I. Sur l'histoire de la géométrie non euclidienne

On peut résumer comme il suit l'histoire de la géométrie non euclidienne, dans sa première partie, c'est-à-dire avant que Cayley et Klein en aient signalé les pointsde contact avec la théorie des coniques (1). Loltatchefsky(1793-1856 a publié ses recherches sur ce sujet à Kasan, en J829 (et même en 1826) et en 1830, 1837, 1838 ; à Berlin, en 1837, dans le Journal de Crelle et, en 1840, dans une brochure spéciale. Il a résumé l'ensenible de ses travaux dans sa Panf/éométrie publiée en français en 1855, à Kasan. Dans tous ses écrits, il expose scient iliquement la géométrie, en faisant abstraction du postulat de la parallèle unique.

Jean Bolyai (1802-1860) fil connaître, en 1832, dnus un appendice à un ouvrage de son père, W. Bolyai, des idées tout à fait analogues.

La correspondance de Gauss avec Schumacher prouve que le grand géomètre de (i(Xittingue était arrivé aussi, avant 1831, au système de géométrie de Lobatchefsky et de liolyai.

(1) Voir <lans notre brochure intitulée: Notes siir la yéométrie euclidienne et non euclidienne, quelques vues d'Anqicie cl de Fourier sur les principes de la Géométrie, ainsi qu'une élude sur les postulats d'Euclide.

En 1854, à l'instigation de Gauss, Kieniann, dans une leçon inau^airale publiée seulement après sa mort, soumit les bases de la géométrie h une étude approfondie, et trouva ainsi un système de géométrie différent à la fois de celui d'Euclide et de celui de Lobatehefsky.

On peut caractériser les systèmes d'EucIide, de Lobatehefsky et de Riemann par les relations

a^ = 62 ^ c2 (Euclide) (E)

Ch ax] = Ch bï] Cli cx] (Lobatcliefsky) (L)

cos ae = ces 6e cos ce (Riemann) (R)

qu'ils établissent entre l'hypoténuse a et les deux côtés d'un triangle rectangle ; e et 1") sont des quantités constantes, que l'on doit supposer extrêmement petites dans les applications des géométries non euclidiennes au monde physique. Les cosinus qui entrent dans la formule (R) sont définis d'une manière purement analytique par le développement en série, cos x = l — { x'^ -\- etc.

On peut imaginer d'autres systèmes de géométrie, caractérisés j)ar des relations entre «, b, c, d'une forme ditlërenîe des trois précédentes, mais ces systèmes n'ont plus aucun rapport avec la géométrie physique, comme l'a prouvé M. De Tilly( 1879).

Il est facile de voir que, pour e et n décroissant indéfiniment, les formules (Liet (Ri tendent indéfiniment vers (E) ; autrement dit, les géométries non euclidiennes dillèient aussi peu qu'on le veut de la géométrie euclidienne et, ])ar suite, s'appliquent comme elle au monde pliysi(|ue. La géométrie plane, dans le système de Riemann, est iilenli(pie à la géométrie euclidienne sur une sj)lière. M. Beltrami (1868) a moniré (}ue la géoméirie plane de Lobatehefsky est identique à la géoméirie euclidienne sur la pseudosphère (surface engendrée par la développante d'une chaînette tournant autour de la directrice de celle-ci). Il en résulte l'impossibilité de démontrer le postulatum par un raisonnement de géométrie plane. En 1873, M. De Tilly a prouvé qu'aucun raisonnement géométrique quelconque ne pouvait conduire ù une vraie preuve du postulatum. Autrement dit, la notion euclidienne de la droite ne contient pas le postulatum.

Dans le livre publié par le P. Saccheri, eu 1733, sur les principes de la géométrie et dont nous avons donné une analyse détaillée (1), cet auteur est arrivé, un siècle à peu près avant Lobatehefsky, aux premiers principes de la géométrie non euclidienne. Une erreur radicale sur l'emploi de l'inlini en mathématiques a empêché l'ingénieux géomètre italien de faire, sous une forme explicite, la découverte de la géométrie générale (2).

(1) Annales de la Société scientifique de Bruxelles, 1889-1890, t. XIV, 2« partie, pp. 46-59, ou la brochure citée à la page précédente, pp. 15-!29.

(2) Extrait des Annales de la Société scientifique de Bruxelles. 1890, t. XIV, lr« pai'tie, pp. 43-45. 2