I>roite dans lo plan

52. Une droite est à désigner comme menée arbitrairement, dans le sens le plus étendu du mot, lorsque les conditions données auxquelles elle a à satisfaire ne suffisent pas à sa détermination.

Pour les droites dans un plan, trois cas principaux peuvent être différenciés.

1. Un plan est donné et dans celui-ci un point; par le point est à mener, dans le plan, une droite. La direction de la droite est indéterminée, peut donc être prise à volonté (droite de direction quelconque).

2. Un plan est donné et dans celui-ci une direction; dans le plan, une droite de la direction donnée doit être menée. La POSITION de la droite n'est pas déterminée, peut donc être prise arbitrairement (droite quelconque de direction donnée).

3. Un plan est donné; une droite doit être tracée dans celui-ci. Position et direction sont indéterminées, donc l'une et l'autre sont à prendre à volonté (droite menée arbitrairement).

Dans les deux premiers cas, l'arbitraire est limité ; dans le troisième cas, illimité.

Sous le premier cas, il faudrait aussi placer la question suivante : dans un plan donné, un point est à prendre arbitrairement, et par celui-ci, une droite est à tracer. Si ici tout d'abord la direction et la position sont indéterminées, cependant seule la direction est quelconque; car aussitôt que le point est pris — et cela précède le tracé de la droite — il subsiste seulement pour la droite un arbitraire limité.

Par contre, une droite, née par la jonction de deux points pris arbitrairement, ne peut pas valoir dans le sens susdit pour une droite menée arbitrairement; l'arbitraire complet adhère ici aux deux points, et dès que ceux-ci sont pris, la droite est déterminée.

53. Théorème I. — Le nombre des droites (rayons) qui peuvent être menées par un point donné entre deuœ droites (rayons) fixes, données^ est mesuré par l'angle de ces droites (rayons).

Les fondements de cela se trouvent dans les propositions générales qui ont été développées au n° 3 de l'introduction. On établit l'équation des droites sous la forme

X cosO -\- y sin 0 = 0 ou

y = tang B . x^

pendant qu'on choisit comme origine le point donné. Ainsi, les valeurs de ^, qui correspondent aux droites menées par ce point, forment une variété continue, simplement étendue, dont le contenu, lorsque ^,, B., se rapportent aux deux droites fixes, égale

jdB^B, — B,;

cela est l'angle des deux droites fixes.

Ce mode de mcsurage naît de la représentation suivante : la totalité des droites tracées par un point donné est composée d'un faisceau de droites, dans lequel les droites se suivant l'une l'autre, enserrent entre elles des angles égaux, diminuant à l'infini.

De la proposition énoncée ci-dessus, il résulte que le nombre des droites tracées par un point donné est mesuré par u, la quantité des rayons par 27i.

54. Théorème II. — Le nombre des droites qui, dans une direction donnée, peuvent être menées entre deux positions limites^ données, est mesuré par la distance des /)Ositions limites.

(Vest-k-dire que si l'on écrit l'équation des droites sous la fonne

.r cas B '[- fj sin 6 = p^ dans laquelle 0 correspond à la direction donnée, les valeurs do p échéant aux droites mentionnées forment une variété concrète, simpltim nt rtondue, dont le contenu, lorsque p,, p^ se rapportent aux positions limites, égale

fdp=^p,—p,; p cela est la distance des positions limites.

On a à se représenter la totalité des droites de direction donnée comme engendrée par un système de parallèles dans lequel les droites se suivant l'une l'autre se trouvent être à des distances égales, décroissant à l'infini.

Les deux totalités de droites, qui ont été traitées jusqu'ici, peuvent être conçues aussi sous un point de vue commun.

La totalité des droites de la première espèce découpe sur une circonférence décrite du point donné comme centre et avec un rayon quelconque une totalité régulière de points; de même, la totalité des droites de la seconde espèce donne avec une droite normale à leur direction (ainsi qu'avec toute autre • Iioit* ) une série régulière de points: l'adoption arbitraire <i Une droite s'accorde donc avec l'adoption arbitraire d'un point dans cette circonférence, relativement dans la transversale; conséquemment, la totalité des droites peut être mesurée par la totalité des points correspondants; on est ainsi ramené aux propositions établies.

55. La notion d'une droite menée arbitrairement dans un plan se compose de la notion d'une droite de direction quelconque et de la notion d'une droite quelconque de direction donnée.

On a à se représenter la totalité des droites de la troisième espèce comme engendrée par un réseau de droites, qui consiste en systèmes superposables, congruents de parallèles équidistantes; ces systèmes sont parallèles aux droites d'un faisceau isogonal de droites pendant que la dist^ince niutuello des droites dans les systèmes de parallèles, ainsi que la distance angulaire des droites du faisceau, décroissent à l'infini.

Un autre mode de formation de ce réseau de lignes résulte

de l'exposition suivante : on écrit l'équation des droites sous

la forme

X cos B -\- y sin 6 = p;

les combinaisons des valeurs de 6 et de p, qui correspondent aux droites du plan, forment une variété continue, doublement étendue. Si l'on fait S constant et donne à p des valeurs qui forment une série arithmétique, on est conduit à un système de parallèles équidistantes; si l'on donne au contraire, avec p constant, à 0, dans le même mode, des valeurs progressives, on obtient une série de tangentes à une circonférence qui, de l'origine comme centre, est décrite avec le rayon p; les points de contact sont répartis régulièrement sur le périmètre. On recueille donc les droites correspondantes aux combinaisons des valeurs de S et de p, en décrivant du sommet d'un faisceau isogonal de droites, une série de circonférences équidistantes et en menant à celles-ci des tangentes en tous les points oîi elles sont rencontrées par les droites du faisceau.

Nous nous occuperons ultérieurement du mesurage des totalités de la troisième espèce.