciproque , ou perpendiculairement à leursurface commune aux points de contingence, doit toujours être nulle.

91. Comme, au contraire, dans le choc des corps parfaitement élastiques, la restitution des ressorts est supposée se faire par les mêmes degrés que la compression dans le sens opposé, il paroît tout simple de conclure , que les corps se sépareront après le choc avec la même vitesse relative que celle qu’ils avoient dans le sens contraire avant le choc 5 ce qui est conforme à la septième hypothèse.

Ainsi, toutes les hypothèses proposées sont établies de la manière la plus plausible , par les faits et par le raisonnement. Nous regarderons donc ces hypothèses comme les véritables lois de la nature, en attendant que de nouveaux phénomènes viennent les confirmer ou les détruire.

eS PRINCIPES DE L’ÉQUILIBRE

Diverses conséquences déduites des hypothèses précédentes. Ce qu 3 on nomme force d’inertie. Propriétés des forces qui concourent vers un même point. Des forces parallèles et du centre de gravité.

92. Sur la force d’inertie. Suivant la première hypothèse, tout corps persévère dans son état de repos ou de mouvement uniforme et rectiligne, jusqu’à ce qu’il en soit tiré par l’action d’un autre corps. Lorsque cet autre corps vient à frapper le premier, chacun de ces corps prend une nouvelle quantité de mouvement, qui est Ja résultante de celle qu’il avoit et de celle qu’il gagne , et cette quantité de mouvement qu’il gagne , est censée lui être imprimée par l’autre corps. Ainsi le premier des corps ci-dessus reçoit du second une certaine quantité de mouvement qui se combine avec celle qu’il avoit déjà, et qui donne ainsi pour résultante celle qu’il doit avoir après ; et réciproquement celui-ci, en vertu du principe de l’égalité entre l’action et la réaction, imprime au second corps une quantité de mouvement égale et contraire à celle qu’il en reçoit. Or cette quantité de mouvement que chacun de ces corps imprime à l’autre , lorsque celui - ci dérange le mouvement du premier , s’appelle force d’inertie de ce premier.

q 5 . La même chose a lieu lorsqu’il s’agit d un système de corps.

On appelle alors force d’inei'tie de chacun d’eux à chaque instant, la résistance qu’il oppose à son changement d’élat, c’est-à-dire la réaction qu’il exerce sur le système des autres corps qui le font passer du repos au mouvement ; du mouvement au repos, ou d’un mouvement a un autre mouvement : c’est, en un mot, une force égale et contraire à celle qu’il faut imprimer à ce mobile , pour le faire passer de l’état où il étoit, à celui où il se trouvera l’instant d’après.

D’où il suit, que si l’on décompose la vitesse effective du mobile avant le choc en deux autres, dont Tune est celle qu’il doit prendre après le choc ; l’autre multipliée par la masse de ce mobile, sera ce qu’on nomme sa force d'inertie au moment du choc.

q 4 . Il ne faut pas confondre la force d’inertie avec la quantité de mouvement perdue. Pour avoir celle-ci, il faut ( 4 i) décomposer la vitesse qu’auroit prise le mobile l'instant d’après s’il eût été libre, en deux, dont l’une soit celle qu’il prendra réellement ; l’autre, multipliée par la masse du mobile, sera la quantité de mouvement perdue. La différence est, que pour ce dernier cas, on doit décomposer la vitesse avec laquelle le corps tend à se mouvoir l’instant d’après}

