MN X MP
MP
Résumant les dernières inégalités, il vient
<p(AM-PM- Aa') > H > <p(N^
et, à la limite,
cp(6) = (p(AC) = l™||
Remarque. On observera que le théorème précédent ne suppose pas connue la forme de la fonction q>; il suffit que Ton sache que cette fonction est continue.
.11 est bon de remarquer aussi que Ton suppose implicitement en plusieurs endroits de la démonstration que les longueurs considérées sont inférieures à A ; il en est de même dans plusieurs dès démonstrations précédentes. Cette restriction n'entraîne aucun inconvénient. Une fois les principes fondamentaux établis pour des figures suffisamment petites, on les étend aisément par l'analyse à tous les autres cas.
15. Théorème XII. Dans un triangle ABC quelconque, on a entre les trois côtés a = BC, b = CA, c = AB, la relation
cos(^) = cos(^) cos(~) + sin(j) sm(j) cosA.
Supposons l'angle A aigu.
Des points B et C abaissons les perpendiculaires BE, CD sur les côtés opposés. Posons AD = a?, CE = u. On aura, dans CBD,
cos (t) = cos (t) co i C: r)
ou, en développant, cos^) = cos(f-) cos(|) ços(f-) + cos(!) sin(-l) sin(|).
Mais, dans ÀCD,
La valeur de cosf-r-) peut donc s'écrire
Ht) = Ht) cos (t) + s Kt) ^(t)— tf-
tang{ T ) La considération des triangles GBE, ÂBE conduit de même à la relation
cos (£) = cos (A) cos (±) 4- sin (<i) sin (|) -i—
tang( T )
On obtient donc la relation indiquée si l'on pose
tangffi tang(i+ii) cosA — — ' = ,
^(t) tM «(T)
comme on en a le droit, puisque les expressions du second membre sont inférieures à l'unité et ne dépendent pas de la grandeur des côtés b et x de l'angle A. Par suite, cos A est égale à lim (x : 6), si 6 décroît indéfiniment (1). En supposant l'angle A obtus, on arrive à la même formule, à condition de définir le cosinus d'un angle obtus comme égal à moins le cosinus du supplément de cet angle.
16. Comparaison avec la géométrie lobatchefskienne. L'exposé précédent, le n° 41 et le 2° du n° 12 exceptés, est une simple transposition de celui que M. Gérard a donné pour la géométrie lobatchefskienne, dans l'article cité en note, au n° 1. Inversement, il est facile à celui qui n'a pas à sa disposition l'article de M. Gérard de le reconstruire au moyen de ce qui précède, en partant de cette proposition fondamentale : la somme des trois angles d'un triangle est inférieure à deux droits.
En géométrie lobatchefskienne, on n'a pas besoin de prouver explicitement le théorème relatif à la continuité de la fonction /"(y), limite de (x' : x) dans un quadrilatère trirectangle (x, y, x', y f ), et l'on démontre un peu plus simplement qu'en géométrie riemannienne le théorème
f(* + y) +./l*-y) = 2/t*)/ly).
(1) Si Ton suppose h infini, on a, comme Ton sait, la géométrie euclidienne ; on trouve alors ços À = (s : 6), ce qui prouve que les cosinus d'angle ont le même sens dans tous les systèmes de géométrie.
Voici l'esquisse de cette démonstration pour ceux de nos lecteurs qui ne peuvent consulter l'article de M. Gérard. Soient AH, ae deux perpendiculaires
à une même droite ka ; AB = x — y, AC = x> AD = x + y, EH = y diverses longueurs portées sur AH ; Bé, Ce, Dd, Ee des perpendiculaires à AH rencontrant ae en 6, c, d, e ; HA une perpendiculaire à AH, eh une perpendiculaire à HA, 6m, dn des perpendiculaires à Ce.
On prouve aisément que Ton a cd > ck et par suite, en > cm, ÎCc > Cm + Cm, puis, comme au n° 42, 1°,
On a ensuite
cm v ct> cti x . cd
Mais
Donc
L'inégalité — > fi donne Gti — jiCm
< Ce (1 + fi), puis en divisant par ka et faisant tendre ka vers zéro,
/(* + ») + /(* — »)• lim|i < f[x)f[y). lim(4 + M). lim fi = lim (cd : c6) = (CD : CB) — 4.
/[* '+ y) + /fc-y) i «A*) /(y)- W
Des relations (Z) et ft), on déduit
/fc + y) + fa—y) - 2 /(y) A»)-
On prouve ensuite que
/W==Ch(^),
après avoir observé que la fonction f[z) est supérieure à l'unité, sauf pour z = 0. Cette démonstration se fait plus facilement que pour le théorème correspondant en géométrie riemannienne parce que z peut croître indéfiniment sans que f change de signe.
La relation entre les trois côtés d'un triangle est
cosA ayant encore le même sens qu'en géométrie euclidienne, comme on le voit en faisant croître k 1 indéfiniment (4).
(1) Une esquisse du présent mémoire a été publiée dans le Compte-rendu de la réunion d'Oxford de l'Association britannique pour l'avancement des sciences (août 1894). De la relation entre les trois côtés d'un triangle on déduit aisément le théorème de Stewart, c'est-à-dire la relation entre les six distances de quatre points dont trois sont en ligne droite. Ce théorème de Stewart permet ensuite d'établir la relation de Schering entre les dix distances de cinq points dans l'espace, relation qui est le point de départ de M. De Tilly, dans le second mémoire cité en tète de ce travail. Enfin, la relation de Scbering conduit a une relation entre les quinze distances de six points où les cosinus (circulaires ou hyperboliques) des distances (divisées par k ou V) de deux d'entre eux n'entrent qu'au premier degré. Kous espérons pouvoir publier ultérieurement cette relation et les démonstrations dont il vient d'être question. — Le présent mémoire est extrait du Compte rendu du troisième congrès scientifique international des catholiques, Section des sciences mathématiques et naturelles, pp. 12-25.
