RESEAU A UN SYSTEME DE DROITES ET UN SYSTÈME DE COURBES

droites issues du point (# =='8, y = 0), c'est-à-dire -de l.'origine l> <lc l'axe Bi\ <m déterminanl sur l'axe Or l'échelle exponentielle

La figure i-3 donne une réduction de la partie utile de ce uomogramme (*'). L'alignement marqué en pointillé correspond à l'exemple Tt = 8ooke, m = ~^), A = o,oi2. pour lequel on

23. Réseau à un système de droites et un système de courbes : Pressions intérieures dans l'autofrettage. - L'équation suivante est empruntée à un travail de M. l'ingénieur général Jacob, entrepris à l'occasion de la construction du matériel d'artillerie lourde, confiée aux ateliers du Greusot, el relatif à Fautofrel-

Uge(.*).

Elle lie, en certains cas, le rapport m de la pression subie par le métal à la limite élastique qu'il comporte, au rapport 0 du rayon de la couche considérée au rayon de l'âme, el s'écrit

tîth- 1,4*29= 1 f (avec 71 — 2,1(0),

les coefficients A, et X2 variant d'un cas à l'autre; mais on va voir comment, vu la façon dont sont fournies les données, on arrive à les éliminer.

On obtient la représentation de cette équation en posant

a — p,X2, v — txXh

pétant un module appliqué à la fois aux axes Vu et B< . ce qui donne, pour le réseau des points (0, w), l'équation

p;' u h- p2 v = p"+2 n(rs -h 1 , \>.\) 1

('-) Un autre travail de l'ingénieur général Jacob a été publié eu igig par le< Etablissements Schneider sous le titre : Solutions nomagraphiques des problèmes de balistique extérieure.

ou, en coordonnées cartésiennes ( n° 10 >,

ri r/l 2«+2

x = ^ ^2 * u » y -= ( ^ -Ki , 4 29D ^7~r^7 *

La première de ces formules ne contenant que p, on en conclut que les lignes (p) du réseau sont des parallèles à Oy.

L'équation en x ex y des lignes (to) proviendrait <lc l'élimination de o entre les expressions de x et r; mais la formation de cette équation est tout à fait inutile. En effet, l'expression de y\ linéaire en to, montre que, sur toute parallèle à Oy, caractérisée par une certaine valeur de p, les lignes (m,) déterminent une échelle métrique. Autrement dit, les lignes {m) son! métriquetuent espacées suivant Oy ( n° 6 in fine), et il suffît, sur chaque ligne (p), de déterminer les points appartenant à <leux d'entre elles pour que ceux de toutes les autres s'en déduisent immédiatement.

En pratique, les données sont, dans chaque cas, constituées par deux couples de valeurs de p et m correspondant aux deux cylindres limitant, dans l'épaisseur du tuhe, la couche à laquelle s'applique le nomogramme considéré; appelons les ( p', m') et (p", m"). Les points correspondants doivent se trouver sur l'alignement déterminé par les valeurs de A, et )*2 qui conviennent à ce cas; par suite, la droite joignant les points ( p7, m') et (p", xn") ferait connaître, sur les axes Au et Be, ces valeurs de Â, et X*; mais puisque, précisément, la position de l'index serait celle unissant les points cotés au moyen de ces valeurs, cette position est donnée par la droite qui vient d'être tirée et tous les couples de valeurs de p et m, à l'intérieur de la couche considérée, sont fournis par les cotes des points (p, gj) qui se trouvent sur celte droite.

Il est dès lors inutile de faire figurer sur le nomogramme, dont la figure i \ offre une réduction, non seulement les échelles (À,) et (Xo), mais même leurs supports.

On a tracé sur cette figure la position de l'index pour le cas où les couples des données sont

P'=i, cj'=ij35 et p"=!,53, m" = o:S-i. En suivant cet index, on voit, en particulier, que, pour p = 2.

La collection des no m o gramme s construits par M. l'ingénieur général Jacob va encore nous fournir un exemple d'application des réseaux de points à deux cotes à la représentation d'une équation à trois variables seulement, suivant la remarque faite à la lin du n° 15.

