DA,DB
hx'^^ DL,(Vo\xDL== n
hx'
DF=DF -^F F-^ax^y.DF.iVoM DF
ax
DK = DQ 4- Q'K = hx' + // . DK, d'où DK =
donc on a ensuite . AFKL
''^ JABD
puis il vient
hx'
Par introduction des valeurs de 2), de 3) dans 1) et par intégration, on obtient la probabilité pour que sous l'hypothèse DË^DH le plan PQR ne coupe pas la face de base du tétraèdre, savoir
<7' = 4i / / i\ -, 7z z-jz -I dxdudx' du'
l'intégration à exécuter d'abord par rapport aux variables iF, y', étendue à la face BDE, l'intégration à entreprendre ensuite par rapport aux variables x, y, étendue à toute la surface du triangle A Cl). Par les équations des droites BE, A C, lesquelles équations s'énoncent
se donnent les limites d'intégration, et après introduction de celles-ci, s'ensuit pour la probabilité ci-dessus mentionnée, l'expression suivante indépendante de «, h, o, par conséquent indépendante de la forme du tétraèdre :
^ ^ ^ /i-Vy'-r^« — Hb — Wî"^^<v
J Jn-x^^y(l-y) l-,/ + l-y- y. l^r'"'
lorsqu'on introduit dans le cours du calcul pour » la valeur, •- DE AD
résultante de la relation ,j, „ — ^ #>
L'évaluation des trois premiers termes se fait sans difficulté. Le quatrième terme s'écrit après transformation
if'''"'
on décompose l ^ en une différence et on applique
aux deux intégrales résultantes, l'intégration par parties, en posant
l . {l — X — y), relativement ^ . (1 — x) = u, ^x(l-y)-2x^-h Y^\^x = dv,
et on est conduit à des intégrales de fonctions algébriques rationnelles.
On obtient finalement
La même probabilité se donne pour la non-rencontre de la surface de base du tétraèdre sous l'hypothèse DH ^ DE, de manière que la probabilité totale de cet événement égale
De là résulte enfin la probabilité pour que la surface de base du tétraèdre soit coupée ou pour que la section faite soit un quadrilatère, savoir
45. La surface de probabilité. — Les problèmes traités jusqu'ici, relatifs à des points pris arbitrairement dans un plan, avaient pour base la supposition de la répartition régulière des points sur le plan. Mais la loi de répartition peut être différente de cette forme la plus simple. Alors, la quantité des points dans un élément du plan ou la probabilité pour qu'un point choisi à volonté tombe dans cet élément est
dépendante non plus de la grandeur seule, mais aussi de la position de l'élément.
On considère, par rapport à un système rectangulaire de coordonnées, l'élément du plan; les points d'angle de l'élément ont les coordonnées (:r, y), {x + dx, y), (x -\- dx^ y -\- dy), (x, y + dy). La probabilité pour qu'un point pris arbitrairement appartienne à cet élément, dépendra et du produit dx dy, qui exprime la grandeur de l'élément, et aussi de x et de y, et, aura la forme
1) /> = y (^» y) dx dy.
Si la valeur
est dévolue au point (x, y) comme troisième coordonnée rectangulaire au plan des deux premières, l'extrémité de cette coordonnée engendre une surface qui rend percevable géométriquement la marche de la probabilité et peut être nommée
la SURFACE DE PROBABILITE.
La probabilité pour qu'un point choisi à volonté tombe dans une partie limitée, comme toujours, du plan est mesurée par le volume du cylindre droit reposant sur cette partie, limité par la surface 2), lorsque l'espace total se trouvant entre cette surface et le plan des x, y est pris comme unité.
Les courbes dessinées sur la surface de probabilité, pour les points desquelles la troisième coordonnée z est constante, donnent par leurs projections sur le plan des x, y des courbes
d'ÉGALE DENSITÉ DE POINTS OU d'ÉGALE PROBABILITE; ollcS SOUt
comparables aux isohypses des surfaces de terrain.
Parmi les courbes d'égale probabilité, celle qui pai-tage en deux parties le plan de manière que les espaces se tenant au-dessus de ces parties sont également grands, peut être désignée comme la courbe probable d'égale probabilité.
46. Exemple. — Les coordonnées rectangulaires f , r; d'un point dans un plan ont été mesurées; à chacun des mesurages peut adhérer une erreur entre les limites zh a, cependant la probabilité d'une valeur d'erreur diminue en proportion de sa
Kig. 24.
grandeur. Il faut découvrir la probabilité d'une position du point à déterminer.
Solution. — L'origine O du système des coordonnées dans 1.1 ti-iiro 24 correspond à la position vraie (inconnue) du point il fixer. La ligne ponctuée ACA' représente la répartition <1< s t'rrours dans les abscisses, la ligne BIJB' égale à la piriiiitre la répartition des erreurs dans les ordonnées; de |.lu> (>A -= OA' = 0B= OB' = a. Toutes les positions du point dans le carré MNS T sont possibles.
Nous considérons la position Pdu point, laquelle provient d'une erreur x=^ OQ dans l'abscisse et d'une erreur y ==- QP dans l'or- (Idiiiu'o, ou dit plus exacteiiiiiit : nous considérons les positions se trouvant dans le rectangle haché, de surface dx dy^ lesquelles dérivent des erreurs ./' à
, y à y h dy dans les coordonnées. La probabilité (i imt' position ainsi réalisée du point, comme celle d'un événement composé, égale
QQ\ dx RB'.dy {a — x) (g — y) dx dy
La surfiut 2)
JACA' JBDB
(le probabilité
(|iii ( (n rospond à ce cas, d'abord valable pour le quart OA MB <lii ( ;u lé, est un paraboloïde hyperbolique; les deux systèmes 1' ' - génératrices sont parallèles respectivement aux plans XO/j, y OZ. Comme (lignes) directrices du premier système, peuvent être envisagées A M et une seconde droite qui se trouve dans le plan VOZ, passe par B et est inclinée à 45** -III !<-> axes; les lignes directrices du second système sont l'M i[ une droite dans le plan XOZ, laquelle droite passe
par  et est inclinée de 45" sur les axes. En vertu de la symétrie, pour les trois autres quarts du carré, des rapports analogues sont autorisés, de sorte que la surface totale de probabilité se compose de quatre paraboloïdes hyperboliques qui se coupent dans les plans des x, z et des ?/, z suivant des lignes droites.
Les courbes d'égale probabilité ont l'équation générale
sont donc des hyperboles équilatères avec les asymptotes MA^ MB dans le premier quart, NB^ iV^',dans le second, etc. (fig.25).
Remarque. — Si les erreurs suivent, dans les abscisses et dans les ordonnées, la loi de Gauss, la probabilité d'une erreur àe x h x -\- dx dans l'abscisse est exprimée par
h -**^* —f=z e ax,
celle d'une erreur yky-\-dy dans l'ordonnée par
Fig. 25.
SItt
dy;
puis, la probabilité d'un point dans le rectangle élémentaire (x, y), (x + dx, y), {ce -^ dx,y-{- dy), (a?, y -f dy) est
hh' -ih^^^ + k'^y»)
p == e dx dy
et la surface correspondante de probabilité
est une surface transcendante qui s'étend à l'infini et, dans le cas spécial // = h ', devient une surface de révolution. Los courbes d'égale probabilité ont l'équation
sont donc des ellipses semblables, concentriques et semblablement placées, appelées ellipses d'erreurs ; dans le cas spécial h = h' y elles sont des circonférences concentriques.
