TT — ^ -\- sin 6 cos
La probabilité totale, composée de l'événement se trouvant en question est par conséquent
/ ^-n — B + sin S cas 6 2x dx . 1 n
^Jin^oe
+ 2 siti e cas S) si H 6 cas » ^/ d = ' — ( ')
40. Problème VI. — Dafis un rayon (juclrçnfjue d'un rercle donné, deux points sont pris arbitrairement et un troisième point est pris arbitrairement dans la surface du cercle; trouver la probabilité pour que les trois points soient les sommets d'un trianr/le acutangle.
Solution. — Soient P, Q (Fig. 19) les deux premiers points pris dans le rayon OA mené à volonté, lequel servira comme unité de longueur; on pose OP==x, 0 Ç -^ !/; dxdy est la probabilité pour que les points P, Q possèdent la position prise.
Pour obtenir les positions favorables, dépendantes du troisième point P, on mène par P, par Q rectangulairement à OA des cordes BC.DEei on décrit sur PQ comme diamètre un cercle. Aussi souvent (|iii' /»* tombe entre les cordes, cependant à l'extérieur de ce cercle, il est correspondu aux conditions de la question. La probabilité donc pour que lors des positions prises par P, Q une position favorable de P ait lieu, est
(*) Dans cette forme, le problème a été établi et résolu par le professeur Seitz, dans l'Éduc. Tim., tome XXXII, pag. 106. Le problème présenté par Watson dans rÉduc. Tim., tome XXVI, pag. 77, est identique au présent problème, la solution communiquée là, de C. Leudesdobf, donnant le
résultat -.-^' est inexacte, parce qu'elle ne correspond pas à une répartition
uniforme des points sur la surface du cercle.
r ii 11
\arccosx — (1 — x-^) î — \arccosy — (1 — if)'i
La probabilité totale, composée de l'événement susdit, à la considération de ce que P et Q peuvent être permutés, est conséquemment
Tt
j j \\(irccosx — x(i — x^)'i\ — \(irccosi/—{/(l — 1/^)'^\
-^-7r{y = xY dx dy
/ \(trccosx — x(\ — x'^)'i-\-xarccosx—(\—x^)'i-{--:^(\
nn ^ - --' r-^
2 1 -^^(^-xr\dx
41. Problème VII. — Le milieu de la base d*un triangle est joint au sommet opposé; dans chacun des deux triangles partiels ed pris à volonté unpjoint. Quelle est la probabilité pour que la ligne de jonction des deux points coupe la ligne de base du triangle?
Solution. — Soit P le point pris dans le triangle BCD (Fig.20), on désigne les coordonnées obliques de P, DP', P'P par X, y; on pose AB = 2a, CD=^b; la probabilité de la position désignée
de Pest donnée par la fraction ~, — r * ^ lab
Pour découvrir les positions favorables correspondantes à P, du second point Q, on joint P k A. Seulement ^ •'*' lorsque () tombe dans le triangle ^Z>i^,
la droite P(> coupera la base, à savoir la moitié ^42> de celle-ci. Conséquemment, la probabilité d'une position favorable de Q est égale à
J ADE ^DE a y J ADG DC ~ b ' a\-x
i'\ I.t |ii<»l»al»nil«' fofjilr (le r«'V('FM'm('nf produit dans le I' \tr. pniii" toiiti'.s lus po^iLJuiis ilu poîiil 1' diUis lo tt'iangle
lit 7^ rM v-a\v, à
/' /g , y dxdy o l.
La mémo probabilité s'obtient lorsqu'on donne au point Q toutes les positions dans le triangle A CD, de sorte que la valeur définitive de la probabilité est égale à
42. Problème VIII. — Dans la surface d'un parallélo- (jramme donné, <l(ur i>(>int.^ sont pris arbitrairement; trouver la f>r<>/>tih)lif(' pour (pK /, \i r ligne de jonction coupe des côtés i)l>j)<>.<('s ilu para/lélvyj'dniuii'.
Solution. — Soit P (fig. 21) un des deux points; on pose AB = (/, BC =- b, l'angle ABC = ce et les coordonnées obliques de P, AP =-= ./• = a^, PP= y = bij; ainsi la probabilité de la position marquée de
T» . . , dx dy sin a
Pest exprimée par — -riyn t\ '
Nous considérons les positions /
de Q pour lesquelles la ligne jl^
PQ coupe les côtés contigus
.1^, BC et tirons, à cette fin, les lignes AC, APE, CPF;
un cas favorable arrive lorsque Q tombe dans un des triangles
A FP, CEP et la probabilité de cela est
J AFP 4- ^ CEP "^ ABCD '
par conséquent, la probabilité totale pour que les côtés contigus AB, BC soient rencontrés par PQ s'énonce
Fig 21.
XDyjj
1) ï - (ABCDy i l(^^PP+^ ('EP) dx dy un ce.
l'intégrale étendue à la surface du triangle ABC.
Si l'on exprime les surfaces des triangles en fonction des grandeurs a, h, ^, /; et introduit les limites correspondantes, on obtient
(J AFP-V^ CEP) dx dy sin a
= i- a^b^mi^a C HJ -'^ r^ + —^ (1 - ^) ] d^ dri,
ou plus conformément au but proposé, en changeant dans la première partie l'ordre des intégrations
\ a^f/sbr- «j fdrj r[^J rjd^ + fd^ T^ (1 - ^) dr^ j
=^-Y^a^b^ sin^ ce.
Et si l'on écrit abréviativement pour dx dy sin cc^ d (J ABC) 2) f f{J A FP-\-JC EP) . d [J A B C) -^(^ A BC)%
l'intégration étendue au triangle ABC.
Et si l'on introduit la valeur trouvée dans l'équation 1), on a
... 1 /JABCY 1
^^ "^-TUBCDj-W
Pour les trois couples restantes de côtés contigus se donne la mémo valeur, de manière que la probabilité totale pour que la droite PQ coupe une couple de côtés contigus du parallélogramme est égale à
et la probabilité pour que des côtés opposés soient rencontrés
(>) Pour ce problème et pour le problènio précédent, il peut être dit que la probabilité demandée est indépendante de la forme et des dimenbiona de la ligure donnée. Uar tout tnangle dérive, par projection parallèle,
==-ti,lBOC^a.
Flg Ti.
4:^ Problème IX. — Dans la surf/trr r/'un quadrilafh-e convexe dont hs diagonales se divisent dans hti proportions X : (t — X) et fi : (1 — ii)f deux jH)ints sont pris arbitrairement; fi-nur, r 1,1 innhuhilité pour que leur ligne de jonction coupe les
Jrii.r i/l(f(f(nialr< dans le quadrUath'e.
Solution.— Soit ABCI) (fig. 22) le quadrilatère donné; 0A. OB AC ' BD
Nous partons d'une position de l'un des points P dans le triangle ^-BCet nous cherchons les positions du second point Q, pour lesquelles la droite PQ ne rencontre que la diagonale B I) dans le quadrilatère, c'est-à-dire ne rencontre que la section OB
de celle-ci; manifestement, cela arrive quand Q vient à se trouver dans l'un des triangles AFP, CEP. La probabilité pour que la droite PC ne coupe que l'étendue OB est donc
JA¥P-\-J CEP d(J ABC) ABCD ' ABCD
(J A FP I J CEP) d{JAB C),
