NOTIONS SUR LES COORDONNÉES PARALLÈLES. IJ

(2 bis) permettant de ramener toutes les constructions qu'elle comporte au seul emploi des coordonnées cartésiennes.

Toutefois, on pourrait se dispenser de ce retour aux coordonnées cartésiennes si l'on possédait les formules générales relatives au système de géométrie analytique tangentielle fondé sur l'emploi des coordonnées parallèles ( ' ).

Sans insister sur ce point, nous ferons remarquer que la corrélation existant entre le système des coordonnées parallèles, dans le domaine tangentiel (où les courbes sont considérées comme des enveloppes de droites) et celui des coordonnées cartésiennes dans le domaine ponctuel (où elles apparaissent comme des lieux de points), permet, lorsqu'il s'agit d'éléments projectifs, de transformer immédiatement dans le premier système certains résultats établis dans les éléments classiques pour le second.

Par exemple, de même que l'équation cartésienne de la tangente au point (x0l y0) de la courbe décrite par le point (.r, y) s'écrit

l'équation en coordonnées parallèles du point de contact de la droite (m0, v0) avec l'enveloppe de la droite '( //, p), sera

dvQ , du0

Et encore, alors que l'enveloppe de la droite

xf{t)-±-yg{l)+-h(t)=.o,

où t est un paramètre variable, s'obtient par l'élimination de t entre cette équation et sa dérivée prise par rapport à /, de même le lieu du point

variable avec t, aura, en u et p, une équation qui résultera del'éli- H mination de t entre cette équation et sa dérivée prise par rapport à t. On pourra, au reste, tout aussi bien, former l'équation ponc-

(') L'exposé de ce système se trouve dans notre Mémoire intitulé : Coordonnées parallèles et axiales, paru en 18S4 dans les Nouvelles Annales de Mathématiques, puis publié sous tonne de brochure séparée, avec divers compléments, chez Gauthier-Villars, en i885.

d'ocaone 2

l8 NOMOGRAMMKS A POINTS ALIGNES.

tuelle de ce lieu en écrivant, d'après (2), les expressions des coordonnées cartésiennes du point variable, savoir :

f\t) + g(t)' J J\t)-vz(t}

et éliminant t entre ces deux expressions.

11 sera même souvent plus commode de regarder ce lieu comme défini, sous forme de ce que, dans les Cours de mathématiques spéciales, on appelle une courbe en /, par l'ensemble de ces deux équations.

11. Échelles algébriques. — Si, dans l'équation ci-dessus du point dépendant du paramètre £, les fonctions /, g3 h sont des polynômes entiers en £, et si choque point ainsi défini est supposé coté au moyen de la valeur correspondante de /, l'ensemble de ces points constitue une échelle algébrique dont le support, lieu de ces points, est déterminé comme on vient de le voir.

11 est très remarquable qu'une telle échelle puisse, dans tous les cas, être construite point par point au moyen de projections successives à' partir de l'échelle rectiligne représentant les variations du paramètre t lui-même, échelle métrique, par conséquent, si t est pris pour variable indépendante, fonctionnelle si t n'intervient lui-même qu'en tant que fonction d'une certaine variable regardée comme indépendante.

Les deux cas naturellement de beaucoup les plus fréquents sont ceux où / entre soit au premier, soit au second degré dans l'équation du point variable.

Dans le premier cas, U et V représentant deux fondions linéaires en u et r, l'équation de ce point peut s'écrire

U-WV = o.

Elle représente une échelle évidemment homographique portée sur la droite qui unit les points U == o et V = o, cotés respectivement o et 00. Il suffit donc, d'après ce qui a été vu au n" 3 (dernier alinéa), de déterminer directement un troisième point de cette échelle, par exemple U-f-"\ — o, correspondant à la cote 1, pour pouvoir construire toute l'échelle (t) comme projective d'une échelle métrique.

NOMQGRAMMKS A POINTS ALIGNÉS. [9

Ces trois points cotés o, i et oo sont évidemment ceux qui se présentent tout d'abord à l'esprit; mais il est clair que l'on peut user «le même de trois points de cotes quelconques.

Dans le cas du second degré, l'équation peut s'écrire

l , \ et \\ étant encore des fonctions linéaires en u et e.

Le support de l'échelle (/) est alors, d'après ce qu'on a vu à la fin du numéro précédent, la conique dont l'équation en // et v est

V2—JUW = o,

conique qui passe parles points U = o (cote o) et W = o (cote x }, les tangentes en ces points se coupant d'ailleurs au point V = o.