70 PRINCIPES DE L’ÉQUILIBRE au lieu que pour la force d’inertie, c’est la vitesse avec laquelle il se mouvoit réellement l’instant d’auparavant qu’il faut décomposer : or ce n’est pas toujours la meme chose, parce qu’il peut survenir à l’instant du choc une force motrice qui n’entre point dans la décomposition nécessaire pour avoir la force d’inertie , et qui entre dans celle qu’il faut faire pour obtenir la vitesse perdue. Ces deux quantités, savoir la force d’inertie et la quantité de mouvement perdue , se confondent lorsque le système se meut uniquement en vertu d’un mouvement précédemment acquis, parce qu’alors, en vertu de la seconde hypothèse , chaque corps conserveroit, s’il étoit libre, la vitesse précédemment acquise. Mais il n’en est pas de meme lorsque les corps sont animés de forces motrices, car alors il est clair que la quantité de mouvement que chaque corps prendroit s’il étoit libre, est composée de celle qui étoit précédemment acquise, et de celle que fait naître la force motrice. Donc alors la quantité de mouvement perdue par le choc, est la résultante de trois forces ; savoir, i°. la quantité de mouvement acquise ou avant le choc ; s°. la quantité de mouvement imprimée par la force motrice; 3 °. la quantité de mouvement égale et contraire à celle qui doit rester au mobile après le choc. Mais par la définition que nous venons de donner delà force d’inertie, la quantité de mouve-

ment qu’elle imprime , est la résultante delà première et de la dernière des trois forces dont nous venons de parler. Donc,

La quantité de mouvement perdue, est la résultante de la quantité de mouvement produite par la force motrice , et de la quantité de mouvement produite par la force d’inertie.

95. Lorsqu’il y a clioc, c’est-à-dire changement brusque dans le mouvement du corps, la quantité de mouvement produite par la force motrice, est infiniment petite à l’égard de la quantité de mouvement perdue,* et par conséquent, cette quantité de mouvement perdue ne diffère alors qu’infiniment peu de la force d’inertie. Mais lorsque le mouvement change par degrés insensibles, la quantité de mouvement perdue pendant un temps infiniment court, est ellemême infiniment petite ; c’est celle qui se détruit par la pression des corps les uns contre les autres , par la tension des fils, ou en général par l’action réciproque des corps; en un mot, c’est ce qu’on entend parla simple expression de force dans un système en équilibre: distinguons-la par le nom d e force exercée par le mobile.

96. Il suivra donc de ce qui précède, que la Jorce exercée à chaque instant par chacun des corps du système, est la résultante de la force motrice et de la force d'inertie.

Donc réciproquement, la force d’inertie est la résultante des forces exercées par le mobile sur tous les autres corps du système par pression ou tension , et d’une force égale et directement opposée à sa force motrice.

Donc si la force motrice est nulle ; c’est-à-dire, si le système se meut uniquement en vertu d’un mouvement antérieurement acquis, et qui varie seulement par l’action que les corps exercent à chaque instant les uns sur les autres, la force d inertie se trouvera, pour chaque corps et pour chaque instant, égalé et directement opposée à la pression ou traction qu’il éprouve.

97 • Si au contraire tous les corps sont libres, et ne se meuvent qu’en vertu des forces motrices, comme la pesanteur, alors la force d’inertie de chacun est à chaque instant égale simplement et directement opposée à sa force motrice.

98 . Enfin , dans le cas d’équilibre ou de mouvement uniforme , la force d’inertie est toujours o, quelles que soient d’ailleurs les forces motrices auxquelles est livré le système ; car la force d’inertie n’exprime pas le changement qui survient au système, en regardant comme acquis les mouvemens qu’il tend à prendre, mais seulement eu égard aux mouvemens effectifs qu’il avoit déjà acquis antérieurement à l’action de la force motrice.

«Je dois remarquer, dit Euler dtins sa 66 e )) Lettre à une -princesse d’^ 4 llemagne , que c’est )) nommer fort mal-à-proposyorctf, cette qualité » des corps par laquelle ils restent dans leur état ; » car si l’on comprend sous le mot de force tout » ce qui est capable de changer l’état des corps , » la qualité par laquelle ils se conservent dans le )) leur, est plutôt l’opposé d’une force. C’est donc î> par abus que quelques auteurs donnent le nom )) de force à l’inertie, qui est cette qualité, et » qu’ils la nomment force d'inertie. Cet abus » peut jeter dans des erreurs fort grossières ».

Cette observation d’Euler est frappante ; mais il est facile d’éviter ces erreurs, en distinguant ce qu’on nomme simplement inertie > de la force d'inertie. L’inertie n’est qu’une propriété qui no peut entrer dans un calcul ; mais la force d’inertie est une vraie quantité susceptible d’une appréciation exacte. L’inertie est simplement la propriété qu’a chaque corps de rester dans son état de repos ou de mouvement uniforme et rectiligne ; et la force d’inertie est (g 4 ) la quantité de mouvement que ce corps imprime à tout autre corps qui vient le tirer de cet état.

