OA'-}-OC' , 0J5M- OD

et la probabilité demandée pour que les deux diagonales soient coupées est

6) ,> == 1 ry = -1 j 1 + 2(A + /i) - 2(^2 + /(') |.

Dans un parallélogramme X = ju = — - et les formules

5), 6) donnent les valeurs spéciales

44. Problème X. — Dans chacune de quelques trois faces d'un tétraèdre un point est pris arbitrairement; tromper la prohahilité pour que le plan mené par ces trois points coupe la quatrième face du tétraèdre ou pour que la section faite soit un quadrilatère.

Solution. — La figure 23 (p. 63) représente le tétraèdre projeté sur le plan de base. Soient P, Q deux des trois points, se trouvant dans les faces latérales ACl), BCD. Nous nous donnons premièrement la tâche de découvrir les positions du troisième point R dans la face ABD, pour lesquelles le plan déterminé par P, Q, P ne coupe pas la surface de base ABC, A cet effet, nous menons un plan par C, P, Q, qui coupe le

FiK, 23

totraèdro suivant le triangle CFK, nous nous imaginons co plan tournant autour do la droito l*(^ (cordi' du tétraôdrt'K jii>|ii il t ( t|u il passe par A, pour laquelle position limite, il rencontre le tétraèdre suivant le triangle A EL. — De plus,

LA SUPPOSITION EST FAITE, que

la droite APK coupe l'arête C /> plus loin de 1) que la droite liijU. Pendant cette rotation, le plan coupe le tétraèdre suivant des triangles, sinon toujours suivant des quadrilatères.

Par conséquent, pour que le plan passant par P, Ç, R ne puisse pas rencontrer la face de base du tétraèdre, le point 7^ doit être pris dans le quadrilatère A F KL. Pour la position choisie des points P, Q, s'obtient donc, comme probabilité de la nonsection de ^-BC, l'expression

AFKL d(JACl)) djJBCJJ)

JABD'

JACD JBCD On pose maintenant AD = a, Bl) = è, CD

les

== ax,

coordonnées obliques des points P, (>, savoir I) F

FF =■■ cy, DQ= hx\ Q'Q = cy\ ensuite, pour l'instant,

Puis on a

AFKL DA.DL— DF.DK

JABD

en cela

DL=^- DQ' {- Q'L