Si l'on considère les rayons qui projettent l'échelle (t) à partir d'un quelconque de ces points, coté /0, dont l'équation est, par conséquent,

tf h- *0Y -m* W— o,

les u et e des rayons projetants, satisfaisant aux deux équations précédentes, satisfont aussi à celle que l'on obtient en les retranchant, c'est-à-dire à

qui définit une échelle projective de celle de t. Si donc on tire les rayons joignant le point /,, aux points /,, /.,, ;;{ de l'échelle (£), il suffit de couper ces rayons par l'échelle rectiligne de t de façon que les points cotés £,, /2, t3 de cette échelle tombent respectivement sur les rayons précédents pour que les rayons unissant le point t{) aux divers points de l'échelle rectiligne passent par les points de même cote de l'échelle (t) à construire.

Bien entendu, ici encore l'échelle rectiligne de t est métrique si t est pris comme variable indépendante.

Remarquons aussi que l'un des points /,, /2 ou /:{ peut être amené à coïncider avec le point /„ pris pour centre de projection; le rayon correspondant se confond alors avec la tangente en ce point /0 à la conique support de l'échelle (£).

12. Nomogrammes à points alignés. ■ — Si, dans les équations qui définissent, en coordonnées cartésiennes, une figure où

20 NOMOGRAMMES A POINTS ALIGNES.

n'entrent que des droites, on remplace x et y par u et ^, on définit une nouvelle figure uniquement composée. de points et telle qu'à trois droites concourantes de la première figure correspondent trois points alignés sur la seconde. De là, par simple report de coordonnées, le moyen de transformer un nomogramme à droites entrecroisées en un nomogramme à points alignés. Mais on peut aborder directement la théorie d'un tel nomogramme. Reprenons une équation de la forme rencontrée au n° 8, savoir :

Portons sur les axes parallèles Au et Bp les échelles définies par

(2) u = fAi/i [échelle (s,)|

et

(3) v = [x2/2 [ échelle ( s2 )]•

Si dans l'équation (1) nous remplaçons j \ el/2 par leurs valeurs tirées de (2) et (3), ce qui nous donne

(4) Ha £"3 « -b ty /*a<; H- ^1^2/3= o,

nous définissons, comme il vient d'être dit, une certaine échelle (s3 ). Or, la condition pour que trois points pris respectivement dans les échelles (<S|), (^2) et (zz) soient en ligne droite est que les -équations (2), (3) et (4) aient une solution commune en u et v. Cette condition, résultat de l'élimination de u et v entre (2), (3) et (4), n'est autre que (1). Donc les valeurs de s,, z2 et z3 cotant trois points alignés, pris sur les échelles, correspondantes, satisfont à l'équation (1). Cet alignement de points fournit ainsi un mode de représentation graphique de l'équation ( 1 ) corrélatif de celui qui a été indiqué au n° 8. Pour cette raison, l'ensemble des échelles (zi% (^2) et (^3) ci-dessus définies constitue ce qu'on appelle un nomogramme à points alignés ( ' ) de l'équation (1).

( ') Dans nos premières publications sur la nomographie, y compris notre traité 2, nous avons fait usage du mot abaque pour désigner de tels graphiques cotés et, depuis lors, l'habitude en a persisté assez généralement. Vu l'explication fournie plus haut ( n° 5) au sujet de l'étymologie du terme d'abaque, il- nous a, par la suite, semblé plus rationnel d'adopter relui de nomogramme pour toute espèce de représentation graphique cotée en réservant l'appellation d'abaque à celles de ces représentations où s'accuse la disposition en damier.

NOMOGRAMMKS A POINTS ALIGNES. '21

La droite, dite index de la lecture, avec laquelle on prend les alignements sur le nomogramme, peut être constituée soit au mo> en du ii trait lin marqué sur une règle transparente, soit au moyen d'un fil tendu.

On voit immédiatement qu'il ne s'agit ici que d'un cas particulier et que la méthode des points alignés s'étend en réalité à des cas beaucoup plus généraux pour lesquels le nomogramme comporte trois échelles curvilignes quelconques; mais c'est le cas particulier ici envisagé qui se présente, et de beaucoup, le plus fréquemment dans les applications; vu l'objet que nous avons ici en vue, nous nous en tiendrons là, renvoyant pour le surplus à nos précédentes publicationsx( ' ).

Remarquons que si g:i et h^ se réduisent à des constantes, l'échelle (z*) a pour support une parallèle aux axes que l'on peut d'ailleurs toujours prendre entre les axes. Il suffit, en effet, si par hasard, fx et/2 sont de signes contraires, de porter sur B^ l'échelle de — /2 au lieu de celle de fi.