La force d’inertie a donc bien véritablement le caractère de ce qu’on nomme force en général, c’est-à-dire, de tout ce qui change l’état de repos ou de mouvement des corps; car puisqu’elle est une quantité de mouvement imprimée, elle

74 PRINCIPES DE L’ÉQUILIBRE change nécessairement l’état du corps auquel elle est imprimée : et quant à l’état du corps qui l’imprime , il est aussi changé en même temps ; mais c’est par la réaction de l’autre corps, réaction qui n est autre chose à son tour, que la force d’inertie de cet autre corps. Ainsi l’état de chacun des deux corps qui se choquent, est changé par la force d’inertie de l’autre, auquel il imprime lui-même une égale quantité de mouvement en sens contraire par la sienne propre.

99 * Nommons dt l’élément du temps, ou l’intervalle infiniment court, pendant lequel on considère l’effet de la force motrice , et celui de la force d’inertie 5 M la masse du corps, Mp la force motrice, Mq la force d’inertie, et par conséquent M pdt, Mqdt leurs effets , c’est-à-dire les quantités de mouvement qu’elles feroient naître respectivement dans M pendant dt. La quantité de mouvement perdue pendant dt, sera donc la résultante de M pdt et M qdt (fig. 96).

Soit V la vitesse du corps pour un instant donné, d V son accroissement pendant dt, z l’angle compris entre cette vitesse V et la force accélératrice p. La force motrice M p estimée dans le sens de V, sera donc M p cos. z ; et par conséquent , la quantité de mouvement imprimée dans ce sens pendant dt, sera M pdt cos. z.

D’un autre cote, la quantité de mouvement

étant MV, s’accroîtra pendant dt dans le sens de V, de la quantité M dV : donc — M dV est ce que nous avons appelé l’effet de la force d’inertie , aussi estimée dans le sens de V ; donc, Mpdt cos. z — Mc?V est la résultante de ces deux forces estimées chacune dans le sens de V ; donc c’est la quantité de mouvement perdue par M pendant dt estimée dans le sens de Y. Mais cette quantité de mouvement perdue, est reflet de la force de pression exercée par M, multipliée par le temps dt pendant lequel elle s’exerce. Donc cette force exercée à chaque instant, estimée suivant la vitesse V du mobile, est dV

M p cos. z — M ——.

100 . Si l’on faisoit prendre au système un autre mouvement quelconque , qu alors u exprimât la nouvelle vitesse de M , x l’angle compris entre cette nouvelle vitesse et la force accélératrice p , et y l’angle compris entre les deux vitesses V et u ; il est clair que Mp cos. x seroit la force motrice estimée dans le sens de la nouvelle vitesse u, et que V cos.y seroit la première vitesse estimée dans le sens de la seconde : que par conséquent, </(V cos.y) seroit l’accroissement de cette vitesse estimée dans le sens de u.

Donc — M —. ( ^ cos y scr0 it la force d’inertie dt

76 P RI N C I P E s D E L’É Q U I L I B R F.

estimée dans le meme sens de u. Donc la force de pression exercée à chaque instant par M estimée dans le sens de u, seroit

M / ,cos. J r-M ^- (Vc08 -^ ) .

dt

101 . Sur les forces qui concourent en un même point. Concevons un système quelconque

de forces, MA, MB, MC (fig. 12), appliquées au

même point M, et dont MK soit la résultante. Par le point M, menons une droite quelconque indéfinie MF , et sur cette droite , prenons à volonté un point F quelconque. Des points A, B, C,K,

menons des perpendiculaires A a, Bb , Ce, KÆ

sur MF, et du point F des perpendiculaires

Fa, F b', F c, F£ y , sur les directions des puissances. Cela posé :

Les triangles semblables MA<2, MFa', donneront

MÂ:MÔ MF, M?, ou

MA. Ma'= MF. Ma. Par la même raison, on aura

MB. M^=MF.M^

mc.m? = mfÆ