Les a et n étant des constantes numériques- dont les valeurs sont

l'équation en question; où m a la même signification que ci-dessus, a étant le rapport du rayon extérieur au rayon intérieur et z, qui ês4 l'inconnue, le rapport du rayon du joint au rayon extérieur,

peut s'écrire

y.,anz" a3a*z* ™~y.t= — H •

Si l'on fait correspondre à la variable a deux échelles délinies respectivement sur Au et Be par

u = ua;j<7'2 et v == \LOL$an, on obtient le réseau ( z, m) dont l'équation est

zi u -+■ s" v = (x(i + a4 zr) (m -h v.l)1 ou. si fon passe aux coordonnées cartésiennes,

Les hgnes (j) de ce réseau sont, d'après l'expression de .r, des parallèles àOj; en outre, l'expression dej-, linéaire en m, montre que les lignes (m) sont métriquement espacées suivant Or, ce qui réduit leur construction d'ensemble à celle de deux d'entre elles.

Les positions de l'index pour la lecture du nomogramme, unissant sur Au et Br les points de même cote a, peuvent être tracées d'avance et cotées au moyen de ces valeurs de a, et l'on retombe finalement sur un nomogramme à entre-croisement; mais l'avantage de cette solution, par rapport à celle qu'eût constituée un abaque purement cartésien (à laquelle elle peut être rattachée par voie d'anamorphose), consiste dans le bénéfice qu'il v a à

retirer, pour la rapidité de la construction, de l'introduction, en dehors de simples systèmes de droites, d'un unique système de courbes qui sont métriquement espacées, c'est-à-dire qui se déduisent immédiatement toutes de deux seulement d'entre elles.

La figure i5 offre une réduction de ce nomogramme dont l'usage se borne à lire la cote de la droite (V), parallèle à Oy, passant par le point de rencontre de la droite (a) et de la courbe (m). Par exemple, pour a=~ i,(), gî— o,3, on lit r =0,55.

24. Réseau à deux systèmes de courbes : Poids total transporté par un avion en vol horizontal. Si p est ce poids total ( variant de okg à ioaoks), T la puissance nominale (de o à iooo chevaux), m la charge par cheval (de 4ks -à I2ks)-, V le paramètre de sécurité (de o,ooo à o,oi,V), ces variables sont liées par l'équation

m étant la masse puissanciquc. On représente cette équation en posant

u — (ui A, v = \j.2p,

ce qui donne deux échelles métriques sur Au et Bc. On en déduit, pour le réseau (es, T), l'équation

jju tïj ;{ T :{ u -h \j.yv — [xt [x2 ( m — m ) T ou, en coordonnées cartésiennes (n° 10-),

;jLi -h ;jura:{ T 3 [/•! -i- [ji2 r«y3 T3

L'ensemble de ces deux expressions, suivant qu'on y donne à to ou à T une valeur constante, permet, lorsqu'on fait varier le second paramètre, de déterminer point par point la courbe (m) ou la courbe ( T).

Pour construire le nomogramme (•*,) don! la figure i(i est une réduction, on a pris m, = ioooooliu en se plaçant dans lhypo-

(') S. T. Ac.

TRIPLE ALIGNEMENT AVEC RÉSEAU A DEUX COTES. 5ç>

thèse où m = 2 (et en adoptant pour les axes le sens positif de haut en bas ).

On remarque immédiatement que pour un paramètre de sécu-

Fig. 16.

-t-ooo

s/n—ioo

rJiOO

^"ÎOOO

rite A et un poids total p donnés,, ce nom o g ranime permet de déterminer un minimum de charge par cheval, qui n'est autre que la cote de la courbe (cj) tangente à la droite joignant les points (A ) et (p). La cote de la courbe (T) passant par le point de contact l'ait connaître la puissance nominale correspondante. Par exemple, pour A — 0,012 et p = 44°ks? on voit que le minimum de la charge par cheval est sr = 8kg et que la puissance nominale correspondante est T = 2oo chevaux, environ.

25. Triple alignement avec réseau à deux cotes : Épaisseurs minima des pales d'hélice vers le moyeu. — Désignons par :

// cette épaisseur en cent i mètres (de o à 2 \ ),

I) la densité de la matière (de 0,1 à i), R sa tension en kg : cm2 (de 25 à 3oo), V la vitesse périphérique en m : sec (de o à 3oo(), P la poussée en kilogrammes (de 100 à 5oo),

o le rapport du diamètre de l'hélice à la largeur de la pale (de \ à 20),

L'épaisseur cherchée est donnée pur la formule

. / 3 t 3DV*\ /=-

Pour représenter celle formule, nous introduirons les variables. auxiliaires ; et Yj Ici les que