Si 3 est nulle, l'échelle (s3) est portée sur AB. On peut, dans ce cas, ramener le nomogramme à la disposition précédente. Si,

en effet, on pose — = — /3, l'équation, qui devient

peut s'écrire

log/t=Jog/24- !og/3,

représentable au moyen de trois échelles rectilignes parallèles.

Le premier avantage que les nomogrammes à alignement présentent sur ceux à entrecroisement, et notamment sur les abaques cartésiens, tient à une bien plus grande netteté de lecture comportant une plus grande précision pour les interpolations à vue. Tl suffit, pour s'en convaincre, de jeter les yeux sur les figures 5 et 5 bis ci-après qui représentent la même formule entre les mêmes limites, l'une par entrecroisement (la graduation portée le long

(') Esquissée dans 1 (Chap. IV, où la méthode est dite des points isoplètlies pour une raison exposée à l'endroit eilé), celle théorie générale a reçu un plus large développement dans 2 (Chap. lit); sous forint; plus condensée, en même temps que complétée sur certains points de détail, elle se retrouve dans 3 (Chap. IV). Les principes en sont également donnés dans 4 (Chap. XI, c).

11 NOMOGRAMMES A POINTS ALIGiNES.

de O y étant commune aux perpendiculaires à cet axe et aux droites qui sont tracées à travers le quadrillage), l'autre par alignement. La seconde a d'ailleurs été simplement obtenue par report, sous la forme u et e, des coordonnées x et y relevées sur la première, ainsi qu'il a été dit en tête de ce numéro.

Mais cet avantage, seulement relatif à une plus grande commo-

dite, n'est pas celui qui confère à la méthode des points alignés sa plus grande importance, et qui tient à ce que cette méthode s'applique très aisément, comme on le verra plus loin (n° 15), à des équations à quatre variables, d'un type fréquent dans la pratique, auxquelles ne se peut appliquer la représentation par entrecroisement.

Il est bien clair que, si une équation à a variables (n >> 3) est réductible, grâce à l'introduction de variables auxiliaires, à une

CONSTRUCTION DES ECHELLES l) UN NOMOGRAMME. *3

suite d'équations individuellemenl représentables par alignement, en aecolanl les nomogrammes partiels par leurs axes correspondant à une même variable auxiliaire, on aura la représentation, par alignements multiples, de l'équation à n variables proposée. Les

Fi g. 5 bis.

échelles répondant aux variables auxiliaires n'ont d'ailleurs évidem ment pas besoin d'être marquées; seuls, leurs supports ont à intervenir, les points de ces supports servant seulement de pivots pour le passage d'un des alignements partiels au suivant. Pour cette raison, ces supports sont dits les charnières du nomogramme.

13. Construction des échelles d'un nomogramme. — Pour les nomogrammes du type décrit au numéro précédent, aucune difficulté en ce qui concerne les échelles (s,) et (z2) portées sur.Aa et Bp au moyen d'étalons de graduation, soit directement (si l'on possède ceux relatifs aux fonctions /', et }\ elles-mêmes ), soit par dérivation (s'il s'agit, par exemple, de log/', et de log/^), soit par transformation (si notamment on a affaire à des transformées proj écrives de /, et/2).

Remarquons toutefois que ces échelles n'ont à être construites qu'entre certaines limites dépendant de la nature de la question

24 nomourammes a points alignes.

traitée et avec des modules tels que l'interpolation à vue permette d'atteindre, sur ces échelles, au degré d'approximation que l'on a en vue.

11 arrivera souvent qu'avec les limites inférieures admises, les origines des axes seront rejetées en dehors des limites du tableau; nous devrons donc tenir compte de cette circonstance dans le procédé suivi pour la construction de l'échelle (^3), dont nous allons maintenant nous occuper.

Remarquons tout d'abord que l'échelle (s3) peut être construite sans qu'il soit besoin de former son équation lorsque, pour chacune des valeurs de z* à faire figurer sur le nomogramme, on peut se procurer deux couples correspondants de valeurs de zt et z2 ; les positions de l'index correspondant à ces couplesde valeurs lues sur les échelles (3,) et (z2) déjà marquées, se coupent au point (z3) cherché. Nous disons de cette construction qu'elle a lieu par deux index.

Se plaçant à un point de vue en quelque sorte inverse, on peut rendre la construction de l'échelle (z:i) tout à fait indépendante des échelles (g,) et (z2). Reprenons l'équation (4) du numéro précédent qui définit cette échelle (^3), savoir

En vertu des formules (2) du n° 10, les coordonnées cartésiennes du point (33), rapporté aux axes Ox et Oy que nous avons liés aux axes parallèles Au et Bv (fig. 4)î sont données par

, , ^ f^i/*3— M->£"3 1*1 [^ fi

Ces formules fixent la position du point (s3) et permettent, par l'élimination de s3, d'obtenir l'équation ponctuelle du support de l'échelle correspondante.

On a ainsi la construction par les coordonnées cartésiennes.

On peut encore procéder suivant un mode qui participe à la fois des deux précédents. En effet, au moyen d'un seul couple de valeurs de z{ et z2 correspondant à une valeur de z$ donnée, on a une position de l'index sur laquelle se trouve le point (s3) cherché. Mais, de plus, si Ton prend provisoirement cet index pour axe 0:r, l'abscisse du point (3.,) est encore donnée, sur cet axe, par la pre-

CONSTRUCTION DES ÉCHELLES D'i'N NOMOORAMMK. 7.5

mière formule (2 bis) (où o() représente toujours le demi-segment de ce nouvel axe, compris entre Au et Btf). Cette nouvelle construction peut être caractérisée comme effectuée par un i iules.

Enfin, lorsque l'échelle (£3) est algébrique et, plus particulièrement, lorsqu'elle est du premier ou du second degré, on peut la construire par projection, ainsi qu'il a été expliqué au 11" 11.

Mais la méthode des projections peut encore s'appliquer à partir de centres autres que ceux auxquels conduit la théorie des échelles algébriques. On peut notamment envisager les projections sur les axes Bc et A//, faites à partir des origines A et B. Leurs équations s'obtiennent par annulation soit dew, soit de v dans (1).

Remarquons d'ailleurs que, si, pour z{ = o, l'équation représentée donne z2— -3;{, la projection de l'échelle (s3 ) faite, à partir de A, sur Br, se confond avec l'échelle (s2). De même sur A«, si, pour z2= o, on a z^ — ,s3. En pareil cas, au lieu de projeter sur les axes eux-mêmes, on peut le faire sur des droites qui leur soient parallèles, sur lesquelles les échelles seront les mêmes, mais avec des modules réduits dans tel rapport que Ton veut.

En pratique, on combinera ces divers procédés en vue de la plus grande rapidité et commodité. Par exemple, ayant obtenu, par l'un ou l'autre des trois premiers procédés, quelques points principaux de l'échelle, on tracera le support 'au moyen d'un trait continu passant par ces points, comme on le fait sur les épures de géométrie descriptive lorsqu'on y construit, à laide d'un nombre suffï- - sant de (points, la projection de la courbe d'intersection de deux surfaces. On marque ensuite les points intermédiaires sur ee support par projection, soit en appliquant ce qui a été dit pour les échelles du premier et du second degré, soit en ayant recours à des positions de l'index d'une détermination particulièrement facile, par exemple lorsque, pour une valeur particulière de 3,, on a, par un calcul très simple, la valeur de z2 correspondant à chaque valeur de 33.

D'ailleurs, une construction par projection n'ayant de valeur qu'autant que les projetantes coupent le support préalablement tracé sous un angle assez grand, on pourra être amené à changer de centre de projection pour construire les diverses parties d'une même échelle.

La construction par projection est particulièrement commode

iC) NOMOGIIVMMKS A POINTS ALIGNES.

lorsque le support de l'échelle (z:i) est rectiligne, ce support étant déterminé par deux points obtenus directement, comme il a été dit plus liant, s'il est de direction quelconque; par un seul, s'il est parallèle aux axes.

Dans le cas d'un support rectiligne, on peut aussi porter directement l'échelle (-a8) sur son support sans recourir à aucune projection. Si, en effet, ce support est transverse aux axes, l'échelle (z-/) y est déterminée par la première formule (2) (où ù est pris égal au demi-segment du support compris entre les axes); s'il est parallèle aux axes, parla seconde formule (2) où h3 et g:i sont remplacés par des constantes qui peuvent être prises égales à l'unité (attendu que les coefficients numériques que constituent alors h3 et i>3 dans l'équation donnée peuvent être incorporés respectivement à ft et f2). Dans ces conditions, on voit que l'échelle à porter sur le support parallèle à Au et Br ( dont les distances à ces axes sont proportionnelles à pi, et 'p.2') n'est autre que celle de la fonction — y*3, portée avec le module |j.:{ tel que

C3 ) lJ-.i — ; 1